“有益”的错误 学生的再“生长”

王俊玲

[摘 要]小学生受认知发展水平和生活经验缺乏的影响，在解决问题时容易出错，但有些错误是有一定思维价值且带有普遍性的，教师应该有效利用这些错误资源，引领学生深度学习，发展数学思考，提高核心素养，锤炼学习品格，促进学生健康成长。

[关键词]有益错误;思维生长;数学思考;资源

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）17-0092-02

数学是一门逻辑性和应用性都比较强的学科，小学生受认知发展水平较低和生活经验缺乏的影响，在解决问题时容易出错，但有些错误是有一定思维价值且带有普遍性的，这些错误是“有益”的错误。作为教师，应该把这些“有益”的错误看成学生在学习过程中的尝试和探索，把这种错误当作资源，让这种错误成为促进学生成长的新生长点。

一、包容“有益”错误，改变学生认知

进入高年级后，有些学生越来越害怕数学，究其原因是学生担心在学习过程中出现错误，对于错误他们更多的是从负面的角度来看待，因而对数学学习失去了信心。要改变这种状况，关键在于教师要允许学生出错，要把一些有思维价值的错误当作资源，引导学生再学习。

【例1】教学“因数和倍数”时有这样一题：把一张长18厘米、宽12厘米的长方形纸，剪成同样大小面积尽可能大的正方形，且没有剩余，可以剪多少个？

这题正确的解题思路是先求出剪出的正方形的边长，再求能剪多少个。交流时有位学生认为18和12的最大公因数6就是剪得的正方形的个数。我没有批评这位学生，而是竖起大拇指夸她有敢于和同学交流的勇气。这个“有益”的错误为学生的深入思考创造了条件，通过画图（如图1）分析，我带领学生找出了此解法错误的原因以及解决该问题的办法。

教学中教师包容学生出现的错误，让学生知道自己是可以出错的。通过分析这些“有益”的错误，提醒学生在解决问题时需要注意些什么、哪些地方容易出错、怎样才能避免出错等，使学生真正理解和掌握所学知识。长此以往，学生就会改变对错误的认知，并敢于面对自己的错误、改正错误，增强学好数学的信心。

二、重塑“有益”错误，理解所学知识

当学生能够勇敢地面对自己错误时，教师应该鼓励学生重塑“有益”的错误，分析错误原因。教师可以用类似“你的错误是什么？”“是什么原因导致的？”“今后如何避免？”“从中你学到了什么？”等话语引导学生。刚开始学生可能只能说出一些表面的、浅显的错误原因，诸如没看清题目、计算错误等，对此教师可以采取师生对话、同伴互助等形式帮助学生找出真正的错因，然后鼓励学生将“有益”的错误和全班同学分享，时间久了学生就会自觉地重塑自己“有益”的错误。

【例2】学习苏教版六年级下册“圆柱和圆锥”之后，有位学生在易错题本上记录了这样一题：如图2所示，阴影部分材料可以做成一个圆柱，求这个圆柱的体积。

这位学生这样分析自己的错误：“我不理解12.56分米这个数量表示的意思，认为题中给出的条件不够，所以不能解答。通过和同学的交流我才明白，12.56分米是圆柱的底面周长，已知底面周长就可以求出圆柱的半径，从图中还可以直接看出圆柱的高是直径的2倍，有了底面半径和高，就能求出圆柱的体积了。我出错的原因是没有理解好圆柱侧面积的推导过程。为此，在同学的帮助下，我再次体验到把圆柱侧面沿着高剪开可以得到一个长方形，这个长方形的长就是圆柱的底面周长，宽是圆柱的高，加深了对圆柱的侧面积的理解。”

实践证明：重塑“有益”的错误，可以帮助学生更好地把握题目的来龙去脉，深刻理解所学知识，提高解决实际问题的能力。

三、对比“有益”错误，建构知识联系

当学生已经会分析自己“有益”的错误，知道如何避免这样的错误时，他们脑海中的知识点还是零散的，只是知道类似的题目怎样做，但当遇到相似的题目时他们还是会受思维定式的影响再次出错。

例如，因为做过例2中的题目，所以学生在解决“如图3所示，阴影部分材料可以做成一个圆柱，求这个圆柱的体积”这个问题时，思维定式地将16.56分米当作圆柱的底面周长。为此我把这两题放在一起（如图4），让学生对比、分析，找出它们的相同点和不同点。

生1：这两题都与圆柱侧面有关，圆柱侧面可以转化成长方形，这个长方形的长就是圆柱的底面周长，宽就是圆柱的高。

生2：解题时我们必须明确题中的条件和问题，理解每个数量表示的意思。如图4左图中的12.56分米表示圆柱的底面周长，即πd=12.56（分米）;而图4右图中的16.56分米则表示圆柱的底面周长再加上1个直径，即πd+d=16.56（分米）。

生3：生2说的就是我们解决问题时最容易出错的地方。

生4：已知条件不同，求圆柱底面半径的方法就不同。

生5：我能设计一个相似的题目（如图5所示），并说明25.7分米是圆柱的底面周长加上2个直径的长，即πd+2d=25.7（分米）。

作为教师要及时将容易混淆、容易出错的题目进行归纳，引导学生对比、分析，沟通知识间的联系，完善认知结构，在这过程中有时还会萌发创新思维的种子。

四、编写“有益”错误，发展数学思考

教师及时利用“有益”的错误，不仅能助推课堂教学，提高教学效率，还能培养学生學习兴趣，增强他们学习的主动性。但只会分析“有益”的错误还不够，教学中教师要鼓励、引导学生尝试编写“有益”的错误，发展学生思维。

【例3】教学“圆柱和圆柱”时有这样一题：如图6所示，一个圆柱的高是8厘米，如果它的高增加2厘米，那么它的表面积将增加25.12平方厘米，求原来圆柱的体积。

有位学生是这样编写错误答案的：“圆柱半径为25.12÷3.14÷2=4（厘米），V=πr2h=π×4×4×8=128π。”虽然他没有用文字说明错误原因，但根据图示和他算式中体现的数量关系也能说明为什么会产生这一错误，即错把25.12平方厘米看成圆柱的底面周长，这种错误是大多数学生的通病。

在此基础上我组织学生分析、讨论，学生不仅找出了错误的原因，还主动展示和说明正确的解题思路：圆柱增加的表面为展开图是长方形的侧面，已知长方形的面积和宽，就可以先求出它的长，也就是圆柱的底面周长，然后再计算圆柱的体积，解题过程如图7所示。

换一种方式对待“有益”的错误，让学生经历编写“有益”错误的过程，预测可能出现的错误，主动分析、自我纠正，既发展数学思考，又提升学习能力。

五、反思“有益”错误，促进学生成长

数学学习并非一蹴而就，需要不断地反思才能获得體验、积累经验。教师要善于利用多种形式（如自我反思、同伴互助等）引导学生进行反思。

【例4】教学“圆柱和圆柱”时有这样一题：将一个圆锥形零件完全浸没在底面直径是30厘米的圆柱形玻璃水缸里，这时水面上升4厘米。这个圆锥形零件的体积是多少立方厘米？

生1：这题是求圆锥的体积，所以我想到了圆锥的体积计算公式，然后在题目中找公式需要的条件，直径30厘米，高4厘米，很快就完成了。半径为30÷2=15（厘米），体积为V=[13πr2h=13×π×15×15×4=300π]（立方厘米）。小组交流时同桌问我：“圆锥形零件的直径是30厘米、高是4厘米吗？”听到这个问题我回过头再仔细阅读题目，发现自己错了。圆锥形零件的体积无法直接计算，只能利用圆柱形玻璃缸中水上升这一点来解决。

（组织全班学生交流）

生2：我佩服生1的勇气，乐于和同学交流，敢于面对自己的错误并改正。

生3：解决问题时，要弄清题意，理解数量之间的关系，不能瞎拼凑，还要注意单位的统一。

生4：我发现这题蕴含转化思想，可以用这种办法测量不规则石块的体积。

生5：转化思想能把复杂问题变成简单问题，它可以帮助我们解决很多疑难问题。

……

反思学习行为，尤其是对错题解题过程的反思，可以帮助学生加深理解所学知识，提高自我反思能力，在反思中增强学习自信，坚定学习意志，促进学生思维成长。

心理学家盖耶说：“谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，就将错过最富有成效的学习时刻。”这也说明，教师准确把握好“最富有成效的学习时刻”，有效利用“有益”的错误资源，能更好地引领学生深度学习，深刻理解所学知识，完善知识建构，发展数学思考，提高核心素养，锤炼学习品格。

（责编 杨偲培）