从整体性认识走向结构化教学

赵一峰

[摘 要]数学知识是有结构的，知识的相互联系首先体现在整体性。教学“数的认识”时，教师对自然数、分数、小数采用整体性认识和结构化教学策略，可避免单课教学带来的知识碎片化的现象，让学生学会在整体的数学样貌下，通过学习和思考发现知识的联系，促进认知结构的整体化，让思维走向自主建构的结构化，为终身发展奠定基础。

[关键词]数的认识;整体性;结构化

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）17-0021-02

小学数学教学是根据教材的内容分课时进行的，使得学生接受的知识孤立又零碎，具有很大的离散性，学生难以形成完整的知识结构。教师应该在对数学知识的整体性认识的基础上，构建结构化的教学策略，让学生通过学习、认识和思考，发现知识的联系，对数学知识形成整体的把握，既见树木又见森林，促进认知结构的整体化，让思维走向自主建构的结构化。“数的认识”中蕴含丰富的数学思想，比如有序、守恒、集合、模型、对应等，其中的许多思想都可以体现数学的本质。因此，我以“数的认识”为例，讨论“从整体性认识走向结构化教学”这一话题所具有的现实意义。

一、加强对“数的认识”的整体性认识

从数系的角度看，数的概念包括自然数、整数、有理数、实数和复数。自然数的概念是人类积累数学知识的开端，也是一切数的基础。按照皮亚杰的观点，学习自然数的概念的基础是数守恒，即数的相互性、同一性和逆反性。

分数由于其表征形式不同，可以有以下几种理解。

（1）部分与整体的关系：将分数表征成一个整体等分成若干份，其中的几份与整体相比较的结果。

（2）子集与母集的关系：当全体为离散量，分数的意义为子集与母集的关系，此时将分数表征成一个集合等分后，将其中的几组与该集合相比较产生的结果。

（3）除法中等分除的商：除法中的等分除明显与分数相吻合，分数在等分除中的意义是单位量等分的过程与结果。从数学的角度来看，这一定义体现了分数的本质，符合数系扩张的数学思想。

（4）比（比值）：将分数表征成两数相比的比值、两个量相比的结果，这里不同于前面的部分与整体的关系。部分与整体是在同一量中的比较，而比是两个不同量之间的关系，比值是一个数值化的结果。

（5）数轴上的一点：分数是一个数，在数轴上可以找到表示这个数的一个点，这个点和原点的距离与单位长的相对关系形成分数的数值。把分数看作数轴上的一个点，有利于建立数集的序关系和有理数的稠密性概念。

小数概念的形成则有通过分数的“部分与整体”关系或者利用整数的位值概念这两条基本路径。

（1）部分与整体的关系。将一个整体等分后，分数是表示其中被指定的部分与整体的关系，当分母为十的幂数，如10、100、1000等，分数就有了另外的表示方法：1/10可写成0.1，1/100可写成0.01……因此，有限小数可看成是分数的特例。一位小数是记录十分之几的分量，两位小数是记录百分之几的分量……从分数的角度切入，了解到有限小数是由“十等分”分割产生的。一百分之一的分量可从十分之一的分量再“十等分”产生，而一千分之一的分量可从一百分之一分量再“十等分”产生……以此类推，“十等分”的活动可无限地继续下去，而此无限分割的观念正符合了小数稠密性。

（2）利用整数位值概念。在记数系统中，用0～9这10个数字及其被置放的相对位置，来表征全部的非负整数，任何非负整数都可以用展开式表示。例如3456=3×1000+4×100+5×10+6×1，而此展开式可视为以10为基底的多项式。在这样的记数系统下，个位是记录几个一的位置，其位值是1，以它为基点，向左一位是十位，是记录几个十的位置，其位值是10;再向左一位是百位，它的位值是100……可以无限地向左延伸下去。为了使得个位也能无限地往右延伸下去，可将10的指数扩充至负整数，往左扩展一位是乘10的结果，那么往右扩展一位便是除以10的结果。利用位值往右扩展的结果，就有了新符号和新位名的产生。

这样，通过记数系统也可以帮助学生掌握小数的意义。例如，因为0.34=3×0.1+4×0.01，所以小数0.34可看成3个“0.1”和4个“0.01”合成的结果。

由此看来，一些小数可以转化成分数形式，在这种情况下，小数为分数的子集。但分数的分母并不都以10的乘幂的形式出现，分子除以分母会出现两种情况，一种是除得尽，这些小数被称为有限小数;一种是除不尽，这些小数包括循环小数和无限不循环小数。

二、构建“数的认识”的结构化教学策略

1.梳理内容，合理排序

无论是自然数、分数，还是小数的产生和发展，都是人类生产生活的总结。教材根据数的产生与发展特点，注重创设现实情境，引导学生经历从具体情境抽象出数的过程，逐步体会数的含义，形成数的概念。

梳理现行的各版本教材发现，关于“数的认识”的学习步骤都是自然数→分数→小数，其理由大概是人类先认识自然数，后认识分数，再认识小数。人类是先从数量的多少中抽象出了自然数，即用自然数定量刻画了“有多少”“多多少”等，后来发现自然数不能描述更小的量，于是创造了分数。不过，通过自然数的学习，学生对于0～9这10个符号表征所有的自然数有了领悟，或者说学生觉得每一个数字通过占有位置，并且相邻数位的进率为10的规则计数，是理想的模型。那么一旦出现小于1个、1只、1条……的量，学生便会自觉地应用这个理想中的模型，以10倍进率缩小的方法来计数，从而就有了现代意义上的小数（十进分数）。

由此探討可以发现，小数相对于自然数来说，更利于迁移，更利于学生理解数字扩张可以在数学内部完成。因此，我建议对“数的认识”的学习顺序调整为“自然数→小数→分数”。

在小数之后学习分数，可以帮助学生更好地辨析分数与小数的关系，即理解缘何小数为分母是10的幂的分数;分数与整数的关系，即能整除的值为整数，不能整除的值为分数。这样调整还有一个好处，就是所有的数都可以放在数轴上认识，有间隔的自然数间可以用分数去填充，使其密集，但是也填不满，填不满还可以用无限不循环小数去占位，从而实现数的密集。

2.加强感悟，培养数感

数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。“数的认识”是数学学习的重要内容，也是培养学生数感的重要载体。

（1）创设情境，在生活中体验数感。学生对数的感悟离不开生活情境。在教学“数的认识”时，将数学知识与生活场景勾连，唤醒学生已有的生活经验，引导学生在情境中学习交流，向学生展示数的概念的实质，有助于学生理解数的意义，在头脑中沿着“具体—表象—抽象”的认识过程逐步建构数的概念。

（2）数形结合，在直观中发展数感。数形结合是为了从形的角度来感知数，将抽象的数的含义形象化，为“数的认识”的教学搭建思维的桥梁，拓宽学生对数的理解，在直观中内化数感。如在认识“百分数”时，教师让学生从54%、55%和50%中任选一个百分数，用图形来表示。学生发挥想象力和创造力，将抽象的百分数形象地转化为圆点图、百格图、扇形图、线段图等。这样一来，抽象知识与直观形象有机融合，使学生对数的认识不断加深，拓展了数感培养的空间。

（3）操作交流，在活动中发展数感。如在认识较小数时，可以通过操作实物的方法来帮助学生建立数感。如教师让学生摆16根小棒，并提出要求：怎样能让别人快速看出你摆了几根小棒？学生动手操作，有的把2根做1份，有的把5根做1份，还有的把10根扎成一捆，和剩下的放在一起。动手操作加深了学生对“16”这个数的感悟。又如在认数的过程中，可以借助推理估计深化学生对数的意义的理解，这样能有效地提高学生的数感。如在教学“认识100以内的数”时，教师出示了一个装满黄豆的瓶子，让学生猜约有多少粒。 学生乱猜一通。此时，教师数出30粒黄豆放入同样大小的瓶子中。这时，学生有了对照，很快就估算出了装满黄豆的瓶子中约有多少粒黄豆。估测推理的方法让学生的感知水平得到了提高，有效地发展了学生的数感。

3.结构一体，生长延伸

关于“数的认识”的教学，要注重知识点的生长与延伸，把每节课的知识内容放在整体的知识体系中，关注前后知识的联系，注重知识的结构性，处理好部分与整体的关系，引导学生感受数学知识的整体性，体会数学知识可以从多角度加以分析、多层次进行理解。在教学安排上，可以对各个知识点采取由浅入深的关联性的整体教学，并在此基础上进行适度的延伸拓展，加強对学生数学核心素养的培养。例如， 在小学高年级的数学探究活动中，可以利用计算“1+2+3+4+…+99+100=？”向学生渗透数列求和思想。教材中并没有安排等差数列求和公式的内容，但在学习了“用字母表示数”后，完全可以就此进行知识和能力的延伸拓展，学生也比较容易理解等差数列的求和公式，学会用逐步推进的活动方式简化抽象公式，不过教师不必做更深入的计算和理解的要求。

总之，教师应把握好数学知识的整体框架，运用有效的教学策略进行结构化的设计和教学，帮助学生在学习的过程中边学边建构知识体系。这样学生得到的不仅是数学的“知识链”，更多的是数学思维能力、 学习能力的提升，从而提升数学核心素养，让思维走向自主建构的结构化。

（责编 吴美玲）