信息化条件下“数学分析”课程的教学重构

段丽芬，黄 婷，陶玉杰，索春凤

伴随着网络技术的发展，教育信息化程度的提高，MOOC（大规模在线课程）、SPOC（小规模私有在线课程）、MOOC+SPOC+翻转课堂等新的教育教学形式不断涌现，引领着大学教育教学改革的方向.本文从目前地方高校“数学分析”课程教学存在的问题出发，结合学生的群体结构及需求特征和“数学分析”课程的特点，以目标递进分层教育理论和经典建构主义学习理论为基础，利用新建构主义的包容性思维方法，构建了“SPOC+翻转课堂+精准帮扶”的教学模式，不仅改善了学习环境，实现了深度学习，而且极大地提高了学生个性化学习的服务质量.

1 目前地方高校“数学分析”课程教学存在的问题

1.1 缺乏提高学生学习适应性的动机激励机制和高效学习环境

在我国高等教育已从精英教育进入普及化的今天，地方高校的学生普遍面临着学习不适应的困难［1−2]，数学专业大一新生在学科基础课特别是“数学分析”课程的学习中表现尤为突出，学习动机和学习环境是使学生产生不适应问题的主要因素［3−5].

学习动机是推动学生进行学习的内部动力，是激励和指引学生进行学习的需要，学生的学习主要受学习动机的支配.地方高校的很多学生，学习兴趣、求知欲及自我提高的愿望等保持持久学习的内部动机薄弱.他们在高中阶段的学习动机主要来源于高考尽量取得好成绩的学习期待和老师的督促，是外部动机.一旦高考结束进入大学，“高考”这个外部诱因消失，老师的督促减少，加之“数学分析”课程较中学数学难度大大加大，数学分析的学习与他们将来工作的表层相关度低，“课程期末学业成绩优异”的期待很快被学习中的困难击垮，逐步减弱为“及格万岁”.没有其他过程性动机激励机制跟上，学生明显表现出学习状态不佳.

学习环境是学习者能找到充分的信息资料和教育辅助手段的地方，借助学习环境，学习者能够有机会根据自身的情况及其与他人的关系去构建定向基础，决定他们将介入的目标与活动［6].

自2012年起，为落实教育部关于《教育信息化十年发展规划（2011—2020年）》的通知，推进信息技术与高等教育深度融合，网络课程及资源迅猛增长.在中国大学MOOC、智慧树、学堂在线等平台搜索“数学分析”课程，众多优质资源呈现.由于地方高校教师受条件和能力的限制，对“以学生为中心”的教学理念理解不够深入，落实到数学分析的教学设计实践中，表现出“消极”和“激进”两种倾向.持“消极”态度的教师认为：“对于数学分析这样逻辑性强的课程，对于我们地方高校的学生，即使通过教师讲解都无法弄懂的内容，怎么可能通过自主学习来学会.”缺乏对学生“主体”地位的认识，导致教学“简单化”，教学设计中根本没有构建“高效网络学习环境”的意愿和思考.持“激进”态度的教师认为：“既然学生的知识是通过自主学习构建的，网络学习资源足够多，那么就自学好了.”忽视了教师的“主导”作用，导致照搬现有的共享网络资源，缺乏针对特定教学对象的个性元素，影响教学效果.

1.2 缺乏促进高级思维养成的深度学习活动

教育司司长吴岩将“金课”归结为“两性一度”，即高阶性、创新性和挑战度.高阶性，就是知识、能力、素质有机融合，培养学生解决复杂问题的综合能力和高级思维.高级思维是指发生在较高认知水平上的心智活动或较高层次的认知能力，它主要包括创新思维、问题求解、决策、批判性思维、信息素养、团队协作、兼容、获取隐性知识、自我管理和可持续发展能力等［7].高级思维能力需要通过深度学习才能得以实现.

由于人的认识都是由浅到深、由低到高逐步实现的，没有浅层记忆、理解、应用的过程，就无法触及分析、评价和创造的深度.“数学分析”课程面对的是严格化、精确化的抽象理论，逻辑性强，侧重于主要结论、方法的推导过程与分析，这与中学阶段学生通过大量做题来理解知识点的方式有较大差别，导致学生对学习过程中可能遇到的困难估计不足的现象发生.他们遇到难度系数较高的“数学分析”课程，尤其是那些数学基础不好、学习动力不足的学生，就对数学分析产生了畏难思想，往往不知所措.对于老师布置的预习和复习任务拖延，完成质量不高，导致课堂上老师精心准备的教学内容无法按进度完成，只能停留在浅度学习阶段，涉及深度学习的内容不得不延伸到课下，课下学习中遇到困难无法得到及时解决进而影响学习效率.

1.3 为学生提供个性化服务质量欠佳

“因材施教”的教育思想孔子在两千多年前就已经提出.《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010—2020年）》中强调：“关注学生不同特点和个性差异，发展每个学生的优势潜能.”但实际上，由于条件所限，教师与学生之间难以形成一个很好的沟通交流模式，为学生提高个性化服务质量大打折扣.

目前，我国的大学课程教学仍然以大班授课为主，教师把精力主要放在课堂教学上，认为只要把每堂课上好，至于课后学生们怎么学是他们自己的事情.加之大学教师不坐班管理，学生在课后学习中遇到困难得不到老师及时的帮助，特别是地方高校的学生在刚刚进入大学的第一学期，数学基础不好的学生，很难在有限的时间内取得学习成效，因此更加阻碍了他们的学习热情和学习兴趣.面对数学分析学习中不可逾越的困难，容易使学生对学习失去信心.

2 “SPOC+翻转课堂+精准帮扶”教学模式的理论基础

2.1 教育目标分类理论

教育目标是所培养的人才应达到的标准，教育教学过程要根据教育目标来设计.教育目标分类理论可以为教育工作者科学合理设计教育教学活动提供理论根据.

1956年，美国著名的教育心理学家布鲁姆立足于教育目标的完整性，制定了教育目标分类系统.他将认知领域的教育目标按照由低级到高级分为六个层次：识记、理解、应用、分析、综合和评价.随着教育科学的发展和课程改革、人才培养的需要，安德森等在2001年对教育目标分类进行了补充修订，更加合理地表述教学结果.分“知识”和“认知过程”两个维度，知识维度分为事实性知识、概念性知识、程序性知识和元认知知识，认知过程维度分为记忆、理解、应用、分析、评价和创造.教学目标是选择教学策略和教学设计的依据，所有教学目标撰写得越具体就越好选择相应的教学策略和教学设计.正如当代教学设计家加涅提出的重要理念：不同的学习科目有相同的学习结果；相同的学习科目有不同的学习结果，所以需要各自的教学支持条件，教学的目的是为了促进学习，教学的设计和安排上的差异是由于学习结果的类型及其学习条件不同.

2018年9月10日，习近平在全国教育大会上明确指出，新时代教育目标要把立德树人融入思想道德教育、文化知识教育、社会实践教育各环节，贯穿基础教育、职业教育、高等教育各领域，学科体系、教学体系、教材体系、管理体系要围绕这个目标来设计，教师要围绕这个目标来教，学生要围绕这个目标来学.凡是不利于实现这个目标的做法都要坚决改过来.

2.2 建构主义学习理论

建构主义是一种关于知识和学习的理论，强调学习者的主动性，认为学习是学习者基于原有的知识经验生成意义、建构理解的过程，而这一过程常常是在社会文化互动中完成的.建构主义学习观认为，学习是学生建构知识的过程，通过对信息传输和自我感受进行信息编码，形成自己的理解.

建构主义要求教学以学生为中心，教师根据学生已有的知识水平创设符合教学内容要求的情境，设计问题引起学生的思考和讨论，使得学生有意识地对习得的知识进行建构，所以教师必须了解学生已有的知识和所学的专业，避免教学内容前后脱节.“学而时习之”是孔子对学习过程的高度概括，学习是通过“新知识－旧经验”反复的相互作用而建构的过程.建构主义理论指导下的教学模式强调学生的教学主体地位，关注学习者的学习体验，在情境中探究知识.根据学生已有的认知结构精心设计教学情景，激发学生的学习兴趣，达到使学生建构知识的目的.

2.3 新建构主义学习理论包容性思维方法

所谓包容性思维，是指将一些看似互不关联、甚至互相矛盾的思想、观点、理论经过一定地加工，使之互相兼容、有机组合、融为一体的思维方法.具体做法是：在一种理论或观点前加上一个定语、修饰词或限定条件，使之能与另一种理论或观点和平共处、互为补充［8].比如，经典建构主义学习理论主导的“知识不能通过教师讲授传递给学生”和“传统的班级教学模式同样培养了大批人才”的矛盾，可以通过重述为“隐性知识不能通过教师讲授传递给学生”（显性知识可以）得到解决.再如，如果说“行为主义学习理论是最有效的学习理论”，多数人不会同意.但如果我们在前面加上一个定语：“对动作技能和简单运算技能的培养来说，行为主义学习理论仍然是最有效的学习理论.”相信多数人都会接受.

包容性思维方法是新建构主义一以贯之的思维方法，可以让行为主义、认知主义、建构主义、关联主义等学习理论都有合适的用武之地，是一种集大成式的思维方法.在学习渠道多元、信息超载、知识碎片化信息条件下的今天，包容性思维方法不但可以指导网络时代的自发学习和非正式学习，对学校教育教学改革也同样重要.

3 重构“SPOC+翻转课堂+精准帮扶”“数学分析”课程教学模式

在某校最新培养方案（2020年版）中，数学分析、高等代数和空间解析几何是数学与应用数学专业设置的三门学科基础课，是引导学生从初等数学进入高等数学学习的关键课程.其中，数学分析是开设时间最长（三个学期）、课时最多（计224学时）、内容极其丰富的一门课程，它几乎包含了所有的数学思想方法.透彻理解数学分析中的基本思想，熟练运用数学分析中的基本方法，对于培养学生的分析能力、实践能力和创新能力都具有重要的意义．

“数学分析”课程经过长时间的发展和完善，已形成了一套严密的、逻辑性很强的理论体系.在信息化条件下如何将如此严谨又优美的一门课程很好地运用现代手段展现给学生，让学生深受启发，产生浓厚兴趣，并打下坚实的数学基础，是教师们最关注的问题.针对目前地方高校“数学分析”课程教学存在的问题，遵循教育教学发展理论，结合某校实际，提出了重构“SPOC+翻转课堂+精准帮扶”的“数学分析”课程教学模式.

3.1 建好SPOC——打造高效学习环境资源

随着信息化的推进，主导着理论课堂教学模式变革的MOOC、SPOC等在线资源日渐丰富，对于偏于信赖传统教学模式的“数学分析”课程，多数高校也积极探索适应时代发展、融入新的教学理念和教学模式.但因为不同学校教学条件不同、教师素质不同、学生层次不同、培养目标不同，空降式复制任何一种教学模式，都不会收到好的教学效果.对于地方高校来说，SPOC资源的建设要在细节上下功夫，打造适合学生基础、有利学生发展、推动教学目标实现的高效学习环境资源，平台的自动评分和反馈功能助力多元考核的实现，调动了学生参与的积极性，激发了学生的学习兴趣，主要包括以下四部分内容.

第一，课程音视频，包括课程内容和课后习题两部分.根据教育目标分类理论，按以教学目标为导向的教学设计需要，建设课程内容音视频.结合实际，部分借鉴了MOOC、SPOC网上课程现有资源，部分自己录制.习题演练是数学课程学习的重要环节，对于“数学分析”课程来说更是如此.初学者对于很多习题无从下手，可现有网上资源多数没有习题的讲解.将例题习题精心提炼出典型例题习题和提升例题习题两类，录制成短小精悍的视频讲解，以满足不同基础的学生学习需求.

第二，课程资料.包括章节知识梳理、电子参考书和延伸阅读材料等.梳理各个章节的知识点，明确学习要求和重难点内容，可以帮助学生有的放矢地深入学习.电子参考书和延伸阅读材料一定要精选，切记绝不是越多越好.

第三，答疑平台.学生在自主学习的过程中，会遇到各种各样的问题.因此，线上网络答疑平台是必不可少的.学生可以在答疑平台上提出问题，也可以发表自己对某个问题的见解.对于在线的同学，教师可以在空余时间帮助他们解决问题.这种不受时间和空间限制的沟通方式及时、方便，可以有效地增进师生、生生交流，提高学习效率.

第四，自动评价功能.学习评价是对学生学习过程和结果的评价.因为传统的教学受条件的限制，过程评价难度较大，“数学分析”课程的学习评价以结果评价为主，期末考试成绩占80%，平时成绩只占20%，而且平时成绩构成为平时作业和课堂考勤.为获得较高的平时成绩，学生抄作业的情况比较严重.在课堂中，发现有些学生人在课堂心却不在的情况，部分同学更是用考前突击的办法来应对考试.在这种简单评价方式下，任课教师很难对一个学生作出全面、客观的评价.不少学生虽然总评成绩及格，但对知识的掌握和数学素养的提高并没有达到要求.这会在学习后续课程的过程中逐步暴露出来.

SPOC自动评价功能，可以对学生自主预习、课堂表现、网络互动、交互活跃度、小组任务完成情况等进行考核，多方位较准确地实现对学生学习过程的评价，为多元考核的实现提供了可行性.某校2019级数学与应用数学专业学生“数学分析”课程考核方式进行了改革实践，过程考核成绩和结果考核成绩各占50%，其中过程考核包括随堂测试、测试性作业、单元测试、小组任务等.这种考核方式对学生的评价更全面，更客观，更能调动学生学习的积极性，促进学生学会思考，培养学生的创新能力.

3.2 做好翻转课堂——以学生发展为中心

任何事物的发展都是循序渐进的，全盘否定都是不可取的.教育教学的改革也是一样，任何新的教学模式都不是与传统教学模式背道而驰的，而是在传统教学模式基础上的发展，在教学实践中切勿让“激进”思想影响教学.“翻转课堂”是在网络环境下顺应学习理论和认识理论的发展，实现“以学生为中心”的理念而产生的教学模式，符合建构主义学习理论和新建构主义包容性思维方法.根据我校学生实际和“数学分析”课程不同的内容，提出半翻转、轻翻转和完全翻转三种不同的翻转形式.无论是其中哪一种，传统教学中教师常用的问题驱动法、项目驱动法、讨论法、启发式、提问式等都可以融入其中.

第一，大部分的半翻转.半翻转是指对一个教学内容中的显性知识通过学生自主学习来完成，实现浅度学习；对于隐性知识部分通过传统课堂教学借用现代手段和工具来完成，提升到深度学习.当然针对不同的学生层次来说，知识的显性和隐性是相对的，而且往往是交织在一起的，所以无论课上还是课下，学生和教师主导地位也是交互的.对于某校数学与应用专业“数学分析”课程来说，超过三分之二的内容适合这种教学模式.比如，数列极限这部分内容中“数列极限的单调有界定理”的教学就是运用了这种教学模式，设计如下：

其次，课堂教学.引导启发同学关注总结结论（培养学生的归纳总结能力），得到数列极限的单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限.仔细讲解定理的内涵有三：“在实数系中”及课前任务的两条结论（课前任务反哺对定理理解的深入）.接着，用典型例题例举其应用方法.

例1 证明数列

收敛，并求其极限.

再次，总结深入.单调有界定理是验证像例1这样的递推数列收敛的常用方法，只要验证两条件：单调和有界即可，常用数学归纳法.关键是要首先作出预判.例1，可以先验证有界，再验证单调.如不好预判，可以借助于可能的极限：像例1，如有极限，只能是2.

探究（例1的推广）：证明数列a1==1,2,…收敛，并求其极限.

最后，课后任务.同学借助视频和教材自主学习下面例2的证明，并利用其结果完成37页1题（华东师范大学第5版数学分析上册）.

下次课安排任务完成情况检测和反馈.

第二，少部分的轻翻转.轻翻转是指在传统的教学过程中借助学习通等新教学技术，对于课程的内容在讲解过程中通过弹幕、问卷、限时答题等形式及时掌握学生对教学内容的掌握情况，并对教学过程及时进行调整.这种教学模式适合对课程难点内容的教学，像数列极限精确定义、定积分的定义等少部分数学分析的教学适合用这种教学模式.

第三，更少部分的重翻转.重翻转是以自主学习为主的教学模式，适合内容较简单、显性知识为主的教学，在某校“数学分析”课程教学中只有导数的四则运算、导数的极值与最值等极少数内容的教学使用了这种教学模式.

3.3 做实精准帮扶——助力个性化学习实现

为了解决同学们在学习中遇到疑问“无助”的困境，在2019级数学与应用数学专业数学分析教学中，除了在线上设置答疑平台外，还成立了数学分析学习小组，每组5～6人，部分学习任务按小组下达、共同完成，答案以小组为单位提交，这不但培养了学生的合作能力，也形成了自然互助体.然而，对于地方高校的学生来说，仅仅这样“大众”形式的辅助力量不足以带动绝大多数的学生跨越数学分析学习的难关，进一步的“精准帮扶”至关重要.

第一，定时线下答疑.每周同学生约定一个时间（2～4小时）线下答疑，有疑难问题的学生可以在这个时间段找到老师面对面解决问题.如果没有学生找老师，老师也可以利用这个时间有目的地主动联系学生，特别对于那些不愿主动联系的学生，教师要做到心中有数，一学期下来，确保每名学生都参与过面对面答疑.通过和学生的沟通，不但可以解决学生的疑问，也可以进一步了解学生，有的放矢地改进后面的教学.

第二，成立临时互助小组.重点和难点部分内容的学习，本着自愿的原则，由本部分内容学得较好的同学任组长，成立临时互助小组.因为小组组建体现临时、自愿，成员关系相对亲密，学习小目标明确，收到效果较好.但老师一定要统一协调，让每个同学受益.

第三，特需预约.对于有特殊学习困难或急需解决问题的学生，可以随时和老师预约.数学分析的入门学习过程，很多学生都遇到过各种困难.不乏对学习困难估计不足，过于自信的学生存在.因为“数学分析”课程内容的相关性极强的特点，往往当他们发现跟不上课程时，已无法仅仅凭借自己的努力而赶上来，很需要老师的帮助.这时，他们会以寝室或小组等为单位统一向老师求助，老师都会给他们补课，及时补救.

4 结语

“SPOC+翻转课堂+精准帮扶”的教学模式在数学与应用数学专业2019级“数学分析”课程整个教学周期（三个学期）的实践，收到了预期的教学效果.通过课程改革，学生在完成学习内容的基础上，提高了高阶学习能力和综合能力.通过调查，有88.2%的同学认为这种教学模式很好.当然，这不意味着这种教学模式已经完美，持续完善是我们教师的使命.