从距离空间完备性角度探讨实数完备性理论

胡永模，张 海

（安庆师范大学数理学院，安徽安庆 246133）

实数集有一条重要的性质，即满足柯西准则的序列必收敛，这一性质本质上是实数集的完备性。同样，在“数学分析”课程中，实数集还有另外的完备性基本定理，如闭区间套定理、聚点定理和有限覆盖定理，其相关理论是经典分析学的基础。一般在实数集中叙述序列的收敛性或者满足柯西准则都离不开两个实数在数轴上的距离，所以在一般抽象集合上引进元素间的距离，就得到了距离空间的概念。此时，距离空间也有收敛点列与满足柯西准则的点列概念，当然也就有距离空间的完备性。实数空间是完备距离空间最简单的例子。本文从距离空间的完备性来阐述实数集完备性定理的成立。下面从以下几个方面研究如何理解距离空间的完备性。

1 距离空间完备性的定义

定义1[1-2]设(X,ρ)为任意一个距离空间，{xn}⊂X为任意一个点列，

（1）如果存在x0∈X，满足，则称点列{xn}在X中收敛到x0；

（2）若对任意的ε＞0，存在自然数Nε，当m,n＞Nε时，恒有ρ(xm,xn)＜ε，则称点列{xn}是柯西点列。若X中任一柯西点列都在(X,ρ)中收敛，则称(X,ρ)为完备的距离空间。

注由“泛函分析”课程中赋范线性空间理论可知，任何有限维赋范线性空间一定是完备的距离空间，(ℝ,ρ)就是一个典型的完备的距离空间，其中ρ(x,y)=|x-y|，∀x,y∈ℝ。特别地，有理数全体按照绝对值距离所构成的距离空间不完备，原因是有理数点列的极限e不是有理数。

2 完备距离空间的柯西收敛准则

实数集有条重要性质，即实数列收敛的柯西收敛准则，在“泛函分析”中，一般抽象的距离空间中的收敛点列一定是柯西点列。这样，由距离空间完备性的定义，可得到在一般抽象的完备的距离空间中的柯西收敛准则。

定理1（完备距离空间的柯西准则）在完备的距离空间(X,ρ)中，点列{xn}收敛的充要条件是{xn}是(X,ρ)中的柯西点列，即对任取的ε＞0，存在自然数Nε，当m,n＞Nε时，恒有ρ(xm,xn)＜ε。

应用这个定理自然就得到实数集上的柯西收敛准则，而无需像“数学分析”中那样进行长篇证明，原因只有一个，那就是实数集按绝对值距离构成一个完备的距离空间。

3 完备距离空间的闭球套定理

在完备的距离空间中成立闭球套定理，类似于实数集上的闭区间套定理，证明方法也是类似的。

定理2[3]（完备距离空间的闭球套定理）设(X,ρ)为完备的距离空间，{xn}⊂X，n=1,2,3,…。闭球序列满足条件S1⊃S2⊃S3⊃…⊃Sn⊃…，其中n=1,2,3,…，且εn→0(n→∞)，则必有唯一的一点。

下面应用定理2证明“数学分析”课程中“实数集的闭区间套定理”，过程简单，也很自然。

定理3[4]（实数集的闭区间套定理）设[an,bn]（n=1,2,3,…）是一列有界闭区间，满足：

（Ⅰ）∀n∈N，都有an≤an+1＜bn+1≤bn，即，则在实数集中存在唯一的ξ∈[an,bn]（n=1,2,3,…）。

证明考虑完备的距离空间(ℝ,ρ)，其中ρ(x,y)=|x-y|，∀x,y∈ℝ。令

4 完备距离空间中的聚点定理

在实数集上，任何有界集中的点列都存在收敛的子列，这就是实数完备性定理中的聚点定理。“泛函分析”课程中，满足聚点定理的集合称为列紧集。同样，在一般抽象的距离空间中也有有界集。

定义2设(X,ρ)为一个距离空间，A⊂X。如果存在一个固定的点x0∈X，固定的常数K＞0，使得对于任意的x∈A，恒有ρ(x,x0)≤K，则称A是(X,ρ)中的有界集。

在一般完备的距离空间上，任何有界集中的点列是否跟实数集一样都存在收敛的子列，即有界集是不是列紧集，回答是否定的。下面就是一个最典型的反例。

例完备距离空间(C([0,1]),ρmax)，其中|，?∀f,g∈C([0,1])。取，则，故{fn(x) }为(C([0,1)],ρmax)的有界点列。因为按照ρmax收敛等价于函数列一致收敛，而{fn(x) }={xn}在[0,1]上不可能一致收敛，故{fn(x) }按照距离ρmax没有收敛的子列。

在一般抽象的完备距离空间上，只有完全有界集满足聚点定理，其定义如下。

定义3[5]设(X,ρ)为任意的距离空间，A是X中的点集，B是A的子集。如果存在正数ε，使得以B中各点为心，以ε为半径的开球全体覆盖A，即，那么称B是A的ε-网。如果对任意的ε＞0，集A总有有限的ε-网{x1,x2,x3,…,xn}⊂A（点的个数n可以随ε而变），那么称A是完全有界集。

距离空间中的完全有界集一定是有界集，反之不真。但在任何有限维赋范线性空间中，两者是等价的，即有界集也是完全有界集。实数集上的有界集本质上是一个完全有界集。在完备的距离空间中，完全有界集是一个满足聚点定理的集合，即完全有界集是列紧集。

定理4（完备距离空间中的聚点定理）在完备的距离空间中，完全有界点列一定存在收敛子列。

实数集是一维赋范线性空间，其上的有界点列就是完全有界点列，从而一定存在收敛子列。这样，“数学分析”中实数集的聚点定理也是自然成立的。由上面的讨论可知，满足聚点定理的集合本质上是列紧集，只不过在完备的距离空间上，列紧集的具体表现形式为完全有界集，而在实数集这类有限维空间上，列紧集就是有界集，从这个角度来理解“数学分析”中的实数集的聚点定理就会更加透彻。

5 完备距离空间中的有限覆盖定理

在实数集上，有限覆盖定理和聚点定理是等价的，利用它们可以证明闭区间上连续函数的基本性质，如最大值定理和等度连续定理等等。仔细考察这些定理的证明可以发现，实数集上的有限覆盖定理对有界闭集同样成立，而对于一般抽象的距离空间，满足有限覆盖定理的集合是紧集，这是一类比有界闭集更强的集合。至于在完备的距离空间中，由于完全有界集就是列紧集，所以完全有界闭集就是紧集，从而得到完备距离空间的有限覆盖定理。

定理5（完备距离空间的有限覆盖定理）设(X,ρ)为完备的距离空间，A为X中任意的完全有界闭集。对于A的任意开覆盖，那么必有{Gα}（α∈Λ）中的有限个开集{Gα1,Gα2,Gα3,…,Gαn}覆盖A，即。

在有限维空间上，由于有界集是完全有界的，当然也是列紧的，所以有界闭集既是完全有界闭集，也是紧集。从这个角度和定理5可知，实数集上有界闭集一定满足有限覆盖定理。

6 结束语

本文从距离空间完备性角度重新审视实数集的完备性定理，站在距离空间的角度更有利于清晰透彻地看清实数集的本质。相应地，通过给出实数集这一具体的距离空间，距离空间中的一些抽象概念也得到更好的直观解释。利用有限维赋范线性空间一定是完备距离空间来研究实数列收敛的柯西准则以及闭区间套定理。在此基础上，通过有限维赋范线性空间中的有界集就是列紧集、有界闭集就是紧集来分别阐述实数完备性定理中的聚点定理与有限覆盖定理。利用距离空间的完备性理论审视实数空间的完备性，阐述两者是一般与个别的关系，说明距离空间是实数空间的抽象，从而得到距离空间的很多特性都类似于实数集的结论。