神经网络受损对神经元放电模式及同步行为影响的研究

杨 航, 荣国栋，黄守芳，崔双燕，汪茂胜，张季谦

(安徽师范大学 物理与电子信息学院，安徽 芜湖 241000)

近年来，人们对复杂网络特别是神经网络的集体动力学行为的演化规律及形成机理进行了广泛的研究[1-4]。研究发现不仅可以观察到同步态、非同步态外，还能够观察到相干态与非相干共存的奇异态这种特殊现象。同时，在一定条件下，人们还发现网络中可以产生完美奇异态、旅行奇异态、不完美旅行奇异态等不同演化特点的时空行为[5-6]。

众所周知，人类大脑是由大量神经元以及神经元之间的突触连接而成的，具有高度复杂拓扑结构的神经网络，脑网络的集体行为与脑功能和各种脑神经疾病密切联系[7]。例如，现有研究表明，神经元的正常同步有助于大脑中诸如知觉、意识、记忆能力等各种认知行为及脑功能的执行过程的顺利进行[8]，而脑网络的异常同步则会引起多种神经性疾病。例如，同步减弱会导致精神分裂等疾病[9]，神经元同步性异常增强则会诱发帕金森氏病或癫痫[10]。研究发现，临床上诱发神经性疾病有多种因素，其中神经网络的受损就是重要诱因之一。常见的有，脑外部受到机械性撞击所导致的创伤性脑损伤，脑内部中风、多发性硬化症等因素所引起的脑损伤。很显然，这些损伤会使得神经元凋亡或神经元之间的突触连接受损，引起网络的拓扑连接发生改变，从而导致脑功能受损，最终诱发相应的神经性疾病。例如，损伤神经元的动作电位发射频率和爆发活动会增加数倍，引起神经元的超同步性放电，诱发癫痫病症。突触连接受损减弱神经元同步放电过程，导致持续性的记忆能力发生中断，从而引起认知障碍。神经网络的集体状态也会发生相应变化，导致网络动力学响应行为减弱。神经元损伤动力学行为的研究多基于神经影像技术和临床实验数据，这些数据的获得会受到临床实验条件的限制。因而利用复杂网络理论进行仿真模拟，就成为近年来考察神经网络受损对其动力学行为影响及发病机理的一个重要手段。因此，本文中，我们选取HR神经元为研究对象，并以此为节点，构建了一个由N个神经元组成的环状网络，每个神经元通过电突触耦合方式与周边p个神经元进行连接。分别考察了正常和受损网络的动力学行为，以期了解网络受到损伤时对神经元放电模式以及信息同步传递的作用机理。接着，我们引入突触耦合强度、受损程度等作为控制参数进行仿真模拟，并对结果进行分析，最后对研究结果进行了总结。

1 模型与方法

本文以三阶HR神经元模型为研究对象[11]，采用电突触耦合的方式，构建了一个环状的神经元网络，其方程形式如下所示：

(1)

式中xi,yi和zi分别为第i个神经元的膜电压、与膜运输的快通道(例如钠)和慢通道(例如钾)有关的变量。模型参数a=1,b=3,c=1,d=5,r=0.005,s=4，Iext为外部的刺激电流。σx为耦合强度，p为与第i个神经元与两边最近邻耦合神经元的个数。(Aij)n×n为连接矩阵，如果i和j两个神经元相互连接则Aij=1，其它为Aij=0和Aii=0。图1是神经元耦合网络示意图，每个神经元通过突触耦合方式，既接收来自其它神经元输入的信号，同时也向其它神经元输出信号。

图1 神经元环状耦合网络示意图，其中红线表示神经元1的信号输出，蓝线表示信号接收。Fig.1 Schematic diagram of neuron ring coupling network,where red lines represent the signal output of neuron 1,and blue represent signal reception.

当神经网络受到某种损伤因素作用时，可能会导致神经元以及突触连接都会受到一定程度的损害，而这种损伤将会分别影响到神经元接收信号以及输出信号的能力。为描述这种损伤作用，我们定义了损伤率η(η=损伤神经元数/总神经元数)来表示网络中损伤神经元的比例，并假设受损神经元在网络中的位置是随机分布的。同时，我们还引入损伤程度λ来表征神经元或突触连接受到损伤的程度。由于神经元间的信息交流是通过突触耦合来实现的，因此，当神经元i和j相互连接时，神经元及突触受损的结果反映到连接矩阵Aij上，可用如下两种情形描述：

当Aij=1-λ,i为受损神经元，j为正常的神经元，接受功能减弱；当Aji=1-λ,i为受损神经元，j为正常的神经元，输出功能减弱；式中λ为损伤程度，且0<λ<1，λ越大，相应的Aij越小，即损伤程度越严重，对应的连接强度越弱。

为了描述网络的集体响应行为，引入同步因子R[12]，其定义式如下：

(2)

其中N为神经元的个数,<*>代表变量对时间求平均。完全同步时，R接近1，完全不同步时R接近0，介于0到1之间的为不完全同步态和奇异态，R越大表明网络的同步程度越高。

2 数值模拟结果

本文采用四阶龙格-库塔法对方程(1)进行数值模拟，时间步长为0.001。神经元个数N=300,p=40,Iext=3.25。各神经元的初始条件设为[3]：当i=1,2,3,…,N/2，xi=0.01(i-N/2),yi=0.02(i-N/2),zi=0.03(i-N/2)。当i=N/2+1,N/2+2,N/2+3,…,N，xi=0.1(N/2-i),yi=0.12(N/2-i),zi=0.21(N/2-i)。

本文中，我们调控耦合强度，分两种情形进行数值模拟：(1)神经网络正常情形；(2)神经元及突触连接出现部分损伤。考察在不同的损伤情况下，其对神经元输入、输出信号响应能力以及网络同步行为的影响并进行对比分析。

2.1 神经网络正常情形

作为对比，我们首先考察了网络中神经元及突触连接均正常的情形，当神经元有相互连接时，连接矩阵Aij=1。调节耦合强度σx，记录膜电压并绘出网络时空演化图，以及任选1个神经元膜电压的时间序列图，如图2所示。当σx=0.05时，网络处于完全不同步的状态，神经元呈现出方波爆发的放电模式(图2a,2d)；当σx增大到σx=0.83时，网络处于旅行奇异态，并且神经元的放电模式为高原爆发放电(图2b,2e)；进一步增大耦合强度到σx=2.5时，网络处于完全同步的状态，神经元的放电模式为周期性的尖峰放电模式(图2c,2f)。数值模拟结果表明，对于正常的神经网络，调节耦合强度σx可以有效地控制神经元的放电模式以及同步行为，耦合强度越大，网络的同步程度越高。

图2 神经元及突触连接正常,单个神经元膜电压的时间序列图(左侧)和时空演化图(右侧)。(a,d)σx=0.05;(b,e)σx=0.83;(c,f)σx=2.5。Fig.2 Neurons and synaptic connection are normal,the time series diagram of the membrane voltage of a single neuron (left) and the time-space evolution diagram (right).(a,d)σx=0.05;(b,e) σx=0.83;(c,f) σx=2.5。

2.2 神经网络出现损伤时的情形

(i)固定损伤率，考察不同耦合强度下的影响

当网络中出现一定的损伤，例如η=20%,λ=0.5时，我们选取几个有代表性的耦合强度σx=0.05,0.83,2.5，分别研究神经元损伤导致接收以及输出功能受损时对放电模式和网络同步的影响。神经元输入端功能受损对应的结果如图3所示。当σx=0.05时，正常神经元为方波爆发以及尖峰放电共存的放电模式，损伤神经元则为周期性的尖峰放电模式，网络处于完全不同步的状态(图3a,3d);当σx=0.83时，正常神经元与损伤神经元具有相同的放电频率，但放电模式却不相同，分别为高原爆发放电模式以及方波爆破模式，此时网络为不完全同步的状态(图3b,3e)；当σx=2.5时，两类神经元的放电模式基本一致，并且网络趋于完全同步的状态(图3c,3f)。

图3 网络受损引起神经元接收功能变化,正常与损伤神经元放电模式图(左侧)和网络的时空演化图(右侧)，η=20%,λ=0.5.(a,d) σx=0.05;(b,e) σx=0.83;(c,f) σx=2.5。Fig.3 Changes in neuron receiving function caused by network damage,normal and injured neuron firing patterns (left) and network spatiotemporal evolution diagram (right),η=20%,λ=0.5.(a,d) σx=0.05;(b,e)σx=0.83;(c,f)σx=2.5.

网络中神经元输出信号功能受损的结果如图4所示。从图中可以看出，当σx=0.05时，不论是正常神经元还是损伤神经元，放电模式都为方波爆发以及尖峰放电共存，但放电频率有所不同，此时网络处于完全不同步的状态(图4a,4d)；当σx=0.83时，两种神经元放电行为趋于一致，都为高原爆发放电模式，网络处于不完全同步的状态(图4b,4e)；当进一步增加耦合强度到σx=2.5时，两种神经元的放电模式都为完全相同的混合放电模式，网络处于完全同步状态(图4c,4f)。

图4 网络受损引起神经元输出功能变化,正常与损伤神经元放电模式图(左侧)和网络的时空演化图(右侧),η=20%,λ=0.5.(a,d)σx=0.05;(b,e)σx=0.83;(c,f)σx=2.5。Fig.4 Changes in neuron output function caused by network damage,normal and injured neuron firing patterns (left) and the spatiotemporal evolution of the network (right),η=20%,λ=0.5.(a,d) σx=0.05;(b,e)σx=0.83;(c,f)σx=2.5.

模拟结果表明，网络受损存在部分缺陷时，神经元输入和输出信号的能力均有一定程度的减弱，放电模式也同正常情形下的有所不同，但调节合适的耦合强度依然可以起到控制神经元放电模式以及同步行为的作用。

(ii)固定耦合强度，考察不同损伤程度下的影响

为进一步研究网络受损所带来的影响，我们分别固定耦合强度，研究不同的损伤条件下对网络同步行为的影响，结果如图5所示。

当σx=0.05时，我们选取有代表性的四种程度损伤率η=5%，20%，35%，50%分别进行分析。从图5(a)中可以看出，当η=5%时，网络中损伤程度不大，受损的神经元和突触数量较少，此时体系中的神经元放电模式与正常情形下的基本相同，并且由于耦合强度较小，因此R随着损伤度λ增加而有所降低，但下降比较平缓(黑色线)。当损伤率η增加到20%时，R随λ增加而迅速减小，当λ增加到0.2附近时，R减小到接近0，表明同步性能变差(红色线)。当损伤率η进一步增加时，这种变化趋势更加明显，网络呈现为完全不同步的状态。

当增加耦合强度到σx=0.83时，在一定的损伤程度范围内(0<λ<0.5)，R值出现上下震荡的变化，结合时空图可知，随着损伤程度λ的加大，网络在旅行奇异态以及不完全同步态之间交替变化。当损伤程度达到一定强度时，网络的同步程度呈现下降趋势，网络处于不完全同步的状态，如图5(b)所示。

当耦合强度σx=2.5时，对于损伤率较小的情形(η=5%)，R随损伤程度变化较小，网络稳定性较高，同步程度较大；当损伤率增加到η=20%时，由于损伤的神经元个数增加，随着损伤程度λ的加大，网络由完全同步态向旅行奇异态转变，并随着λ的增大，R逐步减小，表明体系的同步性能有所降低，如图5(c)中红色曲线所示。若在保持损伤程度λ～0.5条件下，继续增大损伤率，由于耦合强度较大，R降低速度有所减慢，最终基本稳定在R≈0.95的较高水平。但当损伤程度λ超过一定值且接近1.0时，即使继续增大耦合强度，都无法使系统同步。这表明，网络损伤程度较小时，虽然对神经元放电模式改变较大，但在较高的耦合强度下，系统还能维持较好的同步性能。

图5 在不同损伤率η下,同步因子R随损伤程度λ的变化图。Aij=1-λ,(a)σx=0.05;(b)σx=0.83;(c)σx=2.5。

3 结论

本文基于HR神经元构建了一个环状神经元网络，考察了受损的神经网络对体系中神经元放电模式及网络同步性能的影响。研究发现，其一，当神经网络正常时，适当的耦合强度，可以调控神经元的放电模式，增加网络的同步程度。并能使网络呈现出完全不同步态、旅行奇异态以及完全同步态等不同的响应行为。其二，当网络中部分正常神经元或突触连接受到损伤时，会引起输入及输出信号的性能减弱，导致网络的同步性能随损伤程度增加呈现一定程度的下降，不过，当耦合强度较大时，网络受损虽然对神经元放电模式影响较大，体系的同步行为虽有所下降，但却能稳定在一定的同步水平，这表明较强耦合条件下，体系对部分神经元出现损伤具有较强的鲁棒性。上述研究结果有助于进一步了解网络缺陷与体系同步性能之间的关系，对揭示神经性疾病的内在形成机理有一定的理论指导作用。