让数学表达助力深度学习

江苏省常州市花园第二小学 孙丽燕

数学思维可从数学表达中探知。在数学学习中，学生的数学表达存在许多问题，如言之无物、自说自话、词不达意、条理不清等。数学表达不仅要关注结果，更要重视其过程，特别是表达过程中的逻辑思维和语言表达中的逻辑关系。学生不仅要会解题，而且要会说理，学会利用数学表达真正表征数学思维，充分利用语言、文字、图形、符号等形式的数学语言展现数学思维和发展数学思考。

一、用“疑”激发表达“欲”，让数学表达“言之有物”

充满求知欲、不懈追求真知的人，能获得真正的学习。针对学生表达“言之无物”的问题，“疑”是对知识的主动思考，是思维的助推器，能培养学生的创造欲望。引发学生原生的好奇心、求知欲，让学生经历抽丝剥茧式的学习过程，激发学生表达之“欲”，让数学表达有内容、有思考。

【案例】教学完三年级下册“认识小数”这一课后，笔者在练习环节请学生在数轴上的方框里填数，通过猜想—判断—验证，引导学生认识“1和2之间平均分成10份，一半是5份，1和2中间的点表示1.5”。

师（出示图1）：猜猜这个数轴上箭头所指的点表示多少？看谁的估测能力最强？

图1

生：2.2。

师：怎么不猜2.3或2.5呢？

生：只要看2和3之间的小格，比一比，比2多的部分相当于刚才平均分成10份中的2小格（学生加上手势解释）。

生：我一瞄发现2.3似乎太多了，2.5要在2与3最中间，所以2.3、2.5都不对。

师：真棒！比一比就是方法，“一瞄”过程中有思维。（PPT呈现2与3之间平均分10份的数轴）

师（出示图2）：方框中填多少？

图2

生：2.35。

师：有没有不一样的答案？

生：2.34。

师：到底是2.34，还是2.35呢？

生1：老师，太小了，要放大一点看。

生2：要把2.3和2.4之间分一下，发现一部分小、一部分大。

生3：我知道，要把2.3和2.4之间平均分成10份，看这个点在哪里来判断。

（随之出示放大后每小格均分十份的图）

【认识】数轴上填的数，从猜想到判断，再到验证，不断深入，两位小数本是五年级内容，因为前面知识的深度理解，“疑”设得自然、恰当，三年级孩子已有所感悟。“有没有不一样的答案？”“怎么不猜2.3或2.5呢？”“到底是2.34，还是2.35呢？”这些问题是点燃学生好奇心的导火索，激发他们的求知欲，促使他们快速进行高质量的思考，发自内心地想去表达。从真实的问题出发，深入思考，使知其然的学生重新审视原有的认知，“疑”激发其表达“欲”，促进学生的思维由“果”追寻“因”。

【反思】数学表达的基础“言之有物”

“疑”能让思考有目标，通过解决“疑”，开放思维，数学表达“言之有物”。透过表达，促进学生深入思考，激发学生的表达欲望。在“探疑”中发现，在“表达”中理解，不知不觉中问题深入了，学习内化了。有内容、能思考的表达，让课堂更灵动，情感得到进一步激发。

二、设“辩”启发表达“智”，让数学表达“言之有理”

“疑”能促使学生主动表达。“辩”则能让学生争相交流，互启智慧，获得思维的生长。针对“自说自话”的问题，“辩”更能使学习的真理得以发现和理解，使思考得以优化和拓展。

【案例】教学一年级下册“认识平面图形”这一课时。

师：同学们，你能用橡皮筋在钉子板上围出一个圆吗？

生：能。（学生兴趣盎然，跃跃欲试）

师：口说无凭，试试看。

生1：老师，我围成了一个圆（把牛皮筋往钉子板某个点上一放，牛皮筋的自然形状是圆形）。

生2：我反对，他还没有围呢，这是牛皮筋本来的形状。

师：同意吗？那你们觉得在钉子板上能围成圆吗？

（没想到少数学生仍然回答：能。个别学生信誓旦旦，保证能围出来。全班同学居然没有一个人反对）

生3（拿出自己围成的八边形）：老师，我围出了圆形。

师：你们再看看圆形，摸一摸它的边，再看看这位同学围成的图形呢？

生4（怯生生）：钉子板上好像不能围成圆。

（大多数学生似乎开始沉默思考）

师：想一想，钉子板上为什么不能围成圆呢？

生5：我知道了，其他图形都有直直的边，只有圆的边是圆的。

生6：我本来以为一定可以围成圆的，听了刚才的回答，我明白了在钉子板上只能围成越来越接近圆的图形，但不能围成圆，因为圆是曲边图形，没有直直的边。

（全班不由自主地鼓起掌来）

【认识】谁说极限思维一年级学生不可能有，学习即探索，对“能不能围成圆”的探究，使所有学生都集中注意力，想了解问题出在哪里？如何调整思考方向？鼓励学生借助已有经验展开持续的探寻，在“阅读”他人想法中思考，在“倾听”自我追问中表达，有法可依，有理可循。在交流争辩中理解，获取会思考、能言说、有深度的学习，突破对钉子板上围成图形的认识。重塑知识的过程让知识不断地丰盈，思维不断地生长。

【反思】数学表达强调“言之有理”

表达不仅是说出结论，更需要有理有据。创设开放的交流环境是言理、“辩”理的前提，学生经历了自主探究的过程，才能获得丰富的体验感受，才有真实生动的想法和表达，才能最大限度地激发自身的潜能、活跃自己的思维、培育自己的创新意识。边思、边辩、边表达，体会学习之“本”，还原知识之“理”，促进思维之“长”。

三、借“形”启迪表达“法”，让数学表达“言之有法”

“疑”能激起学生数学表达的欲望，“辩”可以让思考深入，而多种多样的表达方式能够更好地呈现表达的意图。针对学生“词不达意”的问题，可以丰富学生表达的方式，包括语言文字的表达和符号、图形的表达，从静态的表达向动态的表达推进，有效传递学生对问题的思考。

【案例】教学“画图策略解决实际问题”后，遇到这样一道练习题:一个等腰三角形的周长是30厘米，底比腰长3厘米。它的底是多少厘米？（先画示意图，再解答）

分别呈现两种示意图：

师：老师发现很多同学根据题目信息，画出了示意图，你更赞成哪种示意图，为什么？

众生：第②种，因为第②种把题目中的信息全部标注出来了。

（去掉资源①，呈现资源②③）

师：老师还发现有少数同学画成了常规的线段图。这两种画法，你觉得哪种画法更能一眼看出三角形三条边之间的关系？为什么？相互交流一下。

生1：第②种，画成了三角形的样子，一眼看出腰和底，形象。

生2：第③种，画成线段图的样子，更能看出底比腰长3厘米。

生3：我虽然刚才没有想到，但我也更赞成第③种，底比腰长3厘米，更清楚了。

生4：线段图为什么要画两条腰呢？我画一条腰更简洁。

师：是啊，这里到底是画两条腰还是一条腰，更能清楚看出题中的信息呢？其他同学能回答他的问题吗？

生5：我还是觉得画两条腰比较好，这样三角形三条边的关系一目了然。

【认识】 示意图、线段图等是数学表达中常见的方式，经过讨论，大家纷纷觉得第③种资源（画两条腰），既能一眼看出底与腰之间的关系，又能一眼看出周长包括三条边。直观、简洁、准确地表达底、腰、周长之间的相互联系，从而有效地培养学生对信息的提取能力。图中依次出现的信息与学生思维的逻辑联系清晰“可视”。

【思考】数学表达需要“言之有法”

“语言是思维的外壳，是思维的工具，语言对思维有概括和调节的作用。”这里的语言，除了口头语言，还可以是文字、符号、图形语言，这些同样可以是数学交流和沟通的工具。再深刻的思考，也要通过表达传递，将思维图形化，可以更清晰地看到学生的思维过程，每一条线段、每一个文字都显示着学生的思维流程和认知结构。利用文字、符号、图形表达，促使学生更有深度地展开数学思考，使学生的表达更有主次，更有逻辑，更清晰。

四、创“台”助于表达“力”，让数学表达“言之有序”

提升学生数学表达的过程，也是培育学生的高阶思维的过程。日常的课堂中，给学生创造锻炼的舞台，让学生走上讲台对着全班同学表达自己的观点，并且让学生主动与其他同学互动，问“你同意吗？”“还有什么意见吗？”等。经常用“你能评价一下他的回答吗？”“你有更好的办法让所有同学都听懂吗？”给学生创设表达情境，让数学表达成为日常，让学生想说、敢说、会说，促进其在课堂上主动参与、积极表达。

当低年级的学生自信大方地站在讲台上滔滔不绝地讲述他对算法的各种理解时，当中年级的学生能对别人的做法有理有据地真诚评价并提出建设性建议时，当高年级的学生能对一道题目的多种解法进行清晰明了的讲解时，你会觉得给学生空间和时间，学生的发展就会有无限可能。“以问题为引领，以任务为驱动”，适时地加以引导、点拨，帮助学生准确、完整、有条理地表达自己的想法，让表达与数学素养的培养紧密结合。

数学表达的过程是核心素养提升的过程，当有序、严密的逻辑表达成为孩子的习惯时，他们的数学表达能力自然得到提升。