复杂作战网络体系博弈与重构方法

陈晓楠，胡建敏，池本亮，崔洋

(1.国防大学 联合勤务学院，北京 100089；2.91213部队，山东 烟台 264000)

0 引言

信息技术的发展推动着科学技术的进步，影响着军事理论的发展与创新。在新时代国防和军队建设的大环境下，先进的信息技术对我国军事战略决策的有着深远的影响。复杂网络作为21世纪最为重要的新兴交叉学科之一，逐步成为科学界关注的焦点，并对很多传统学科的研究范式带来了颠覆性的改变。随着复杂网络相关理论研究的不断深入，其应用性已经在很多领域内得以体现。

作战体系是一个复杂巨系统，复杂系统可以用复杂网络进行描述。复杂网络是研究复杂系统的一种科学方法，通过把作战系统抽象为作战节点与作战节点的相互关系，来理解和研究复杂系统特性和功能。

研究复杂网络必须从其复杂性入手，来反映出作战体系的各种特性，例如复杂网络的小世界效应、社团结构、异质性、涌现性等性质。复杂网络重构是通过观察到的数据来推测节点之间与临边的关系。节点的动力学特性影响着自身与邻接节点，节点与节点之间相互交互，共同构成了整个网络体系。

目前有很多关于作战网络的抗毁性、协同性等方面的研究，例如:文献[1-2]中运用复杂网络的传播动力学特性对体系作战中的指挥与协同效果进行研究；文献[3]中对从问题域和技术域两个方面建立体系贡献率评估的研究框架并进行分析研究；文献[4-5]对作战网络抗毁性进行了分析与研究。关于复杂网络重构的研究也有很多，网络重构的目的是通过观测网络中获得的数据来推断网络的拓扑结构。文献[6]中对近年来复杂系统重构方面取得的研究进展进行了分析，总结了通过压缩感知的网络重构、重构非线性动力学系统网络、似然估计重构网络等复杂系统网络重构方法。但是对于作战网络体系的重构，尤其是结合作战实际的复杂网络重构研究则少之又少。基于此，本文对复杂作战网络体系中的双方作战博弈关系与对敌作战网络重构方法进行研究，提出了一种改进的作战博弈和重构方法。

1 复杂作战网络体系博弈方法的描述

1.1 作战网络的定义

已知复杂作战网络中，每个作战节点为一个可以独立遂行作战任务的作战单元，作战单元要具备相对独立的作战能力，包括情报信息、侦察通信、指挥控制、机动打击、综合保障等一种或多种作战要素[7]。战场双方都是由众多作战单元共同组成并以特定方式进行耦合的作战网络。己方作战节点之间组成己方作战网络，敌方作战节点之间组成敌方作战网络，双方作战网络的网间关系共同组成交战网络，具体如图1所示。图1中，x1,x2,…,x10,y1,y2,…,y10为作战节点。

图1 作战网络示意图Fig.1 Schematic diagram of combat network

假设己方网络作战节点共No个，己方邻接矩阵为Co=[aij]No×No，敌方网络作战节点共Ne个，敌方邻接矩阵为Ce=[bij]Ne×Ne，双方之间的交战网络邻接矩阵为Cb=[cij](No+Ne)×(No+Ne)，aij、bij和cij为判断对应网络中第i个节点是否指向第j个节点，有指向关系则为1，否则为0. 己方网络、敌方网络和交战网络都有着复杂网络对应的基本特性，可以求得相应的网络特征属性，例如，节点的度、聚类系数、介数等。

己方网络作战节点之间或敌方网络作战节点之间共同组成相同阵营的有向无权网络，节点之间的相互关系为协调、控制、保障、支援等，在这种关系里面，作战节点与作战节点之间的博弈更侧重于正和博弈，作战节点之间通过协调与配合使网络中的综合收益最优化。

交战网络之间的双方节点共同组成不同阵营的有向无权网络，不同阵营节点之间的相互关系为渗透、攻击、干扰等，在这种关系里面，作战节点与作战节点之间的博弈更侧重于零和博弈，作战节点之间通过作战策略的选择使己方网络收益最大化，敌方网络中的综合收益最小化。

1.2 作战节点结构重要程度

在作战体系中，作战节点最直观的性质是节点在网络体系结构中的重要程度。关于节点结构重要程度的文献很多，节点重要性的度量方法主要有两种：一种是通过节点的中心性来评估，节点中心性越强，对应的网络节点越重要，例如节点的度中心、介数等；另一种是通过去掉某个网络节点后，评估网络性能的下降程度来进行衡量，例如节点删除法、收缩法等[8]。

这里通过删除对应节点后的网络同步能力变化来进行节点结构重要性的评估。网络同步能力大小可以通过对应的Laplace矩阵的特征值之比来衡量，即R=λmax/λmin，R为网络的同步性，λmax和λmin分别为Laplace矩阵最大和最小非零特征值矩阵。R值越小，对应网络同步能力就会越大[9]。研究表明，在一个有向网络中，网络的度分布和网络的层次结构这两个重要因素影响着R值大小，可以看出，度分布越均匀，对应网络的同步性就越强。因此，网络的同步性可以近似的表示为

(1)

作战节点的最小入度为1情况下，对应节点的结构重要程度D可以表示为删除此节点后的网络同步性R′和未删除此节点后的网络同步性R的比值，即

D=R′/R.

(2)

(3)

结构重要程度D值越大，说明此作战节点在网络中对同步能力的影响越大，作战节点的重要程度就越大。

1.3 作战节点价值重要程度

无论己方的作战节点还是敌方的作战节点，都有着自身的价值。在实际作战中，价值量高的作战节点不一定有着重要的结构特征，但是其价值本身决定了在作战体系中的重要性和作战贡献度。因此，对作战节点的价值重要程度进行评估是有必要的。

接下来对作战节点的价值重要性进行评估，指标体系如图2[11-14]所示。

图2 节点价值重要程度的指标体系Fig.2 Value importance index system of nodes

作战节点的价值重要性指标：

1)侦察能力S包括作战节点的发现目标能力S1、目标定位能力S2和目标识别能力S3. 侦察能力主要是对敌方目标进行侦察的能力。

2)决策能力A包括作战节点的作战指挥能力A1、辅助决策能力A2和控制协调能力A3. 决策能力主要是对敌方节点情报信息进行决策的能力。

3)攻击能力I包括作战节点的精确命中能力I1、攻击毁伤能力I2和攻击支援能力I3. 攻击能力主要是按照命令对敌方节点进行攻击的能力，对敌方节点造成一定的毁伤效果。

4)保障能力L包括作战节点的保障作用范围L1、保障持续时间L2和保障机动能力L3. 保障能力主要是对我方节点进行保障的能力。

对于节点的价值重要程度中侦察能力、决策能力、攻击能力、保障能力4个二级指标的计算采用加权法来计算：

(4)

式中：r∈{S,A,I,L}；ωk为加权值；Cr,k为侦察能力、决策能力、攻击能力、保障能力下的具体能力指标值，Cr,k值是通过现有的情报信息进行评估后得到的，取值为[0,1].

则作战节点的价值重要性F同样用加权法来计算：

F=ωSPS+ωAPA+ωIPI+ωLPL,

(5)

式中：ωS、ωA、ωI、ωL为加权值。

1.4 不同阵营收益矩阵衡量方法

通过作战节点结构重要程度和作战节点价值重要程度可以反映出作战节点本身的内在属性，这种属性影响着作战决策的选择和作战收益的衡量。这里通过构造收益矩阵函数来表示不同作战节点之间的收益关系。

已知在不考虑作战节点内在属性情况下，敌我双方收益矩阵如表1所示。

表1 双方收益矩阵Tab.1 Payoff matrices of both sides

根据作战实际情况，当敌我双方进行作战时，既要考虑作战节点的内在属性，也要考虑交战网络的方向指向。我方作战节点价值重要程度属性越大，敌方作战节点价值重要程度属性越小，对敌方的渗透、攻击、干扰等行动越容易成功，作战成功率越高，但是，获得的收益越低；反之，我方作战节点价值重要程度属性越小，敌方作战节点价值重要程度属性越大，对敌方的渗透、攻击、干扰等行动越难，作战成功率越低，但是，成功后得到的收益也越大。收益的大小与敌方作战节点的结构重要程度属性和价值重要程度有关。这也表示了风险和收益的对等关系，风险越大、收益越大，风险越小、收益越小。因此对表1收益矩阵进行处理，具体收益矩阵如表2和表3所示。

表2 基于节点内在属性的收益矩阵Tab.2 Payoff matrices based on the internal attributes of nodes

表3 相同阵营作战节点的收益矩阵Tab.3 Payoff matrices of nodes in the same sides

表2中：Hφ=DφFφ，φ∈{o,e}，Ho、He分别表示我方作战节点的内在属性和敌方作战节点的内在属性，当我方对敌方采取行动时φ=e，当敌方对我方采取行动时φ=o.

表3中：HM对应采用M1和M2策略的作战节点的内在属性；H′M对应采用M′1和M′2策略的作战节点的内在属性；对于己方阵营，M1、M2、M′1、M′2策略与O1、O2策略相对应；对于敌方阵营，M1、M2、M′1、M′2策略与E1、E2策略相对应。

1.5 相同阵营内收益矩阵衡量方法

对于己方各作战节点之间或者敌方各作战节点之间的博弈收益矩阵则是另一种情况。对于相同阵营的作战节点策略选择更侧重协同与合作，同时，作战节点内在属性值越大，则作战节点越重要，对策略选择后产生的收益大小影响更大，其收益矩阵如表3所示。

作战开始时，在指挥机构统一领导下，相同阵营内作战节点初始策略的选择是满足综合收益最大化原则。

随着作战的进行，我方根据敌方的行动调整策略，所谓牵一发而动全身，一个作战节点策略改变，往往使周围其他作战节点的策略可能发生改变，周围作战节点策略改变的同时也要兼顾对敌方策略的选择，即要使综合收益最大化，这就需要对作战博弈策略的更新进行分析与研究。

1.6 博弈策略更新准则

在每轮作战博弈中，各个作战节点的策略选择有很多种方法。例如在文献[15]中，Wang等提出了费米方程作为选择策略，即对于每一个节点i(策略选择为Si)，随机选择邻接节点j(策略选择为Sj)，Si以W概率选择Sj策略：

(6)

式中：Gi为Si累计收益；Gj为Sj累计收益；κ为噪声，表示一种非理性行为的可能性，是一个比较小的值。

采用费米方程作为更新准则是十分常见的方法，但是会导致作战博弈策略选择趋于单一化，单一策略过多，不利于后续重构求解，且费米方程不能很好地反映出符合作战实际的策略选择。因此这里提出一种切合作战实际博弈策略更新准则。

步骤1这里设首轮作战博弈中己方与敌方策略选择都满足双方作战网络内的综合收益最大原则，只考虑双方各自的作战网络中节点之间的博弈效益最大化，即

(7)

式中：N为双方作战网络的作战节点数量，N∈{No,Ne}；P为收益矩阵；Si和Sj分别为双方作战节点i和j的策略选择矩阵，Si,Sj=[1,0]T或Si,Sj=[0,1]T。

步骤2新一轮作战博弈双方策略选择根据作战节点的上一轮收益来决定是否变换策略。以任意一个作战节点K为例，假设与K作战节点相链接的敌对阵营作战节点数为M，则

(8)

式中：W为K作战节点更换策略的概率；G0为K作战节点的上一轮收益；GK为与K作战节点相连的敌对阵营节点上一轮收益；κ是调整策略的一个参数，表示策略改变对上一轮收益比较的敏感程度。

步骤3敌我作战收益矩阵的具体收益针对的是作战策略成功的前提下，若作战策略没有成功的话，一方不会减少收益，另一方不会增加收益，因此，根据1.4节中对节点价值重要程度属性与风险收益的判断来决定节点i对节点j策略执行的成功率，即

(9)

式中：Xij为策略的成功与否。Xij=0的概率为

(10)

式中：Fi为i作战节点的价值重要程度；Fj为j作战节点的价值重要程度；κ1是调整作战成功率的一个参数。

在每一轮作战博弈中，作战节点与他们的所有己方邻居作战节点和对方链接作战节点进行博弈并且获得收益，可以计算出作战节点i的收益。

己方作战节点的作战收益为己方网络之间作战节点的协同收益和与敌方作战节点交战的博弈收益之和，为

(11)

敌方作战节点的作战收益为敌方网络之间作战节点的协同收益和与己方作战节点交战的博弈收益之和，为

(12)

步骤4返回步骤2进行新一轮作战博弈，更新作战策略。

在真实作战背景下，作战博弈过程应考虑到作战节点的增加与删除，每一次作战节点的增加与删除相当于一个新的博弈起点，博弈推导过程的原理相同，这里限于篇幅，仅考虑一个作战博弈周期内的作战博弈情况，即不考虑作战节点的增加与删除情况。

2 复杂作战网络体系重构方法的描述

作战网络的重构与普通复杂网络的重构有着一定的区别。作战网络体系是在保存我方节点的前提下消灭敌方节点，双方的不断攻防交互使得整个作战网络体系的复杂程度剧增。我方尽可能地重构敌方的网络体系，从而更好地掌控战场形势，最终得到更大化的军事效益；此外，我方为了保存有生力量尽可能地隐蔽我方的网络节点，通过我方节点的机动或者一定的战略策略让敌方失去对整个作战体系网络的把控，反之敌方也采取同样的行动来对我方进行遏制。作战网络体系的重构就是对整个网络体系进行重构，即在各种复杂环境下对整个作战体系网络进行全方位地掌控，使我方能够正确地掌握更多的作战节点和网络特性。

2.1 复杂作战网络的3种重构情况描述

传统复杂网络的重构以重构节点之间的链接为主，通过演化博弈、动力学特征等来重构遗失的网络链接。而对于复杂作战网络的重构，需要贴合作战的实际情况，重新对重构进行定义。限于篇幅，这里只讨论敌方作战体系的重构问题，敌方作战体系的重构分3种情况。

情况1重构敌方部分的作战链接。胡晓峰曾指出，作战系统为网络，作战关系为核心，尤其在作战系统中，从某种程度上来讲，网络链接比节点更重要[16]。在这种情况下，敌方网络中部分链接信息不明，这里就需要通过敌我双方之间的作战博弈，重构出敌方网络真实的链接情况。

情况2重构敌方部分作战节点价值重要程度。每一个作战节点都有自身的价值重要程度，例如在1.3节中的侦察能力、决策能力、攻击能力、保障能力等。我方通过已知信息和侦察手段可以了解敌方作战节点的各种能力，但是敌方会对其作战节点采取防护措施，妨碍我方的侦察行动，因此，在复杂作战体系中，敌方若干作战节点的价值重要程度很可能无法得知，这里就需要通过双方的作战博弈来重构敌方作战节点的价值重要程度。

情况3重构敌方部分作战区域。与情况1和情况2类似，我方对敌方的侦察不能使敌方网络完全透明，在一个区域之内，敌方作战节点数量未知，内部作战节点之间的关系未知，这就需要对此未知区域内的具体情况进行重构。

2.2 重构敌方网络的部分链接

在一轮作战博弈结束后，己方与敌方策略选择都已知，己方网络作战节点之间的协同收益和双方作战节点交战的博弈收益都已经得到，敌方节点结构重要程度未知，敌方作战节点价值重要程度已知，同样地可以确定敌方与我方交战的博弈收益。这里有两种方式重构敌方网络链接。

方法1可以利用己方作战节点与敌方作战节点的博弈情况来判断。通过与敌方作战节点博弈可以得到部分作战节点对应的收益矩阵中作战节点内在属性He(我方对敌方采取作战行动对应的博弈)，从而得到作战节点的结构重要程度De，通过De可以判断对应的敌方作战节点是否有未知链接在。但这种方式受限于交战网络的链接情况，不一定能够完整地重构链接。此外，还可以通过敌方内部作战节点之间的博弈收益来判断，但从作战实际上来讲，敌方作战节点之间获得的作战博弈收益无法准确得到，而我方作战节点的收益情况则非常清晰。

方法2利用每轮策略后的改变来判断。假设与敌方作战K节点相链接的己方阵营作战节点数为M，根据每轮作战博弈后敌方策略是否改变来估计1.6节中策略变换概率公式中的未知量——G0中的bij值。

敌方作战节点K上一轮收益G0是bij的函数，设与作战节点K没有链接的敌方网络作战节点数量为N′，在与这N′个作战节点之间存在可能的未知链接，重构敌方网络链接就是确定这个未知链接。

这里设第t轮作战博弈的策略改变函数yt，作战节点K在第t轮作战博弈中策略发生改变则yt=1，策略没有发生改变则yt=0. 因此定义

(13)

每轮作战博弈的己方上一轮收益GKt和策略改变结果yt已知，当t足够大时，通过非线性最小二乘法进行拟合可以得到N′个bij的估计值，而bij∈{0,1}，最终通过bij的估计值可以确定bij的最终值。

2.3 重构敌方部分节点的价值重要程度

在2.2节中假设的是敌方作战节点价值重要程度都是已知的，而在实际情况下，由于掌握的信息有限性和对敌侦察能力的限制，敌方个别作战节点的价值重要程度无法确定，因此需要对敌方位置节点的价值重要程度进行重构。这里有两种方法重构敌方网络链接。

方法1可以利用己方作战节点与敌方作战节点之间的博弈情况来判断。如果敌方作战节点K价值重要程度未知，通过己方作战节点与敌方作战节点K进行博弈，可以得到部分节点对应的收益矩阵中节点内在属性He(我方对敌方采取作战行动对应的作战博弈)，从而得到作战节点的价值重要程度Fe.

方法2方法1是假定收益矩阵或者具体收益可以通过作战博弈后得知的，这也是传统网络重构所采用的方法，而在实际作战过程中，敌方作战节点价值重要程度未知，理论上获得的收益也无法准确评估地得到，这里同样可以通过2.2节中的方法来确定。

这里的未知条件不再是bij，而是作战博弈的收益。此时，GKt和G0t是He的函数，根据每轮作战博弈中作战节点K的策略变化，可以通过非线性最小二乘法进行拟合可以得到He的估计值，从而得到作战节点价值重要程度的估计值。

2.4 重构敌方网络的部分作战未知区域

2.4.1 节点数量确定

如果简单地利用多轮作战博弈中链入和链出未知区域的己方作战节点和敌方作战节点在每轮作战博弈中所获得的收益变化情况，可以直接对比得到未知区域内节点数量Nu(未知区域内没有对外产生链接的节点除外，这里称此类节点为边缘节点)。

无论是链入和链出到未知区域的节点xq和yp选择什么策略，都离不开以下4种情况：

情况1xq或yp节点采取第一种策略，与未知区域内作战博弈的收益为Pq1或Pp1；

情况2xq或yp节点采取第一种策略，与未知区域内作战博弈的收益为Pq2或Pp2；

情况3xq或yp节点采取第二种策略，与未知区域内作战博弈的收益为Pq3或Pp3；

情况4xq或yp节点采取第二种策略，与未知区域内作战博弈的收益为Pq4或Pp4.

通过上述4种情况可以判断未知区域内作战节点的策略选择情况，当第l轮作战博弈中，第m个链入或链出未知区域的作战节点对应作战博弈收益为Pq1、Pp1、Pq3或Pp3时dml=0，对应作战博弈收益为Pq2、Pp2、Pq4或Pp4时dml=1，其中：dml为作战节点博弈的标志；m=1,2,…,p+q.

从而得到未知区域的策略矩阵为

Cs=[dml](p+q)×t.

(14)

如果存在某一轮作战博弈中链入和链出未知区域的己方作战节点和敌方作战节点收益没有发生变化，而未知区域的整体策略发生变化，那就说明未知区域内存在边缘节点，举例说明如图3所示。

图3 敌方未知区域内示意图Fig.3 Schematic diagram of unknown enemy area

图3示例中：y4为未知区域内的边缘节点，当y4策略变化，y1、y2、y3策略没有发生变化时，整个未知区域策略发生变化，而链入和链出未知区域的己方作战节点和敌方作战节点与未知区域内的作战博弈收益不变。因此可以通过这个方法判断未知区域内是否存在边缘节点。

2.4.2 节点之间链接和价值重要程度的确定

在不考虑边缘节点的情况下，根据2.4.1节中判断出的作战节点数量，然后根据与己方网络之间的作战博弈来求得未知区域内作战节点的链接情况。由于未知区域是敌方网络的一部分，这里将未知区域内网络设为C′s=[eij]Nu×Nu，eij为判断未知区域内网络中第i个节点是否指向第j个节点，有指向关系则为1，否则为0. 此时由于每一个内部作战节点收益都与外部的作战节点和未知区域内部的其他作战节点相关联，且外部作战节点收益的计算可能不仅与内部区域一个作战节点有关，这里的未知量是eij和HM或H′M，t轮作战博弈后共产生t组方程组，每组Nu个方程，再通过2.2节中的第二种方法的非线性最小二乘法进行拟合，求得位置区域内作战节点的链接eij和作战节点的价值重要程度Fe.

当考虑边缘节点的情况下，边缘节点与其他作战节点的博弈会导致节点收益发生偏差，进而使策略改变概率发生变化，再直接采用上述方法会导致测量的eij不准确，边缘节点内在属性越大，对eij的测量误差就越大。这样就需要添加必要的条件来对边缘节点情况进行评估。

1.3节中通过对敌的侦察与信息采集评估敌方作战节点的价值重要程度，同理，采用相同方法对整个未知区域进行评估，评估未知区域的价值重要程度Fw，减去2.4.1节中求得的未知区域内Nu个作战节点价值重要程度，得到边缘节点的价值重要程度。此时，设定一个阈值α，当边缘节点的价值重要程度大于α时，说明对其他作战节点收益造成的偏差足以影响策略改变概率发生很大的变化，影响eij的测量；当边缘节点的价值重要程度小于α时，则可以边缘节点的影响程度忽略不计，Nu个作战节点构成的网络即为所求未知区域。阈值α是结合具体数据和eij的估计情况后统计得出的。

当考虑存在一个边缘节点的情况时。若边缘节点的价值重要程度大于α，边缘节点与未知区域内其他作战节点的链接情况共分为3Nu种情况，此时，可以通过挑选在t轮作战博弈中，Nu个点策略不变而未知区域整体策略而改变的轮数，进而确定边缘节点的策略状况，以此做更进一步计算，但这种方法十分复杂。除此之外，也可以结合作战实际，采取其他手段来得到eij值，例如采取行动摧毁Nu个作战节点中的一个，通过策略变化情况来做下一步的计算，限于篇幅将不进行进一步的细化与分析。

3 实例分析

3.1 作战网络拓扑结构与参数设定

红军与蓝军举行作战演习，红军有8个作战节点，蓝军有10个作战节点，红军内部各作战节点共同组成红方网络，蓝军内部各作战节点共同组成蓝方网络，红方网络和蓝方网络之间的网间关系为交战网络，具体作战网络结构如图4所示。

图4 作战网络结构Fig.4 Combat network structure

双方作战节点的结构重要程度和设定的价值重要程度如表4所示。

表4 双方作战网络参数设定Tab.4 Parameter setting of combat networks of both sides

作战博弈参数如表5所示。

表5 博弈参数设定Tab.5 Game parameter setting

3.2 博弈与重构分析

首先按照各自网络内部作战博弈情况确定初始策略，进行多轮作战博弈，第t轮后得到各节点的策略变化情况(用0和1表示，这里显示到第100轮)，如表6所示。

表6 作战节点策略变化情况Tab.6 Strategy changes of combat nodes

在每一轮作战博弈中获得的实时收益如表7所示。

表7 作战节点收益情况Tab.7 Payoff of combat nodes

接下来，验证作战网络重构的有效性。假定在上述作战博弈中，蓝方网络第8、9、10等3个节点处于未知区域，我方无法得知其内部结构，此时p=3，q=3. 此时，未知区域的策略矩阵为

(15)

通过2.4.1节中的方法，可以确定矩阵第1行、第2行、第4行，第3行、第5行，第6行分别链接3个作战节点，可以确定未知区域内作战节点数量Nu=3.

下一步进行未知区域内作战节点之间链接和作战节点价值重要程度的确定。

这里发现直接拟合后由于变量较多，价值重要程度误差较大，而根据计算的结果，作战节点之间的链接比较容易确定，这里先确定作战节点直接的链接，然后减少变量继续计算作战节点价值重要程度。

经过大量随机模拟实验，发现当t足够大时(t>100)，作战节点之间的链接几乎可以100%确定，而确定作战节点价值重要程度时则需要更多的轮数t，结果才能趋于正确值。当然，真正作战中不可能给红方足够的时间使预测特别精确，这里采用t=100进行500次模拟，3个内部区域的作战节点价值重要程度如图5所示。

图5 节点价值重要程度仿真图Fig.5 Simulation graph of node value importance

从图5中可以看出，在100轮作战博弈之内对作战节点价值重要程度的预测已经比较准确，未知区域内的3个作战节点价值重要程度在正确值的附近波动，误差在正确值10%以内的概率分别为85.80%(3.063 6～0.374 4)、91.20%(0.526 8～0.643 8)和82.20%(0.201 4～0.246 2)，可以满足作战需求。此时，对未知区域内作战节点数量、作战节点链接情况和作战节点价值重要程度的重构已经完成。

4 结论

研究作战体系中的敌我双方作战博弈关系将朝着更科学、更高效、更接近实战化方向转变，其中对敌方作战网络体系中的结构与价值重构是复杂网络在作战领域更深一层的应用。本文建立了敌我双方作战博弈模型和敌方网络结构与价值重构模型，研究了双方之间作战博弈关系与博弈收益，分析了敌方网络在不同情况下相应的重构方法。实验结果表明，本文的作战博弈与重构方法，能较好地体现作战博弈与重构的特点，对研究作战博弈与对敌网络重构有着一定的研究价值。

参考文献(References)

[1] 胡晓峰,贺筱媛,饶德虎.基于复杂网络的体系作战协同能力分析方法研究[J].复杂系统与复杂性科学,2015,12(2):9-17.

HU X F,HE X Y,RAO D H.A methodology for investigating the capabilities of command and coordination for system of systems operation based on complex network theory[J].Complex Systems and Complexity Science,2015,12(2):9-17.(in Chinese)

[2] 胡晓峰,贺筱媛,饶德虎,等.基于复杂网络的体系作战指挥与协同机理分析方法研究[J].指挥与控制学报,2015,1(1):5-13.

HU X F,HE X Y,RAO D H,et al.Research on mechanism of command and coordination for system of systems operation based on complex network theory[J].Journal of Command and Control,2015,1(1):5-13.(in Chinese)

[3] 李小波,王维平,林木,等.体系贡献率评估的研究框架、进展与重点方向[J].系统工程理论与实践,2019,39(6):1623-1634.

LI X B,WANG W P,LIN M,et al.The research framework,progress,and key directions of system-of-systems contribution ratio evaluation[J].Systems Engineering—Theory &Practice,2019,39(6):1623-1634.(in Chinese)

[4] 邓青,薛青,陈琳,等.基于作战系统复杂网络抗毁性优化研究[J].计算机仿真,2019,36(6):1-4,402.

DENG Q,XUE Q,CHEN L,et al.Research of anti-destroy optimizing based on operation system complex network[J].Computer Simulation,2019,36(6):1-4,402.(in Chinese)

[5] 郭晓成,马润年,陈彤睿,等.跨层协同指挥控制网络抗毁性研究[J].火力与指挥控制,2019,44(6):36-40.

GUO X C,MA R N,CHEN T R,et al.Study on invulnerability of cross-layer cooperative C2 network[J].Fire Control &Command Control,2019,44(6):36-40.(in Chinese)

[6] 张海峰,王文旭.复杂系统重构[J].物理学报,2020,69(8):92-102.

ZHANG H F,WANG W X.Complex system reconstruction[J].Acta Physica Sinica,2020,69(8):92-102.(in Chinese)

[7] 赵中其.打造新型精确作战单元[N].解放军报,2020-05-12(007).

ZHAO Z Q.Building a new type of precision combat unit [N].PLA Daily,2020-05-12(007).(in Chinese)

[8] 程光权,陆永中,张明星.复杂网络节点重要度评估及网络脆弱性分析[J].国防科技大学学报,2017,39(1):120-127.

CHENG G Q,LU Y Z,ZHANG M X,et al.Node importance evaluation and network vulnerability analysis on complex network[J].Journal of National University of Defense Technology,2017,39(1):120-127.(in Chinese)

[9] 朱廷祥,吴晔,肖井华.一种有效的提高复杂网络同步能力的自适应方法[J].物理学报,2012,61(4):9-13.

ZHU T X,WU Y,XIAO J H.An efficient adaptive method of improving the synchronization of complex networks[J].Acta Physica Sinica,2012,61(4):9-13.(in Chinese)

[10] ZHOU C S,MOTTER A E,KURTHS J.Universality in the synchronization of weighted random networks[J].Physical Review Letters,2006,96(3):034101.

[11] 赵丹玲,谭跃进,李际超,等.基于作战环的武器装备体系贡献度评估[J].系统工程与电子技术,2017,39(10):2239-2247.

ZHAO D L,TAN Y J,LI J C,et al.Armament system of systems contribution evaluation based on operation loop[J].Systems Engineering and Electronics,2017,39(10):2239-2247.(in Chinese)

[12] CHENG C,GAO M,CHENG X,et al.Research on operational efficiency evaluation of anti-tank missile weapon system based on combination weighting[J].Systems Engineering-Theory &Practice,2018,38(1):241-251.

[13] CHEN W Y,LIU G Q,CHEN H D,et al.Research on effectiveness evaluation method of the integrated naval gun and laser weapon system[C]∥Proceedings of 2018 IEEE International Conference of Intelligent Robotic and Control Engineering.Lanzhou,China:IEEE,2018:51-55.

[14] 王中伟,裘杭萍,王智学,等.基于攻防博弈的多波次导弹发射路径规划[J].指挥与控制学报,2019,5(1):63-68.

WANG Z W,QIU H P,WANG Z X,et al.Multi-shot missile launching path planning based on attack-defense game[J].Journal of Command and Control,2019,5(1):63-68.(in Chinese)

[15] WANG W X,LAI Y C,CELSO G,et al.Network reconstruction based on evolutionary-game data via compressive sensing[J].Physical Review X,2011,1(2):1-7.

[16] 胡晓峰.战争科学论——认识和理解战争的科学基础与思维方法[M].北京:科学出版社,2019:185-196.

HU X F.Science of War:the scientific basis and thinking me-thod of knowing and understanding war [M].Beijing:Science Press,2019:185-196.(in Chinese)