别让粗心成为借口——初中数学直观错误浅析

□永安市第一中学附属学校 魏兰

一、对数学概念理解的肤浅性

由于学生在学习数学的过程中，对一些数学概念或数学原理没有深刻的理解，仅仅停留在表面概括上，无法把握事物的本质。因此学生在分析和解决数学问题时，往往只善于处理一些直观的或熟悉的数学问题，而对那些间接使用定理的数学问题，往往不能抓住其本质。

例题一：6a-a=6

对于刚从小学升上初中的学生来说，减去即等于消失，所以这样的错误并不少见，他们没有意识到6a是6个a，而只是简单地让字母a 去除。同时，6a 减a 也涉及合并同类项的概念，正是由具有抽象性的字母计算来代替具体数字的一个重要概念。初中学生正处于经验型思维到逻辑型思维转换的过程，无法将抽象的概念运用于实际的题目中，往往做题时还是依赖自己的直观感知。甚至到了初三，这样的问题还会出现，个别学生会犯这样的错误

二、仅凭直观，粗浅判断

在解决数学问题时，经常会产生一些直觉是正常的，有时还是很可贵的，但是数学是一门严谨的科学，产生直觉后还要周密地思考、严谨地推理、精密地计算，否则以眼睛的直觉代替理性的思维就很可能会出现错误。

例题二：如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°,D为△ABC内一点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°后得到CE，连接BE，若∠DAB=10°，则∠ABE是 A. 75°B.78°C.80°D.90°

因为其中说明了是旋转线段CD，应该是得到△BEC 全等于△ADC，从而得到∠EBC=∠DAC=40°，可是学生只是根据看到图形，经过最简单的直观判断，选D的人居多。天文学家开普勒曾经说过：“当知识通过感官被直接提供给心灵时，是模糊、混乱和矛盾的，从而也就不可靠的。”教师要时刻教育学生确定事物的本质，不能只靠感觉，应该多一些理性的思考。

三、受思维定式的影响

学生受先前形成的知识经验、习惯的影响，容易形成认知的固定倾向，从而影响后来的分析判断，形成思维定式。在环境不变的条件下，定式会使人能够应用已掌握的方法，迅速解决问题，但是如果环境改变，也会影响人们的创造性。

例题三：一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机选择一条路径，那么它获得食物的概率是多少？

图1

图2

图1和图2看上去图形非常类似，只不过图1有六个树枝，而图2 有七个树枝。但是他们的概率却完全不一样。图1 找到食物的概率是而图 2 找到食物的概率是学生通常用求图1 的概率方法来做第二幅图的题目，却得出了错误答案。没有意识到图1中每个树枝是等可能性的，而图2却不是。学生常常寻求表面上相似的东西，而忽略结构上、本质上的差异，最终导致理解错误。因此作为教师要引导学生在学习时，首先应该明白对一个问题不要急于按原先的套路求解，应该从模仿的路子跳出来，避免按部就班，而要先仔细地观察，学贵存疑，小疑则小进，大疑则大进，这才有可能让学生针对性地解决问题。

四、知识的负迁移

知识的负迁移是学生形成思维障碍的重要原因，面对一个新的数学问题，学生首先是联想与之形似或意似、且熟悉的问题，然后迁移解决问题的方法，将当前的问题与头脑中已有的知识经验之间建立起某种联系。这种以类比、联想为基础的思维活动，如果伴随着突破或者创新，那么就是课改所倡导的创新思维能力。如果只是一味地机械照搬，那么思维会呈现呆板，产生错误。如学习了有理数加法法则对乘法法则的学习会产生负迁移，学习同底数幂的乘法对幂的乘方产生负迁移。

五、分析问题不够全面

由于初中学生的年龄小，知识面较为狭窄，逻辑思维能力较为薄弱，分析问题时通常不够全面细致，而且通常在潜意识中容易出现臆断，造成解题过程中常常出现顾此失彼的现象。在学生进入初中高年级以后，数学知识点的面加宽、难度明显增大，而且有些问题已带有开放性的特征，如果学生一味依靠模仿与死记硬背的学习方法就难以奏效。表现在数学习题的解题中，就是缺少开放性思维方法，思路较为狭窄，往往就是顾此失彼，或者是解答过程简单化。

例题四：（17 年福建）如图，矩 形ABCD中 ，AB= 6,AD= 8P,E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形。

（Ⅰ）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长；

△PCD是等腰三角形有三种情况PC=PD，CP=CD，DP=DC但是很多学生会被原题中给出的图形固定住思维，负略了P、E是可以动的，只考虑了DP=DC。

数学是一门具有高度抽象性和精密逻辑性的科学，思维的严密性是学好数学的关键之一。教师在授课过程中应该有意识地强调和培养学生思维的严密性，不要受现有图形和既定做法的影响。

六、将图形当成已知条件

将图形中出现的貌似的形状当成条件来解答，这在初中，尤其低年级学生群体中更是屡见不鲜。由于年龄段的特征，初中学生的智力还处于较为低级的阶段，对新生事物的认识、理解能力较差，而直观感知的能力却较强，他们常常会将图形中出现的类似等边三角形、直角三角形的图形当成已知条件来应用，教师应该及时提醒、纠正，引导学生由形象思维向抽象思维过渡。

例题五：已知：AB 是⊙O 的直径，AB=4，∠ABC=30°，D 是BC中点且过点D 作DE⊥AC。求证：DE与⊙O相切。

这道题学生做辅助线通常是连接AD，然后说明因为AB为直径，所以∠ADB=90°，但是实际上题目没有任何语句说明点D 在圆上，这个结论是需要证明的。但是学生就是将图中看到的当成了已知条件，想当然地认为，点D已经在圆上了，忽略了对它的证明过程。

上述这些错误在学生的数学学习过程中并不少见，学生经常仅靠直观判断犯想当然的错误，当代科学家波普尔认为：“错误中往往孕育着比正确更丰富的发现和创造因素。”因此教师在教学过程中应不断地分析教材、研究学生，将那些容易出错的问题作为范例，认真上好错例分析课，直击要害，让学生体验错误，探究症结所在。而且应力争在课堂上给学生的不是一道题目的正确答案，而是一种思维方法，让学生发现错误的所在以及错误发生的原因，从中吸取教训，举一反三。在辨析错因、启发纠错的过程中，培养学生思维的严密性、广阔性、深刻性和创造性，让学生在错误中寻求正确的方向，反思错误的原因。然后对症下药，形成正确合理的认识，找到知识的薄弱环节并尽快弥补，力求在以后的解题中少出现错误或不出错，这也是学生反思成长的过程。

教师应该尽量在教学过程中培养学生的科学理性思维。初中学生的理性思维发展是靠数学来完成的。特别是学生的思维正处于从直观归纳向逻辑抽象思维转变的阶段。后续的高中数学学习对思维严谨性、逻辑性的要求更高，而且数学的理性思维方式远远超过了数学试题的本身，广泛应用于自然科学甚至人文科学和社会科学中，也对学生今后生活长期发挥积极的作用。所以不能只靠眼睛看到的表面现象来直观判断事物的属性，应该学会更深入理智地思考问题的本质，这才是学习数学带给学生真正的意义。