让方法联想课荡起思想方法的双桨

高艳丽 刘贤虎

[摘  要] “有序与计数”将几册教材中与“有序思考”相关的内容串联起来，并在此基础上运用这种思想方法进行复杂问题解决。这类课型从关注知识点走向知识结构，从知识技能走向数学思想方法，构建学生的知识体系，促进学生的思维发展。

[关键词] 串联;感悟;思维;思想方法

教学内容

创编3个数字组成不同数的内容（适合三年级上学期）

教学目标

1. 通过排列数字，感知“有序思考”的数学思想方法，并用于解决数字排列问题。

2. 通过前后知识的方法联想，体会“有序思考”在数学计数及生活中的应用。

3. 培养学生学习数学的兴趣，渗透学习数学的方法，学会数学思考。

教学重点

让学生感悟有序思考

教学对象

三年级学生

教学过程

一、问题引发，以例说法

师：用以下3张卡片（3、4、6），可以排成几个不同的两位数？限时30秒，把你排列的两位数写下来。

生1：我能排列出6个不同的两位数，34、36、43、46、63、64，我是先固定十位的。

生2：我听明白了他的排法，就是3张卡片轮流固定在十位上。我有不同的顺序，我是按从小到大的顺序排列的。

生3：我来补充，其实他们两个人的顺序是一样的，都是三十几、四十几、六十几，只是说法不一样而已。

生4：还可以倒过来排，就是34、43、36、63、46、64，这样交换一下。

师：有的同学先固定十位，有的按数字大小顺序，有的交换位置，大家之所以能快速排成6个不同的两位数，是因为有个法宝——有序。按一定的顺序来思考、排列，就能快速计数了。今天这节课，我们一起来研究“有序与计数”。（板书：有序与计数）

评析：以例说法，引发对“有序”的思考。用3张数字卡片排两位数，是二年级已经学习过的知识，大部分学生都能有序排列出不同的6个数字，所用的思想方法指向“有序”，这样引发，难度低、指向明、立意高。

二、问题探究，体验悟法

在下面的学习中，还能发现什么顺序呢？请看以下两个问题：

1. 用以下3张卡片（3、4、6），可以排成多少个不同的数？（想一想，写一写）

2. 以前的学习中，还有哪些地方用到了有序思考？（举例说明，写下来）

师：同学们读一读以上问题，想一想，有什么疑问吗？

生1：我想知道，6可以倒过来当成9吗？

生2：如果倒过来的话，一张卡片就相当于两张卡片了，这样就变成4张卡片了。

师：现在我们不考虑把数字倒过来的情况。

生3：题目说“不同的数”，只要是数字就可以吗？

生4：一位数可以吗？

生5：我觉得一位数当然可以，符合题目要求！

师：老师同意你的说法。接下来，请独立思考，在学习单上完成以上两个问题，遇到困难时可以请教同伴。

学生先独立思考，再同伴协同学习，教师巡视指导，并让学生在黑板上板书作品。

评析：从排列“不同的两位数”到“不同的数”，有序思考的方法不變，但思维深度更进一层，要求排列“不同的数”，是序中有序，首先要按顺序分成一位数、两位数、三位数，接着排列两位数、三位数时也有顺序，如交换位置、固定数位等不同的顺序。这两个问题的设置，旨在从一个到一类，第一个问题让学生在排列数字之中巩固加强“有序思考”，第二个问题“学习中还有哪些地方用到了有序思考？”，从排列数字中跳出来，串联其他已经学过的“有序思考”，从“树木”走向“森林”。

三、互动建模，联想明法

1. 横向串联，多维辨法

师：你能看明白他是怎样排列的吗？

生1：他是先写出3个一位数，再写两位数，然后写三位数的。

生2：他写的一位数和三位数都是从小到大排列的，中间的两位数有点乱。

生3：我来解答你的问题，中间的两位数其实并不乱，他是先选两张卡片，然后交换位置，就是先选了3、4两张卡片，组成34和43，再把4换成6，组成36和63，再把3换成4，就是46和64。

生4：我听明白了他的说法，但是他换来换去的很复杂，我可以画给大家看，一共是3组。

生5：我有个建议，两位数、三位数都按从小到大的顺序排列，就会更清晰一点，三位数的前两位就是上面的两位数。

生6：我同意他的想法，其实，只要排出了两位数，在两位数的后面加上一张卡片就成了三位数，比如，34加上一张卡片就是346，36加一张就是364。

生7：他们说的都有道理，这个并不难，就是按3、4、6的顺序，一位数就不说了，两位数固定十位，三位数固定百位，后面的交换位置就可以了。

师：我也听明白大家的意思了，不管是交换法，还是固定数位，还是从小到大，大家所强调的都是有序思考。那么，在我们以前的学习中，还有哪些地方用到了有序思考？

2. 纵向串联，比较得法

教师发现作品并请学生板书在黑板上或用平板拍照。

师：大家想到的有序思考真不少，现在，黑板上有两幅作品，你看懂了什么？

生1：我看明白了第一幅图就是数一共有多少个角。他是先一个一个地数，有3个;再两个两个组合地数，有2个;最后数一个大的，一共就是6个角。

生2：听他这么说，我突然想到，其实这跟刚才我们排数字有点像，一个角就好像是一位数嘛，然后两个角合并的角就好像是两位数，三个角就是三位数，好像是这样的。

生3：其实你们说得不对，根本不是这样的。我看到他画的，他是这样（走上前，指着一条边说）从这里开始，1个角、2个角、3个角，然后从第二条边开始，又数1个角、2个角，再到第三条，1个角，他是这样数的。

师：很了不起！除了你数角的顺序，同学们读出了不一样的顺序，他们让你的数角方法更加丰富了！第二个作品呢，谁看懂了？

生4：这不就是我们一年级学过的10的加法吗？

生5：我来补充一下，就是1+9等于10，2+8等于10，3+7等于10，一直这样算下去。

生6：我听明白了，我还想到一个跟10的分解差不多的，比如，有9颗珠子，能组成几个两位数，就是把珠子放在计数器上，有十位、有个位的。

师：还有其他的吗？

生7：我觉得设密码的时候有顺序，比如密码是两位数，每个数字都有可能，可以是0至9的任意一个数字，它不是真正的两位数，第一个数字是0也是可以的，这样密码就很难猜了，手机上也有密码。

生8：我还想到一个问题，就是我们在安排车的时候，比如安排车运煤，表格里面是有顺序的，从几辆车开始想，然后接着想下去。

师：用列表法解决问题时，思考是有序的，看到表格里面的顺序了吗？

生7：我说的就是这个意思，你看，先从5辆车开始，然后是4、3、2、1这样的顺序。

师：大家说了不少关于有序思考的案例，我们先来整理一下。首先，我们在排列数字的时候用了有序思考，比如排列两位数，设置密码，10的分解也可以归到这一类;接着，同学们想到了有序数角，这是与图形有关的，其实还有数长方形、数线段等等，都用到了有序思考;接着同学提出用列表法解决问题时，也需要遵循一定的思维顺序。数学原来有这么多知识用到了有序思考。

评析：在交流中从“有序排列不同的数”到“其他内容用到有序思考”，通过对有序的不同形式表征，实现从数学知识之间关联到数学与生活联系的联通，感受数学思想方法的魅力所在。同时，在倾听中汲取知识、启迪思维，围绕“有序”话题，学生自由探讨，深度碰撞。

四、解决问题，拓展用法

例1  （播放小视频“游戏的烦恼”：5个小朋友比赛跳绳，争论要比赛的场次）A、B、C、D、E，5个小朋友进行跳绳比赛，每两个人要比一场，一共要比多少场？

学生解决问题，教师巡视，学生板书解决过程在黑板上。

师：看看黑板上的三种解决问题的方法，你欣赏哪一种？为什么？

生1：我看不明白跳绳比赛与数角有什么关系？李伟齐是不是没弄清楚我们要解决什么问题。

师：其他几个同学也在点头，说明他们也有同样的疑问。有哪位同学能看明白吗？

生2：我觉得我应该懂李伟齐的意思，就是一条边代表一个人，这里有5条线就是5个人，第一个人先跟第二个人比、再跟第三个人比，就是这样，跟数角是一样的了。

师：又有不少同学在点头，听懂她的解释了吗？

生3：我想的跟她差不多，在每条边上标上A、B、C、D、E几个人，就能看明白了！不过我很佩服她能想到这样的方法。（教师相应板书ABCDE）

师：李伟齐同學的思路让大家耳目一新，用数角的方法解决了跳绳问题！表扬刚刚说看不明白的同学，大胆提出自己不理解的地方，这种学习态度是我们的榜样！也感谢为我们解读的孩子，你们也是善于思考的孩子！咱们继续看看其他的几种方法。

生4：我写的跟郭智彬的一样，我觉得把郭智彬的跟李伟齐的放在一起，是一样的，一个是用字母写出来，一个是用图画出来，他们俩的顺序都是一样的呀。

生5：我还是觉得李伟齐画的角好一点，虽然一开始看不懂，但是我觉得这样画的好处是可以不用从A开始数，我从E开始也是可以的，从任何一个人开始都是可以的。

师：听听，从A作为起点，想到了其实每个人都可以作为起点，只要有序思考，从谁开始都是一样的，有突破，不错！

生6：我看了一下王燕的作品，用点表示每个人，然后连线表示他们比赛，可以看出，A跟BCDE比了4场，然后B跟CDE比了3场，他因为刚刚跟A比过，所以不用再比了，然后就是C跟DE比，最后剩下D跟E比。

生7：顺序还是跟前面的一样啊，我觉得用字母写下来更清楚，连线的话如果人很多的话，连线就比较乱。

师：各有各的想法，表达方式不一样，但刚才同学们都强调了一点，思考的顺序是一样的！有序思考会让我们更有条理、更加智慧。

例2  小明有1元、5元、10元的纸币各1张，可以组合多少种不同的币值？

例3  一个两位数，个位上的数比十位上的数多3。我能找到（    ）个这样的数。

师：解决这两个问题有难度吗？分享一下大家的想法吧。

生1：我说第2题吧，我和同桌讨论过，总共有7种不同的币值，首先是单张的，有3种，然后是2张的3种，再就是3张一起。

生2：我刚刚漏了3张一起的，是同桌告诉我的。

生3：跟前面的排数字有点一样，又有点不一样。

生4：对，我也跟前面的排数字对比过，方法是一样的，都是从1开始的，一位数就好像是一张钱，两位数就好像是两张钱这样的。

生5：我想说第三题，第三题十位上最小是1，最大只能是6，按顺序一共有6个。

师：同学们不仅能用有序思考来解决问题，而且能把解决问题的方法进行对比！非常了不起！今天，我们把以前学过的有序思考串成一条线、织成一张网，在以后的学习及生活中，这条有序思考的线会越来越丰富，这张网会捕获更多的数学知识！

评析：解决问题设计了三道题，有循环比赛的计数问题、币值的计数、两位数的计数等，学生在解决问题的过程中，进一步运用有序、感受有序，让有序用到生活实处，落到思维深处。

全课评析

方法联想课是我校数学问题教学的一种课型，顾名思义，就是用数学思想方法将教材中某一单元、几个单元、某一册教材或几册教材相关的内容串起来，并在此基础上运用这种思想方法进行复杂问题解决。这类课型从关注知识点走向知识结构，从知识技能走向数学思想方法，构建学生的知识体系，促进学生的思维发展。

1. 用数学思想方法带动相关知识的学习

郑毓信教授指出，我们应当把数学思想方法的学习与具体数学知识内容的教学更好地结合起来，即用数学思想的分析带动具体知识内容的学习。以本课为例，用“有序思考”这一方法，解决在数字、图形、列表及生活中的计数问题，让不同的知识内容统一到“有序思考”这一方法之下。《义务教育数学课程标准（2011年版）》中也明确提出：“在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程或结果。”在复杂问题解决中，需要多个步骤，缺乏有序思考这个重要的数学思维，学生就很难解决。我们借助有序思考，通过方法联想课帮助学生“学活”“学懂”和“学深”。

2. 以相关知识的串联感悟数学思想方法

用1、2、3三张卡片能排列出多少个不同的两位数？这是人教版数学二年级下册数学广角安排的学习内容，二年级下册安排了一道类似的思考题，即“用3、4、6三张卡片能排列出多少个不同的三位数？”三年级时，同学们再一次感悟到“列表法”解决问题时的有序性、用16个小正方形方框拼长方形或正方形时，也需要有序思考。不同的数学知识都承载了相同的数学方法，而教材的编排是按知识逻辑来编排的，思想方法是随着知识逻辑的教材呈现若隐若现，几乎没有集中呈现，因此学生的感悟也是支离破碎。正是基于此，方法联想课应运而生。用联想的方式把不同板块知识中蕴含的相同数学思想方法集中在一起，连成串，织成网，让学生深入感悟。

方法联想课让以上两者紧密结合，如同划动思想方法的双桨，相辅相成，水乳交融。通过相关知识的学习让思想方法生根发芽，让生命拔节;同时借助思想方法让知识技能形成结构，串木成林。