一阶大时滞系统的滞后时间削弱自抗扰控制

2021-06-21刘亚超高健钟永彬张揽宇

中南大学学报（自然科学版） 2021年5期

刘亚超，高健,2，钟永彬，张揽宇

(1.广东工业大学精密电子制造技术与装备国家重点实验室，广东广州，510006；2.广东工业大学智能检测与制造物联教育部重点实验室，广东广州，510006)

时间滞后环节广泛存在于冶金、化工以及造纸等工业生产过程中[1]。对于典型的一阶时滞系统，通常用滞后时间与时间常数的比值来衡量系统受时滞影响的程度，一般当比值大于等于0.5时，生产系统属于大时滞系统，控制难度大，常规的PID 控制无法满足工业控制要求[2-3]。近年来，HAN[4]提出了自抗扰控制(active disturbance rejection control，ADRC)技术，由于其独特的扰动估计和补偿效果，被逐渐应用到时滞系统的控制中，并提出了无视时滞法、阶次提高法、输入预估法以及输出预估法等4 种方法[5]，但这些方法均具有非线性环节，参数多整定难，且多适用于小时滞的场合[6-10]。GAO[11]利用线性化处理和极点配置原理，提出了线性自抗扰控制(linear ADRC，LADRC)结构，降低了控制参数的数量，大大方便了自抗扰控制的工程实现[12-18]。但对于时滞系统，由于线性扩张状态观测器(linear extend state observer,LESO)的控制输入和系统反馈在时间轴上不匹配，严重限制了自抗扰控制的控制能力。尤其对于大时滞系统而言，更需要解决2路信号的不匹配问题。ZHAO 等[19]通过对控制输入进行滞后，提出了一种改进的自抗扰控制(modified ADRC,MADRC)方法，但这种方法难以改善自抗扰控制在大时滞系统中的控制效果。ZHENG 等[20-21]利用Smith 预估器，提出了预估自抗扰控制(predictive ADRC，PADRC)方法，以解决输入LESO的2路信号不匹配问题，但这种方法比较依赖被控对象的系统模型参数，控制鲁棒性较差。王春阳等[22]在自抗扰控制中引入滞后时间削弱原理，通过一阶泰勒展开对时滞环节进行近似，将大时滞系统转化为小时滞系统进行控制。该方法基于传统的非线性自抗扰控制，缺乏闭环稳定性分析，参数整定复杂，另外，对于大的时间滞后环节采用一阶泰勒展开并不适用。针对这些问题，本文通过一阶Pade 近似，设计一种新的滞后时间削弱结构。结合线性自抗扰控制思想提出滞后时滞削弱自抗扰控制(reduced time-delay ADRC，RTADRC)方法，采用频域分析的方法推导RTADRC的闭环稳定性，并给出控制参数的整定规则。通过仿真实验，比较RTADRC方法与已有算法的控制性能。

1 自抗扰控制理论

1.1 线性自抗扰控制结构

不含时滞环节的一阶惯性积分系统的微分方程表示为

令f(y,u,w)=-ay+bw+(b-b0)u，则

式中：y为系统输出；u为控制输入；w为未知的外部扰动；a和b为系统参数；b0为b的估计值；f(y,u,w)为总扰动，包括系统内部不确定动态和外部扰动。

令x1=y，x2=f。假设总扰动f有界且可导，则原系统的扩张状态方程为

根据式(3)设计LESO:

式中：Z=[z1z2]T为X的观测状态矩阵；L=[β1β2]T为观测器的增益参数矩阵。

线性误差反馈控制律为

式中：r为参考输入；k1为控制器增益。

1.2 信号不匹配问题

假设LESO输出的z1和z2能够分别准确地估计系统输出y和总扰动f，结合式(2)和式(5)可得

在线性自抗扰控制中，通过LESO对总扰动的准确估计和实时补偿，能够将被控对象改造成简单的积分串联型，不仅大大方便了控制器的设计，而且具有突出的干扰抑制能力。

通常一阶时滞系统的传递函数为

式中：K为系统增益；T为时间常数；τ为滞后时间；b=K/T；a=1/T。考虑存在外部的未知扰动作用，式(7)的微分形式为

由于滞后时间的存在，系统的实际输出yp(t-τ)相比于控制输入u(t)在时间上滞后了τ，如图1所示，使得LESO 的2 路输入信号在时间轴上不匹配，将严重影响LESO的估计精度，进而降低自抗扰控制对被控对象的改造效率。对于大时滞系统来说，这种信号的不匹配问题将更加严重，大大增加了LESO 的工作负担。虽然通过增大LESO 的观测增益能够在一定程度上减小估计信号的相位损失，提高对各阶状态的观测精度，但又会带来额外的高频噪声影响和增加控制成本等问题。目前，对于输入LESO 信号的不同步问题，多引用Smith预估器进行解决，如文献[21]提出的PADRC方法。另外，文献[19]提出的MADRC方法将控制输入量滞后，也能够匹配2路输入信号。但是，这类方法比较依赖系统的模型参数，当实际系统参数发生很小的摄动，就可能会引起控制系统的不稳定，无法满足大时滞系统的工业控制要求。

图1 常规线性自抗扰控制结构Fig.1 Structure of conventional LADRC

2 滞后时间削弱自抗扰控制

2.1 滞后时间削弱原理

滞后时间削弱是指将大的时间滞后转化为较小的时滞延迟，以减小输入信号的不匹配程度，从而降低LESO的观测负担并提高观测精度。本文所设计的滞后时间削弱结构如图2所示。

图2 滞后时间削弱结构Fig.2 Structure of reduced time-delay

经过滞后时间削弱结构转化后的新被控对象为

式中：am，bm和τm分别为a，b和τ的模型参数；lm为削弱因子。

假设am=a，bm=b，τm=τ，时滞环节取一阶Pade近似：e-τs≈(2-τs)/(2+τs)，则

比较式(7)和式(10)可知，经过2 次Pade 近似，滞后时间削弱结构将新被控对象的滞后时间缩小为原被控对象滞后时间的1/lm。特别地，当lm=1时，有Grt(s)=Gp(s)，该结构不起削弱作用；当lm足够大时，有Grt(s)≈b/(s+a)，该结构将大时滞对象近似改造成一阶惯性环节。

2.2 滞后时间削弱自抗扰控制设计

由图2和式(10)可知，经过时间滞后削弱环节得到的系统反馈信号不是真正的系统输出信号，而是将滞后时间缩小为原被控对象滞后时间的1/lm，从而降低了给到LESO 两路信号在时间轴上的不匹配程度。设计的RTADRC 结构如图3所示。图3中：Gp0=b/(s+a)；Gm0=bm/(s+am)；Lm=(2lm-2)/(τms+2)；yp为系统的实际输出；ym为不含时滞的一阶惯性环节在u(t)下的输出；yrt为经过时间滞后削弱后的系统输出反馈信号。

图3 滞后时间削弱自抗扰控制结构Fig.3 Structure of RTADRC

考虑到实际工业过程中模型参数与系统参数不可能完全一致，而且2 次Pade 近似会引入额外的模型误差，可将这些误差统一到总扰动的范畴，通过LESO 对其进行估计和补偿，以实现稳定控制。下面通过频域分析，说明RTADRC的稳定性。

2.3 频域分析

在零初始条件下，根据式(4)和图3推导出LESO的传递函数为

将式(11)代入式(5)，可得控制输入的传递函数表达式：

根据式(12)，得到RTADRC的单回路闭环反馈结构如图4所示。

图4中：

图4 RTADRC的单回路反馈结构Fig.4 Single loop feedback structure of RTADRC

式中：

于是，开环传递函数为

当不引入滞后时间削弱措施即lm=1时，有

式(16)为常规线性自抗扰的开环传递函数，对应开环极点分别为s1=0和s2=-(β1+k1)。

当引入滞后时间削弱措施，且lm足够大时，有

当控制参数相同时，式(17)对应的开环极点相比较于常规线性自抗扰向左平面移动，说明系统的稳定性得以提高。

2.4 参数整定

一阶大时滞系统的滞后时间削弱自抗扰控制共有5个参数(k1，β1，β2，b0，lm)需要调节。其中，控制器增益参数和观测器增益参数可通过极点配置的带宽法进行整定[11]，即

式中：wc为控制器带宽；wo为观测器带宽，一般取wo=(2～5)wc。wc越大，有利于加快系统的跟踪响应，减小上升时间，但是易出现超调现象，引起系统振荡等问题；wo越大，LESO对系统各阶状态的估计信号相位损失越小，但可能会导致高频噪声的放大，进而恶化闭环系统的控制性能。尤其对大时滞系统来说，过大的wc和wo会对系统滞后时间的摄动更加敏感，很小的系统参数变化就可能会引起整个控制系统不稳定。因此，在能够满足性能指标的前提下，wc和wo越小越好。

对于无时滞的系统，b0作为b的估计值，一般在b附近取值即可。b0越大，系统的稳定裕度越大，但调节时间会有所加长。当b已知时，直接取b0=b即可。但对于有时滞的系统尤其是大滞后的系统，为保证系统的稳定性通常需要取一个较大的b0。b0=nb，n由滞后时间与时间常数的比值决定，比值越大，n越大。经过大量仿真，本文推荐n取2～10。lm决定了滞后时间的削弱尺度，lm越大，改造后的被控对象时滞时间越小，给到LESO 的2路输入信号的不匹配程度越小。以将大时滞系统改造成小时滞系统为准则，取lm≥2τ/T。

在实际的工业应用中，可根据上述的参数整定规律先选择一组较大的b0和lm，然后，调节wc和wo使系统响应稳定，最后，根据控制指标要求对控制参数进行细调，最终确定控制参数，也可以采用智能优化算法进一步对控制参数进行寻优，以达到更好的控制性能。

3 仿真研究

3.1 工业浊度大时滞系统

选取文献[21]中的一阶工业浊度大时滞系统，其传递函数为

该系统的模型参数为：K=0.85，T=1 200，τ=1 800，a=1/1 200，b=0.85/1 200。滞后时间与时间常数之比为1.5，属于典型的大时滞系统。仿真实验中，将本文所提出的RTADRC方法与PI-Smith方法、文献[21]提出的PADRC方法以及文献[19]提出的MADRC方法进行对比。其中PADRC和PI-Smith的参数采用文献[21]中的整定结果，MADRC 的参数根据文[19]中的整定规则进行选取。为公平比较，本文方法选取的带宽参数与PADRC 保持一致。根据整定准则，应取lm≥3，由于该过程滞后时间很大，这里取lm=100。具体控制参数见表1。

表1 系统(19)的控制参数Table 1 Control parameters of system(19)

3.1.1 理想模型仿真

假设模型精确，进行单位阶跃响应，并在t=15 000 s 处加入幅值为-0.5的阶跃扰动。系统的输出量和控制输入量如图5所示。

由图5可知，在理想模型下RTADRC 与PADRC 方法具有相似的控制性能，都能够较好地解决大时滞系统的信号不匹配问题，相比于MADRC和PI-Smith方法，具有更好的跟踪效果和扰动抑制能力。但在实际过程中，系统参数与模型参数不可能完全相同，滞后时间、系统增益以及时间常数都会存在一定的摄动范围。滞后时间与时间常数的比值决定了系统时滞的严重程度，下面考虑当滞后时间和时间常数发生变化时，该工业浊度大时滞系统在几种控制方法下的鲁棒性测试结果。

图5 理想模型(19)下的系统响应Fig.5 System response with ideal model(19)

3.1.2 参数摄动仿真

保持理想模型下的控制参数不变，假设滞后时间增加20%和时间常数减小20%，即系统时滞的严重程度有所增加时，闭环响应的输出量和控制量如图6所示。同样地，假设滞后时间减小20%和时间常数增大20%，即系统时滞的严重程度有所减弱时，闭环响应的输出量和控制量如图7所示。

图6 系统在参数摄动下的闭环响应(滞后时间增加20%和时间常数减小20%)Fig.6 Closed-loop response of system with parameter perturbation(time-delay increased 20%and time constant reduced 20%)

由图6可知：当系统的时滞程度更加严重时，RTADRC 方法出现了一定的超调，但是很快调节到目标值，满足工业控制要求；相比于MADRC方法，PADRC 方法出现了更大的振荡以及更大幅度的控制信号波动，说明PADRC方法更加依赖系统的模型，对模型参数的摄动更加敏感；PI-Smith方法虽然仍然能够到达目标值，但调节时间和扰动的恢复时间都比RTADRC 方法的长。由图7可知：当系统的时滞程度有所缓和时，RTADRC 方法能够快速、平稳地跟踪目标指令，而PADRC 和MADRC方法均出现一定的振荡，控制信号不够光滑。因此，当系统的模型参数发生摄动时，相比于PI-Smith，MADRC和PADRC方法，RTADRC方法仍然能够保持良好的跟踪性能和扰动抑制能力。

图7 系统在参数摄动下的闭环响应(滞后时间减小20%和时间常数增大20%)Fig.7 Closed-loop response of system with parameter perturbation(time-delay reduced 20%and time constant increased 20%)

3.2 超大时滞系统

为验证所提方法对于超大时滞系统的控制效果，选取文献[22]中的模型为研究对象，传递函数为

其模型参数为：K=1，T=0.1，τ=30，a=10，b=10，滞后时间与时间常数之比高达300。PI-Smith 方法的参数采用文献[22]中的整定结果，RTADRC 方法的控制参数与PADRC 方法的一致，lm根据整定准则，应取lm≥600，这里直接取lm=600。具体控制参数见表2。

表2 系统(20)的控制参数Table 2 Control parameters of system(20)

3.2.1 理想模型仿真结果

对于理性模型的仿真结果如图8所示。由于3种控制器的参数按照各自的调参规则进行了整定，在输入目标指令时，3种控制方法均具有较强的跟踪能力，能够快速无超调到达目标值，但RTADRC与MADRC方法的控制输入信号较PI-Smith方法的控制输入信号更加光滑且不存在突变。

图8 理想模型(20)下的系统响应Fig.8 System response with ideal model(20)

3.2.2 参数摄动仿真

对于这种时滞程度十分严重的系统，很小的参数变化就可能会导致整个闭环系统不稳定，尤其是滞后时间发生摄动。将滞后时间增加5%，保持表2中的控制器参数不变，仿真结果如图9所示。由图9可见：无论是PI-Smith方法还是PADRC方法，由于均含有依赖模型参数的Smith 预估结构，对滞后时间参数的摄动均比较敏感，在滞后时间只增加5%的情况下控制性能便变得很不理想。而RTADRC 方法由于减小了滞后时间，同时增大了滞后时间的摄动范围，因此，在滞后时间发生变化时仍然具有良好的控制能力，能够满足超大时滞系统的工业控制要求。

图9 系统在参数摄动下的闭环响应(滞后时间增加5%)Fig.9 Closed-loop response of system with parameter perturbation(time-delay increased 5%)

3.2.3 削弱因子变化

削弱因子lm决定了滞后时间的削弱程度，理论上取lm≥2τ/T便能够将大时滞系统转化成小时滞系统进行控制。为验证lm对于控制性能的影响，在理想模型下保持RTADRC 方法的其余控制参数不变，削弱因子lm分别取30，100，300和1 000进行仿真实验，仿真结果如图10所示。从图10可见：随着lm增大，时滞环节带来的不良影响逐渐减小，当lm≥2τ/T时便能够获得满意的控制性能。