教材固基础 变式拓思维

环靖

试题源于教材又高于教材，翻阅历年中考题，我们不难看到教材例题的身影。为此，在中考复习时回归教材，关注典型例题的深层次挖掘，一方面符合思维能力较弱的同学的接受实际，另一方面也为思维能力较强的同学拓展思维深度。因此，深究教材例题，是考前复习较为有效的手段之一。

例题 （苏科版数学教材八年级下册第68页例2）已知：如图1，在?ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF。

求证：四边形BEDF是平行四边形。

证明过程见教材。

本题可以从以下几个方面进行变化：

【变式1】已知：如图2，在?ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF，EF、BD相交于点O。

求证：OE=OF。

證明：连接BE、DF。

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴ AD∥BC，AD=BC。

∵AE=CF，

∴DE=BF，

∴四边形BEDF是平行四边形，

∴OE=OF。

【点评】本题除了可以通过证明四边形BEDF是平行四边形外，也可以通过证明△EOD

≌△FOB来解决。本题在原题条件不变的情况下，图形轻微变化，证明思路、策略与教材例题并无区别。

【变式2】已知：如图3，在?ABCD中，点E、F分别在AD、BC上， EF、BD相交于点O，且OE=OF。

求证：AE=CF。

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴ AD∥BC，AD=BC，

∴∠EDO=∠FBO。

∵∠EOD=∠FOB，OE=OF，

∴△EOD≌△FOB，

∴DE=BF，∴AE=CF。

【点评】本题将变式1中的条件（AE=CF）与结论互换，虽然不能通过先证明四边形BEDF是平行四边形的方法得到DE=BF，但是可以从全等的角度得到。由此可见，条件与结论互逆后的解题方法并不是简单地将原方法互逆，而是要寻找新的途径进行思考。

【变式3】已知：如图4，在?ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点。

求证： 四边形AECF是平行四边形。

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=DC，AB∥DC。

∵E、F分别是AB、CD的中点，

∴FC=[12]DC，AE=[12]AB，∴FC=AE。

又∵CF∥AE，

∴四边形AECF是平行四边形。

【点评】本题是对教材例题的特殊化。其实，利用教材例题的证明过程也可以进行证明，但是教材例题的证明却不可以完全照搬本题的证明过程。

【变式4】已知：如图5，在?ABCD中，∠ABC、∠ADC的平分线分别交AD、BC于点E、F。

求证：BE∥DF。

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC。

∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，

∴∠EBC=[12]∠ABC，∠ADF=[12]∠ADC，

∴∠EBC=∠ADF。

∵AD∥BC，∴∠ADF=∠DFC，

∴∠EBC=∠DFC，∴BE∥DF。

【点评】如果说变式3是线段的特殊化，那么本题就是角的特殊化。解题策略也从线段方面思考变为从角方面思考。

【变式5】已知：如图6，在?ABCD中，∠ABE=[1n]∠ABC，∠FDC=[1n]∠ADC。

求证：BE∥DF。

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC。

∵∠ABE=[1n]∠ABC，∠FDC=[1n]∠ADC，

∴∠EBC=[n-1n]∠ABC，

∠ADF=[n-1n]∠ADC，

∴∠EBC=∠ADF。

∵AD∥BC，∴∠ADF=∠DFC，

∴∠EBC=∠DFC，∴BE∥DF。

【点评】本题虽然将变式4进行一般化处理，但是两题的解题思路与过程却是一致的。

我们可以发现，很多试题实际上是将教材例题的条件或者图形进行强化、弱化、一般化、特殊化、条件结论互逆化等一系列的变化得到。在平时的学习中，同学们不能局限于教材例题的解决，也要利用变式思维思考这些题目还有哪些变化，进而达到解一题、通一类的效果。

（作者单位：江苏省南京市六合高级中学附属初级中学）