漫思索据，高考题探源
2021-06-20冯亮
冯亮
[摘 要] 高考题一般源于这几个方面：依托于教材作业、翻新于历年真题等. 高考命题强调“能力立意”，以问题为载体，以知识为基础，以思维为主线，以能力为目标，不断研究高考题，把握高考试题发展方向，使课堂教学有的放矢.
[关键词] 高考;命题;追根探源;母题
纵横比较近几年数学高考题，发现试题呈现如下特点：以稳定为主线，稳中渐变，重视“三基”，联系实际，兼顾创新，因此试卷内容年年岁岁神相似，岁岁年年形不同. 那么每年凝聚了众多命题专家心血和智慧的好题是如何“创造”出来的呢？显然“巧妇难为无米之炊”，高考题的成形本身也应该有它的“源头活水”，经分析归纳后，一般的高考题来源于如下几方面.
依托于教材作业
许多高考题，甚至“压轴题”索其本源，竟可以在教材课本中直接发现它的倩影.
考题再现：（2010年重庆理科第21题）在数列{a }中，a =1，a =ca +cn+1（2n+1），n∈N*，其中c≠0，
（1）求{a }的通项公式;
（2）若对一切k∈N*，有a >a ，求实数c的取值范围.
解析：（1）由题意得： = +（2n+1），所以 - =2n-1， - =2n-3，…， - =2+1. 以上n-1个式子累加得： - =（2n-1）+（2n-3）+…+3=n2-1，故a =（n2-1）cn+cn-1. （本题也可用迭代法解决）
（2）略.
此题题根见于教材必修五第33页习题A组第4题.
原题表述如下：写出下面数列{a }的前五项.
（1）a = ，a =4a +1（n>1）;
（2）a =- ，a =1- （n>1）.
将（1）中常数“1”改为cn+1（2n+1），系数4改成c即推陈出新为一道优秀的考题，充分体现高考题源于教材，略高于教材的原则.
复习启示：既然高考题依托于教材改编而得，那么要求教师在平时的教学过程中注重课本例题的选用，特别对其内涵进行深层次的挖掘，采用多变式集训的办法，努力达到能对这类典题知一求三，触类旁通的境界.
翻新自历年真题
有些题似曾相识，曾经出现在往届高考题或模拟卷中，由出题专家妙手剪裁、提炼、汇聚，又鲜活出现于考生面前.
考题再现：（2010年浙江理科第21题）已知m>1，直线x-my- =0，椭圆C： +y2=1，F ，F 分别为椭圆C的左、右焦点.
（1）当直线l过右焦点F 时，求直线l的方程;
（2）设直线l与椭圆C交于A，B两点，△AF F ，△BF F 的重心分别为G，H，若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围.
解析：（1）略. （2）“点O在以线段GH为直径的圆内” · <0， 故设A（x ，y ），B（x ，y ），则G ， ，H ， ，由x=my+ ， +y2=1，联立，消去x得：2y2+my+ -1=0. 由Δ=m2-8 -1=-m2+8>0，得m2<8. （1）
由 · <0得x x +y y =my + ·my + +y y =（m2+1）（ - ）<0，故有 - <0，即m2<4. （2）
由（1）（2）得：m2<4，又m>1，故m∈（1，2）.
这是一道集知识、能力、方法等考点全面的试题，它的出现并非空穴来风，此题与2006年湖北理科20题有割不断的渊源，此题为：设A，B分别为椭圆 + =1（a>b>0）的左、右頂点，椭圆长半轴长等于焦距，且x=4为它的右准线.
（1）求椭圆的方程;
（2）设P为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP，BP分别与椭圆相交于异于A，B的点M，N，证明：点B在以MN为直径的圆内.
问题（2）的解决只证明 · <0即可，余下的请读者自行解决.
复习启示：高考题一般都是优中择优的精品题，某些典题的知识结构、思想方法、解题技巧并不会因为年代的远去而黯然失色，相反其中精华部分会被专家们继续借鉴、消化，从而推陈出新.这就给老师们重要启发：能否把若干年来的各省市高考题分门别类，重新整合，作为学生复习的必选题进行练习，总结解题规律，提炼思想方法. 也许，若干年以后大同小异的姊妹题又不期而至.
接轨于高等数学知识
从命题专家组的成员组成上看，高校教师是重要组成部分. 试题命题受出卷者自身学术背景影响不可避免;再从高中数学和高等数学知识衔接上看，在试题中适当渗透高等数学知识也是顺理成章的事情，故高考题中常常有伴随高等数学知识背景的所谓“高知题”.
考题再现：（2009年浙江理科第10题）对于正实数α，记M 为满足下述条件的函数f（x）构成的集合，？坌x ，x ∈R，且x >x ，有-α（x -x ） A. 若f（x）∈M ，g（x）∈M ，则f（x）·g（x）∈M B. 若f（x）∈M ，g（x）∈M ，且g（x）≠0，则 ∈M C. 若f（x）∈M ，g（x）∈M ，则f（x）+g（x）∈M D. 若f（x）∈M ，g（x）∈M 且α >α ，则f（x）-g（x）∈M 题源探究：若函数f（x）在区间I上，存在常数L>0，使得不等式f（x ）-f（x ） ≤L（x -x ），对于所有x ，x ∈I都成立，则称f（x）在区间I上满足李普希茨（Lipschitz下同）条件，其中L称为李普希茨常数. 解析：由-α（x -x ） 该试题既有高等数学的深刻背景，又有数学分析的方法要求，以抽象函数为载体，涉及的数学思想方法有分析法、特值法、反证法，需要考生具备很强的分析能力，故被众多出题专家追捧.2006年的北京卷和广东卷也曾出现过以李普希茨条件为背景的试题. 复习启示：高等数学某些内容与中学数学联系紧密，这些试题既能考查学生能力，又利于中等数学与高等数学知识的衔接.它既符合课程标准，又能突出数学思想本质，是高考命题的风向标.笔者认为在高考复习中可把高等代数中的“群、环、域、矩阵”，数学分析中的洛比达法则、切比雪夫不等式等知识点以适当形式稀释在平时的复习中. 借鉴于竞赛数学 如今高考命题呈现三大趋势，容易题会考化，中档题平民化，压轴题竞赛化.既然如此，高考试题包含竞赛题思想方法和技巧就不足为奇了. 考题再现：（2008年辽宁文科第12题）在正方体ABCD-A B C D 中，E，F分别为棱AA ，CC 的中点，则在空间中与三条直线A D ，EF，CD都相交的直线有（ ） A. 0条 B. 1条 C. 多于1的有限条 D. 无数条 解析：过A D 的平面中只要与EF和CD都相交时，两交点连线即与A D 相交，这样的直线有无数条，故选D. 无独有偶，如果熟悉1997年全国数学联赛，曾经出现过这样一道试题：如果空间三条直线a，b，c两两成异面直线，那么与a，b，c都相交的直线有（ ） A. 0条 B. 1条 C. 多于1的有限条 D. 无数条 两者题干，选择解题用的思想方法和技巧有惊人的相似之处. 复习启示：近几年事实证明好多竞赛题被“移植”于高考试题里，一般的解题窍门和手法也能照搬到高考题的解法中. 因此，让一些学有余力的学生在高一、高二时适当参加省市各类各级数学竞赛大有益处，也只有这样，才能使更多的考生在“六月的洗礼”中做到处变不惊，游刃有余. 脱胎于国外历史名题 有一类高考题，本源出自国外历史名题，可以说系出名门，两者题目和解题所用思想方法“血缘”关系相近，某些百年名题经专家妙手增删，又闪亮登场. 考题再现：（2008年山东理科第22题）如图3，抛物线x2=2py（p>0），M为直线l：y=-2p上任意一点，过M引抛物线的两条切线，切点分别为A，B两点，求证：A，M，B三点横坐标成等差数列. 解析：由题意设M（x ，-2p），Ax ， ，Bx ， ，且x 同理可得：4p2=x -2x x . （2） 由（1）（2）可得2x =x +x ，所以A，M，B三点横坐标成等差数列. 题源探究：如图3，过点M引抛物线x2=2py（p >0）的两条切线，切点分别为A，B，那么由A，B，M三点构成的三角形称为阿基米德三角形. 这是一道历史悠久的经典名题. 该三角形有众多有趣性质，其中一条就是△ABM的AB边上中线平行抛物线的对称轴（证明同上），当年的山东高考压轴题与之相比简直就是如出一辙. 多年来，以阿基米德三角形为背景的高考题不时出现在各省市中，2011年安徽理科第21题又以阿基米德三角形为母题，经过命题专家乔装改扮，又活跃在考生面前. 复习启示：也许有老师感慨高考复习题尤其是第二轮复习典题难找，不妨去寻觅一些国外历史名题，对其中一些性质进行研究，把条件适当放宽或限制，把结论加强或弱化……尝试对问题进行探索、猜想，对学生进行变式训练，笔者认为这肯定能收到意想不到的效果. 高考命题强调“能力立意”，“在知识网络的交汇点处设计问题”，以问题为载体，以知识为基础，以思维为主线，以能力为目标，全面考查学生进一步学习的潜质，不断研究高考题，把握高考试题发展方向，使课堂教学有的放矢.也只有這样，才能提高学习效率，提高教学水平.
