对等可能性的错误理解

李进

和概率相关的内容是各个省市中考试题中必考的知识点，答题时如果不小心，就很容易丢分。该知识点常以实际问题为载体，很多同学在阅读理解时出现偏差，特别是在对等可能性的理解方面。请看以下两个例题。

例1 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，和为8的概率是多少？

【错解】因为抛掷两次的点数之和的所有结果有2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12，而点数之和为8的只有1种，所以P（点数之和为8）=[111]。

【正确解答】用列表法表示所有等可能的结果。

此时，共有36种等可能的结果，其中所得数字之和为8的有5种，所以P（点数之和为8）=[536]。

【点评】有同学从两次之和的结果看，确实只有11种，但实际上每种结果出现不是等可能的，如结果为2的只有1种，结果为3的有2種，结果为4的有3种……结果为8的有5种。

例2 在一个不透明的袋子里，有4个除编号外全部相同的小球，分别为1、2、3、4。两名同学做一个游戏。小明任意从袋中摸出一个球，记下数字，放回袋中。小红再摸，同样记下编号。哪名同学摸到的编号大则该同学胜利。请问游戏公平吗？为什么？

【错解】游戏公平。因为小明、小红摸到1、2、3、4号球的可能性是一样的，都是[14]。

【正确解答】假如小明摸到了1号球，小红摸到了2号球，我们将这种情况表示为（1，2），于是，用列表法表示所有等可能的结果如下。

共有16种等可能的结果，其中小明胜的有6种，即P（小明胜）=[616]=[38];小红胜的有6种，即P（小红胜）=[616]=[38]，所以游戏是公平的。

【点评】虽然“游戏是公平的”这个结论正确，但是对胜利的理解方式是错误的。本题的实质是游戏的公平性问题，而不是摸到每一个球的等可能性是否相同。

（作者单位：江苏省连云港市海州实验中学）