一类微分方程最佳平方逼近解法的注记

岑达康，汪志波

（广东工业大学 应用数学学院，广东 广州 510520）

定义1 对（fx）∈C［a，b］及C［a，b］中的一个子集φ=span｛φ0（x），φ1（x），…，φn（x）｝，ρ（x）为非负函数，若存在S*（x）∈φ，使

则称S*（x）是（fx）在子集φ⊂C［a，b］中的最佳平方逼近函数。

定理1［1］若S*（x）∈φ，其中φ0（x），φ1（x），…，φn（x）线性无关。记

可得S*（x）=［φ0φ1… φn］α=［φ0φ1… φn］A-1β，最佳平方逼近误差为C-β'A-1β。不妨以勒让德多项式［2］为基函数，给出一类微分方程数值解法。

1 勒让德多项式及性质

正交性，表示为

2 勒让德多项式逼近

3 微分方程数值求解

4 数值实验

例求解如下微分方程的数值解

方程的精确解为u（x）=x2+1。

数值实验采用Matlab2014a 进行运算。取权函数ρ（x）=1，基函数为｛φ0，φ1，φ2｝=｛1，x，3/2x2-1/2｝。解得数值解U（x）=x2+x/180 143 985 094 819 84+1。平方逼近误差为（x/180 143 985 094 819 84）2dx=2.054 3e-33。