《数学物理方法》定解问题的可视化仿真实验设计

许 超，王 琪，陈玉艳，高森源，丁 勇*

(1.辽宁大学 物理学院，辽宁 沈阳 110036；2.威海市实验高级中学，山东 威海 264200)

0 引言

《数学物理方法》是物理类、力学类、仪器类、电子信息类等学科的重要基础课.其课程特点是将精妙的数学思想和数学方法应用在物理或交叉学科的实际具体问题中，通过物理现象建立数学模型，在分析模型和问题求解的过程中进一步研究物理现象，从而发现解决实际具体问题的途径和方法.由于该课程理论性强、概念抽象、推导繁多、场图复杂，要求学生具有较强的抽象思维能力和空间想象力.所以，课程的教学现状往往是多数学生对基本概念掌握较好，但不会从实际问题出发，运用所学的知识去建立相关的数学模型，实际上就是对知识的掌握和运用不能协调，对知识掌握与实际应用之间脱节.

探索新工科建设模式，主动适应当前社会的新技术、新产业、新经济发展，已经成为高校理工科专业的发展目标.怎样培养具有创新创业意识、逻辑思维和跨界应用能力的“新工科”人才?这是高校理工科专业教师需要深入思考的问题.其解决途径之一就是要在理论讲授和实践应用之间找到合适的教学平衡点[1-3].因此，教学团队依托《数学物理方法》课程，选取数学物理方法的定解问题作为教学改革的突破点，将理论建模与三维仿真相融合、基础知识与教学案例相融合、创新实践与科学研究相融合，重点解决学生在《数学物理方法》部分章节学习时对教学内容理解困难和创新思维训练不足的教学问题.

1 《数学物理方法》定解问题

《数学物理方法》是以物理学科或工程技术的实际应用问题作为研究对象，其研究步骤一般包括确定定解问题、定解问题求解和解的适定性.以工程技术的温度监测为例，通常会分析温度在测量区域的分布情况或研究其随时间变化的规律.那么，将温度分布及其随时间变化的规律用数学语言描述出来，即数学物理方程；而温度变化在测量区域所满足的约束边界条件和时间初值条件称为定解条件.由于描述的是同一类物理现象的共同规律，反映的是物理量变化的最本质关系，所以这种方程也称为泛定方程.确定定解问题就是求解某一具体问题时提出泛定方程和定解条件.

求解不同的定解问题，需要采用不同的方法一类一类求解.但具体问题研究时，仅仅求解出方程是远远不够的，还必须考虑解的适定性，即存在性、唯一性和稳定性.依旧以温度监测为例，需要考虑求解的温度变化是否符合实际物理问题的意义，需要讨论在什么样的定解条件下温度方程的解是唯一的，更要确保当定解条件有微小变化时，温度方程的解也只有微小变化.只有定解问题的解具有存在性、唯一性和稳定性，那么在合理误差范围内所得到的解就可以看做是实际问题解的良好近似.只有得到符合实际问题的物理规律的解，这样的解才是具有实际意义的.

2 基于新工科理念的可视化仿真教学模式

教学团队积极探索新工科的教学理念，以解决实际问题和自主创新设计的能力作为本科学生的主要培养目标，将数学物理建模思想、三维可视化仿真方法、创新实践的手段应用于《数学物理方法》课程的教学实践中，重点实现了将理论建模与三维仿真相融合、基础知识与教学案例相融合、创新实践与科学研究相融合.其中，教学方法三维可视化使抽象、烦琐的理论模型变得直观、明了；教学案例项目化锻炼学生动手实践和解决问题能力；教学实践创新自主化加强科研促教，引导学生开展自主研究型学习；教学内容的系统化更新了课程结构，充实了课程内容，完善了课程体系[4-5].可以说，《数学物理方法》的这种基于新工科理念的可视化仿真教学模式，既解决了前沿性的科研促教中缺乏实验条件的问题，加强了创新思维实践能力训练，又改进了学生在部分章节学习时对教学内容理解困难的教学状况，解决了课程教学模式单一且脱离实际应用的教学问题[6-8].

3 定解问题实例设计与仿真

教学团队坚持新工科理念的可视化教学模式，开展了复变函数计算、留数计算、傅里叶变换、拉普拉斯变换、特殊函数仿真、本征值计算和偏微分方程求解等部分定解问题的案例式创新实验.本文以稳态的温度分布为例，阐述《数学物理方法》定解问题可视化教学实例.假设半径为a，表面熏黑的均匀长圆柱，在温度为0的空气中受阳光的照射，阳光垂直于柱轴，热流强度为q，试求柱内稳定的温度分布.

解：定解问题为

其中

这个问题的解是

可以用MATLAB程序得到解析解的图形(如图1、图2所示)。

图1 解析解的曲面图

图2 解析解的等值线图

在球面的边界条件是cosωt即为Re(e-iωt)，在上面写成了e-iωt，这要求在计算结果中也只取实部.

问题的解析解是

上式的实部就是所要求的解，在远场取渐进公式近似，并取实部，得到的解为：

图3是解析解动画中的几幅画面，这是由球面向外传播的球面波.

图3 球面波解析解的动画

教学团队引导学生通过对柱体内温度变化分析得出柱体温度的泛定方程，借助于MATLAB软件和程序语言得出其数值解及其解曲面的直观图形，实现了定解问题可视化，解决了教学环节中理论知识与实际应用脱节的缺陷，有助于学生学习理解专业问题.同时，课后可设计类似练习以巩固编程能力和提升理论分析能力，比如实际生活中防护服的热传导、仓储的柜体温度分布等，都可以让学生动手练习建立定解问题来求解.但需要注意的是设计问题时要考虑其可行性、复杂性、工程的延展性.

4 结论

《数学物理方法》课程的概念抽象、场图复杂，教学团队借助于MATLAB的可视化仿真教学和面向实际应用的教学案例，选取数学物理方法的定解问题作为教学改革的突破点.实践表明，这种案例式可视化仿真教学构建了理论建模与三维仿真相融合、基础知识与教学案例相融合、创新实践与科学研究相融合，对具有“宽泛的专业知识、科学的创新能力、实践的应用能力”的专业人才培养具有现实意义，解决了学生在专业知识学习过程中所遇到的典型问题，符合新工科建设理念.