齿轮故障振动啮合调幅调频信号分离方法

杨小青　丁康　何国林

摘要： 齿轮故障时振动信号中同时存在调幅调频信号。基于齿轮故障振动啮合调制信号数学模型，利用平方幅值解调和基于调频信号与第一类贝塞尔函数之间关系的频率解调方法，分别建立关于调幅和调频参数的非线性方程组;再应用最小二乘优化算法求解参数，提出一种调幅调频信号准确分离的新方法。并将离散频谱校正技术用于提高该分离方法的准确性。仿真结果表明：该方法精度高，抗干扰能力强;分离出的调频信号比希尔伯特变换和基于能量算子解调求解的调频信号精度高。实验分析表明，不同故障分离的调幅调频信号存在明显的特征和差异，从而为齿轮箱故障提供了一种新的诊断方法。

关键词： 故障诊断; 平方幅值解调; 频率解调; 离散频谱校正; 调制分离

中图分类号： TH132.41    文献标志码： A    文章编号： 1004-4523（2021）02-0379-10

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2021.02.019

引  言

齿轮箱作为重要的动力传动部件广泛应用于旋转机械，但长期恶劣的工作环境使其易发生故障，从而导致巨大的经济损失甚至人员伤亡。齿轮存在胶合、点蚀、断齿、均匀磨损等平稳型或冲击型故障时系统出现周期性转速波动，该转速波动会导致啮合刚度激励具有调频成分，且故障的等效激励会使振动信号中产生调幅成分，所以齿轮故障时的振动信号中同时包括调幅调频信号[1?2]，带有故障信息的调制信号可以作为齿轮箱故障诊断的重要依据。

近年来，关于齿轮箱故障特征提取的方法已有很多，并取得了较好的成果。郑近德等[3]利用广义变分模态分解进行变工况下齿轮故障特征识别。小波分析[4]通过选择与故障特征信号相似的小波基函数分离出能够用于齿轮故障诊断的特征成分。文献[5?6]基于稀疏分解理论，分离出平稳型故障信号和冲击型故障信号。对于具有平稳型故障[2]的齿轮，其振动信号中啮合频率及其倍频周围会产生调幅和调频信号;而冲击型故障在啮合频率及其倍频附近存在较大的调频信号。所以，可根据从啮合频率或其倍频周围分离的调幅和调频信号诊断齿轮故障类型。以上信号处理方法均只能将故障特征信号分离，但这些信号可能同时包含调幅和调频成分。所以为了更好地诊断故障位置和程度，有必要研究调幅和调频信号的准确分离方法。

解调方法可用于获取齿轮故障特征频率，进而诊断齿轮故障位置。希尔伯特解调和能量算子解调能求解信号调制包络和瞬时频率（调频成分），因此被广泛应用于齿轮箱故障诊断。文献[7?8]利用能量算子解调法分别求解齿轮和轴承振动信号的幅值解调谱;同时利用能量算子解调求角域信号中的调制信息实现故障诊断。Qin[9]通过结合能量分解和自适应滤波实现多成分的调幅调频分解。Feng等[10]基于本征时间尺度分解挑选出对故障特征最敏感的单分量，再估计该分量的瞬时幅值和瞬时频率进行解调从而实现故障诊断。冯志鹏等[11]将经验模态分解与希尔伯特变换求瞬时频率相结合，实现频率解调而得到故障信号的瞬时频率。另外，结合小波分析和希尔伯特变换解调获得齿轮故障特征频率，从而实现齿轮故障诊断[12?13]。

现有的解调幅和解调频方法都存在一些不足。希尔伯特包络解调时会有端点效应，且缺乏准确的数学公式推导;同时希尔伯特变换和能量算子解调求瞬时频率的精度受噪声影响很大，抗噪性能不好。

综上所述，为了区分齿轮故障振动调制信号中具有相同特征频率的调幅和调频成分，需要将两者分离，但大多数解调方法不能准确地将两种调制信号分离。因此本文将平方幅值解调、基于第一类贝塞尔函数和调频信号之间关系的频率解调有效结合，研究了一种具有两组调制频率的调幅和调频成分准确分离方法，以及两种不同齿轮故障时调幅和调频成分的分布情况。

2 仿真分析

2.1 无噪声仿真信号

齿轮箱主动轮和从动轮齿数分别为20和33，输入轴给定的较准确初始转速为1200 r/min，则齿轮啮合频率为400 Hz。由于存在转速误差，给出如下仿真信号。

式中  输入轴和输出轴实际转频fn1和fn2分别为20.03和12.14 Hz，实际啮合频率fm=400.6 Hz。

采样频率和采样点数分别为4096 Hz和4096。仿真信号幅值谱如图2所示。采用中心频率为400 Hz，上、下截止频率分别为520和280 Hz的带通滤波器处理该信号，得到啮合频率附近的调制成分x1（t）。按1.1节中方法校正后的啮合频率fmc=400.6 Hz，输入轴转频fn1c和输出轴转频fn2c分别为20.03和12.14 Hz。采用希尔伯特变换解调求解x1（t）的时域幅值包络Ha（t）用于构建约束方程。滤波后信号x1（t）的平方解调谱低频附近如图3所示，由1.2節中的（b）可确定fn1和fn2在调幅函数中的最高阶次分别为2和1，可得如下式的数学模型

应用最小二乘优化算法求解方程组时算法的收敛性如图4所示，迭代5次后所求参数基本已收敛至最终求解结果，求解调频参数时给定多余的调制阶数越多，收敛速度越慢。所以最小二乘优化算法求解参数时具有较好的收敛性和收敛速度。求解的调幅参数如表3所示，该方法求解的调幅参数与给定值相比误差很小，说明该方法能有效分离调幅信号。

分离出调幅信号后，剩余信号的幅值谱如图5所示。由图5可知，当仅考虑幅值大于最大幅值10%的频率成分时，fn1和fn2的调频阶次分别为2阶和1阶，将fmc，fn1c和fn2c代入式（12）得到下式的剩余信号模型

（R_sc （t）=cos[2πf_mc t+?_m+B_1 cos（2πf_n1c t+θ_1）+@B_2 cos（4πf_n1c t+θ_2）+B_3 cos（2πf_n2c t+θ_3）]）   （21）

再由式（14）可求得相应频率成分的理论幅值，并根据理论幅值与频谱中校正后的幅值对应相等得到关于调频成分中幅值和相位的非线性方程组。增加剩余信号与数学模型相等的约束方程，最优化算法求解的频率调制成分的参数如表4所示，其误差很小。虽然fn1在求解过程中给定了两阶，但第二阶成分的幅值0.001相对最大幅值1可以忽略不计，其相位误差虽为141.1°，但没有意义。所以该方法能有效分离调频信号，且多余的调制阶次不影响最后的求解结果。

没有进行频率及幅值校正时，保持与校正后优化求解过程同样的截止条件，求解得到的调制成分参数也列于表3和4中。由表3?4可知，未进行校正时调制参数求解结果的误差比校正后误差大，尤其是相位误差，其中调幅函数和调频函数的最大相位误差分别达3.833°和36°（不考虑调频函数多余阶次项）。说明在同样的优化截止条件下，进行频谱校正有利于提高调制参数求解的精度。

2.2 含噪声仿真信号

在上节仿真信号中加入信噪比为2 dB的高斯白噪声，此时调幅成分和调频成分的信噪比分别为0.957和-13.154 dB。分别采用所提分离方法、希尔伯特解调方法（方法2）[1，11]和基于能量算子的解调方法（方法3）[7?8]处理该信号，求解的调幅和调频成分的幅值和相位参数分别如表5和6所示。所提分离方法求解的调幅和调频信号的幅值和相位最大误差分别为9.65%，4.2°，5.233%和1.846°（fn1的第二阶成分忽略），说明该方法具有较好的抗噪性，能满足实际齿轮箱故障振动调制信号分离的要求。方法2求解的调幅和调频信号的幅值和相位最大误差分别为19%，28.42°，560.17%和103.7°;方法3求解的调幅和调频信号的幅值和相位最大误差分别为20.2%，26.156°，491.4%和272.4°。显然方法2和方法3求解的调制信号参数均有较大误差，尤其是调频参数的误差太大，较大噪声情况下方法3和方法2已经失效，这是因为希尔伯特和基于能量算子在解调频过程中有相位求导，差分过程使信号信噪比变小，从而求解结果误差增大。从对比结果可知，所提调幅调频信号分离方法的抗噪性比方法2和方法3好。

3 实验验证与故障分析

QPZZ?II旋转系统实验台用于测试故障单级定轴齿轮箱振动信号，系统测试框图如图6所示。齿轮箱输入轴和输出轴通过柔性联轴器分别与电机和磁粉制动器相连，安装后输入轴和输出轴存在轻微不对中，主动轮齿数为55，被动轮齿数为75，电机较准确的初始转速显示值为900 r/min，负载为20 N·m，所以输入轴转速fn1和输出轴转速fn2分别为15和11 Hz，啮合频率为825 Hz。分轻微不对中和轻微不对中+断齿两种工况测试分析，其中输出齒轮的断齿故障如图7所示。美国PCB公司的加速度传感器安装在输入轴轴承座上，其灵敏度为0.01 V/（m·s-2）。测试分析中采样频率为8192 Hz，采样点数和DFT点数均为32768，带通滤波器的中心频率为825 Hz，上、下截止频率分别为915和735 Hz。

3.1 轻微不对中+断齿故障（故障1）

采集的振动加速度时域波形和幅值谱分别如图8和9所示。带通滤波并校正后得到的啮合频率fmc为825.689 Hz，计算得到输入轴转频fn1c和输出轴转频fn2c分别为15.012和11.01 Hz。平方后信号幅值谱如图10所示，由图10可确定调幅信号中fn1和fn2调制阶次均为1阶。列出关于调幅参数的非线性方程组，由求解的参数可得到下式所示的包括直流分量的调幅函数

（a ?_mc （t）=0.1848[1+0.0735cos（2πf_n1c t+0.1462）+@0.2426cos（2πf_n2c t+2.3785）]） （22）

由于调幅信号幅值小于1 m/s2，所以利用滤波后的信号除以调幅信号后，剩余信号幅值谱如图11所示，其幅值大于原信号幅值。由图可确定fn1和fn2的调制阶次均为1。应用校正后的幅值构造非线性方程组，求解参数值可得到下式的调频信号

（b（t）=0.0935cos（2πf_n1c t+0.0928）+@0.5273cos（2πf_n2c t+3.5271）） （23）

根据分离的调幅和调频信号，重构出啮合频率附近的调制边带幅值如表7所示。分离的调幅和调频信号中都存在输入轴和输出轴的一阶调制成分，且输出轴转频分量的幅值均大于输入轴转频分量，所以无论是依据分离的调幅成分还是调频成分都能判断出输入轴和输出轴上均存在故障，且输出轴的故障比输入轴故障严重。调频信号各分量幅值比调幅信号相同成分的幅值大，这是因为齿轮断齿时的转速波动产生调频且主要集中在啮合频率附近，而调幅主要体现在固有频率附近。表7中较大测试幅值与其重构幅值间的误差较小，而较小测试幅值与重构幅值的最大误差达到59.42%。这是由于输出齿轮断齿故障时啮合激励频谱为分布在全频带间隔为故障齿轮转频的谐波成分，其中部分成分与啮合频率及其倍频两侧的调制边带重合，所以其产生的振动响应频谱与啮合谐波两侧的调制边带重合，但该响应成分不符合式（1）的啮合调制信号模型，从而使分离的由输入轴和输出轴不对中产生的啮合调幅调频边带误差较大。断齿故障产生的振动响应中越靠近固有频率的成分幅值越大，所以啮合频率谐波越靠近固有频率，分离的调幅调频信号误差越大[18]。

3.2 轻微不对中故障（故障2）

采用该方法处理齿轮在故障2情况下的振动信号，从啮合频率附近分离的包括直流分量的调幅信号和调频信号分别如下：

a ?_mc （t）=0.2868[1+0.0266cos（2πf_n1c t+0.6546）+0.1712cos（4πf_n1c t+2.482）+0.1629cos（2πf_n2c t+0.44）+0.1305cos（4πf_n2c t+0.6937）] （24）

（b（t）=0.2726cos（2πf_n1c t+4.367）+@0.0145cos（4πf_n1c t+2.73）+@0.1923cos（6πf_n1c t+4.056）+@0.2377cos（2πf_n2c t+4.408）+@0.1923cos（4πf_n2c t+3.47）+@0.1974cos（6πf_n2c t+1.763）） （25）

两者均存在输入轴和输出轴的转频调制，且最大幅值相差不大。重构调制信号中部分频率对应的幅值与原信号幅值列于表8，最大幅值误差为15.625%。

故障1和故障2产生的调幅和调频成分幅值谱如图12所示。分析可得以下结论：（1） 故障1产生的调幅和调频阶次均比故障2时少;（2） 两种故障产生的调幅信号中第一阶成分幅值接近;（3） 虽然故障2产生的调频信号阶次比故障1多，但故障1产生的调频信号中输出轴转频的第一阶幅值较其他幅值大很多，说明断齿故障产生了较大的一阶转速波动。两类故障分离的调幅调频信号有明显的特征和差异，可为齿轮箱故障提供一种新的诊断方法。

4 结  论

（1） 将平方幅值解调、第一类贝塞尔函数和调频函数间的关系、离散频谱校正技术和最小二乘优化算法有效结合，提出了一种能有效分离齿轮故障振动啮合调制信号中调幅成分和调频成分的方法。该方法具有以下特点：

（a） 精度高。在无噪声情况下，仿真研究表明该方法求解的调制参数基本与给定值相等，误差很小;

（b） 抗噪性能好。分离出的调频信号比希尔伯特变换和基于能量算子的解调方法求解精度高得多。在信噪比为-2 dB时，调幅和调频信号中幅值和相位的最大误差分别为9.65%，4.2°，5.233%和1.846°。希尔伯特变换求解的调幅和调频函数中幅值和相位的最大误差分别为19%，28.42°，560.17%和103.7°。基于能量算子的解调方法求解的调幅和调频信号的幅值和相位最大误差分别为20.2%，26.156°，491.4%和272.4°。

（2） 为齿轮箱故障提供了一种新的诊断方法。实验分析表明从不同故障中分离的调幅调频信号存在明显的特征和差异。

（3） 齿轮具有平稳型故障时该方法能将啮合频率及其倍频附近的调幅调频信号有效分离。齿轮冲击型故障时全频带激励产生的部分振动响应与啮合频率谐波及其边带重合，影响调制成分的求解精度，从而使分离的调幅调频信号误差较大，这可以作为齿轮具有冲击型故障的诊断依据。所以该方法能有效分离齿轮具有平稳型故障时非共振区啮合频率谐波两侧的调幅调频成分。

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A separation method of faulty gear vibration AM-FM signal

YANG Xiao-qing， DING Kang， HE Guo-lin

（School of Mechanical and Automotive Engineering， South China University of Technology， Guangzhou 510640， China）

Abstract： The vibration signal of faulty gears simultaneously includes amplitude modulation （AM） and frequency modulation （FM） components. Based on the mathematic modulation model of fault gears， square amplitude demodulation and the frequency demodulation according to the relation of FM with the Bessel function of the first kind are respectively used to establish system of nonlinear equations about AM and FM parameters. Least-square optimization algorithm is then applied to solve these parameters. An accurate separation method of AM and FM is proposed， where discrete spectrum correction technique is employed to improve the correctness. Simulation results show that this method possesses high accuracy and strong immunity from interference， and is superior to Hilbert demodulation and the demodulation based on the energy operator in accuracy. Experimental analyses demonstrate modulation signals separated from different gear faults have obvious features and differences， which provides a diagnosis method for fault gearbox.

Key words： fault diagnosis;squared amplitude demodulation;frequency demodulation;discrete spectrum correction;modulation separation

作者簡介： 杨小青（1992-），女，博士研究生。电话：（020）87113220;E-mail：yangxiaoqingabc@foxmail.com

通讯作者： 何国林（1986-），男，博士，讲师。电话：（020）87113220;E-mail：hegl@scut.edu.cn