功率分流齿轮传动参数空间解域界及吸引域全局特性

林何　洪灵　刘霞　胥光申

摘要： 为揭示齿轮系统动力学全局解域特性，建立了功率分流直齿轮系统非线性振动模型，结合胞映射与区域分解思想构建了主要激振参数下的系统全局解域求解算法。求解了阻尼比分别与综合传动误差、啮合频率和齿侧间隙等参数配置下的平面解域界结构，揭示了两参量解域区内的动态行为潜在趋势，如倍周期分岔序列、混沌窗口带等的迁移演化。借助Lyapunov指数对不同误差幅值下分岔通道结构进行追踪，验证了分岔节点与解域界子域临界点相吻合。数值求解多组阻尼比下的吸引域全局性态，发现混沌吸引域与周期1吸引子吸引域间相互扩张与进退演变激烈，二者胞域边界处系统局部平衡态势异常脆弱;当阻尼比为0.04时吸引域行为相对敏感，多吸引子共存现象突出。其结果可为齿轮系统振动优化及参数全局设计提供参考。

关键词： 机械振动; 功率分流传动; 胞映射; 解域界; 吸引域

中图分类号： TH113.1; TH132.41; O322     文献标志码： A    文章编号： 1004-4523（2021）02-0235-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2021.02.003

引  言

在装备制造领域齿轮传动扮演了不可或缺的重要角色，特别在航空航天、新能源汽车、风电机组及高速轨道交通装备等国民经济重点行业，其需求更为强烈，其中，功率分流齿轮传动形式因其独特的结构布局在功重比及紧凑性等方面展现出突出优势，正越来越受到重视[1?2]。振动和噪声是衡量齿轮传动动态品质的显著要素，通常当系统运行至“不良”参数激振区，如间隙或时变刚度等的部分非线性激励响应带，系统的瞬态碰振或混沌倾向将显著增大[3]。实际中齿轮副的工作难以避免地遭受内、外部激励，反映在振动模型中即多参量间的作用最终诱发系统复杂动态反馈，如分岔、跳跃和混沌等。因此，全面地开展齿轮副传动工况因素的监控对合理预测或规避无规则振动尤为必要。刘镇星等[4]考虑了舰船摇摆环境下滑动轴承?齿轮副系统的动力学特性，观测到较小齿隙下摇摆引起的挤齿现象。魏静等[5]建立了针对齿廓修形与齿向修形时斜齿轮传动刚度与误差非线性耦合模型，分析了修形参数对系统动态特性的影响。Yang等[6]从轮齿裂纹扩展的角度，求解了裂纹尺寸对3自由度齿轮系统非线性振动的影响。现有齿轮系统模型动力学研究大都建立在单一参数激励通道下，因分析手段的差异，对实际多源激励的协同影响未能深刻揭示，同时响应结果的完整性呈现也受到局限。

胞映射思想最初由Hsu提出，用于离散空间域胞化求解，目前已扩展出插值胞映射、点映射?胞映射及广义胞映射图论法等诸多改进版本，兼顾可行性的同时效率与精度也不断提升。在非线性动力学方面，胞化离散不仅可对系统状态空间进行求解，还可从不同维度方向自由配置受关注的参数区，得到解域界细节[7?9]。解域界分析以区域离散技术为基础，结合胞映射揭示参数空间和状态空间特定目标域下的潜藏振动信息，对指导齿轮系统减振控制与动载优化具有积极意义。Kahraman和Singh借助Poincaré映射和相空间离散追踪了多组吸引子吸引域的共存行为[10]。Farshidianfar和Saghafi基于Melnikov方法数值计算了单对齿轮副在全局域中的同宿分岔和混沌迁移路径[11?12]，并对混沌参数带进行了综合性预测。林何等[13]采用解域离散与Lyapunov指数等工具获取了并车螺旋锥齿轮系统两参量平面上的解域界和倍周期分岔分布形态。在齿轮动力学领域[14?15]，各类啮合激励参数是与系统动态响应和振动行为息息相关的关联要素，借助解域界和胞映射可将系统多源激振参数间共同作用下的动力学行为整体性态从更广层面高效、详尽地完成解析。本文对功率分流齿轮系统开展全局特性研究以不同维度参数域和特定初值状态域为研究对象，解域界直观呈现系统受激响应振动变化趋势，在二维视角下揭示全局分岔与混沌路径，相空间吸引域信息反馈出啮合振动对初始状况的敏感依赖性，揭示吸引子共存及吸引域演化等全局性态。

2 全局解域特性

假定从动轮g_1，g_2几何结构与物理属性完全相同;主、从动轮齿数分别为32，105，转动惯量分别为0.003 kg·m2，0.197 kg·m2，模數为3，平均啮合刚度为k=7.8×〖10〗^8 N/m;输入扭矩T_0=188 N·m;阻尼比取ξ∈[0.01， 0.18];量纲一齿侧间隙取b∈[0.1， 0.4];量纲一啮合频率取ω∈[0.1， 0.5]。

2.1 参数空间解域界

将ξ和E构成的参数域划分为一系列规则矩形胞，各维度方向分割300个胞，以参数胞几何中心代表的数值实施计算。取ξ×E有限域[0.05，0.18]×[0.05，0.21]，得到参数解域界如图4所示，图中Pi代表周期态为i。解域界内部是由聚集的1，2，3，4和8周期的参数胞构成，这些参数胞预示着系统的稳态行为和态势。可以看出P1和P2状态参数胞占据了较大片域，具有良好的稳定性，后续的4周期胞历经短暂参数带直接转为8周期响应胞，再由8周期通道快速进入混沌域，这一过程与倍周期分岔规律相一致，同时也揭示了分岔通道的分布结构。当阻尼比增加到0.08时，解域界中出现了P3响应区，促使混沌区提前出现并呈扩大趋势。从ξ×E域中竖直方向可以看出阻尼比在从0.05增至0.18的过程中，周期状态间的转变更为显著，表明系统振动行为对阻尼比变化敏感。

从图4中选取E=0.1，ξ∈[0.05， 0.18]工况参数，由图5可知啮合运动在阻尼比减小时经历了倍周期分岔，依次出现1周期、2周期、4周期，…，混沌等转变;此后，混沌域内局部区再次生成倍周期分岔窗口，阻尼比的减小使啮合运动复杂化。混沌区响应的无规则性还导致了啮合副正反向振动，啮合位移存在负值，X>-1表明未产生齿背冲击。图6中两条最大Lyapunov指数曲线定量表征了周期区（λ_1<0）与混沌区（λ_1>0）的参数域范围以及振动的非线性强度，λ_1值越大表明非线性振动越强，λ_1曲线与分岔节点相吻合，二者共同验证了图4中解域界结果的准确性。

图7中解域界由ξ×ω∈[0.05， 0.18]×[0.2，   0.6]构成，域内1周期和2周期为稳定后的主要状态，其中ξ较大或ω较小时系统易趋向简单周期运动。1周期胞域内出现不稳定混沌，在阻尼比方向呈狭长带;随着啮合频率的增大，系统运动状态切换更频繁并最终转入混沌域，解域界直观细致地展示了系统状态的变化。图8为ξ和b构成的解域界，随阻尼比增大啮合振动变化层次性较明显，当b>0.2时，ξ在[0.07， 0.1]区间以混沌振动为主，该参数域界上边界胞较为光滑，阻尼比方向呈周期倍化演变且状态转换未出现周期性跨越，同时齿侧间隙相比阻尼比对系统状态改变的驱动性要弱。从ξ×b中分别取胞值（0.15， 0.3），（0.12， 0.3），（0.115， 0.3）和（0.08， 0.3），在图9中分别得到P1，P2，P4和混沌吸引子，与ξ×b解域界结果相一致。

2.2 状态空间吸引域

状态空间全局特性揭示系统在不同初值条件下长期运动趋势。在X×X ˙∈[-3， 3]×[-3， 3]区域内取400×400个正规胞，在图4混沌态子域中取ξ为0.1，E为0.205时测试吸引域性态（如图10所示）。全局域主要由1周期吸引域（空白区）和混沌吸引域（灰色区）构成，二者基本覆盖整个求解区，域边界光滑连续，域内外层次分明，两侧存在跳变的可能，因外层为1周期域，故域外胞稳定性更好。符号B表示域边界，即1周期吸引域与混沌吸引域的边界胞构成，总数量为2479，此时中心区域吸引域演变更为激烈，两吸引域间交错嵌入现象明显。计算知混沌胞的占比为40.36%，对比解域界图4知子域骤变会导致系统状态急剧转变，致使局部平衡态势异常脆弱，吸引子在受碰激发时极易趋向更稳定轨道上。

改变ξ至0.02时全局吸引域如图11所示，相比ξ为0.1时吸引域间更加嵌入，但主要敏感空间有所缩小，覆盖区由之前的[-3，3]×[-3，3]收缩至[-1，1]×[-1，1]，全局域仍以1周期域和混沌域构成，两者状态胞的数量分别为89760和71000，此时，两吸引域交錯更深且接触范围更广，表明低阻尼时系统响应状态是较敏感的，起始状态受干扰时易从一个吸引域转入另一个吸引域。

当ξ增大为0.03时（如图12所示），相空间中仅存在混沌域和P1吸引域，各吸引域均有向外发散扩充态势，混沌吸引域螺旋结构相较于ξ为0.02时更宽，结构趋向简单，各吸引域胞集变得更为集中，此时P1吸引子与混沌吸引子间相互转移敏感性下降，表明系统对初始条件具有更强的抗干扰能力。

进一步增大ξ为0.04，由图13和14可见混沌吸引域分布于4周期吸引域内侧，此时域边界分形特征清晰，这些镶嵌于4周期吸引域内部的初值将在稳态时促使系统收敛入混沌态。状态变化主要集中在4周期吸引域的外围，1周期吸引域在整个域中所占比达40.77%，混沌胞全局占比约10.97%，从动载特性角度知1周期具有更好的稳定性，因为其胞元构成区域相对集中且未出现其他散乱的高周期干扰胞。4周期吸引域范围内还出现了少量不稳定的2周期吸引胞，分布较为散乱，大部分散落在4周期域内部。由于存在4周期、混沌和2周期吸引子共存聚集，此状态域内系统更易出现波动，少量2周期胞在受激时易被吸引到临近的域内，促使原吸引子失稳再迁移。继续计算ξ为0.05时，发现阻尼比的增大迫使4周期吸引域加速退化，1周期吸引域和混沌域不同程度地扩张。可见阻尼比越大系统振动越易收敛到稳定的1周期上，即增大阻尼比可在一定程度上抑制齿轮系统发生多周期或混沌振动。

3 结  论

（1）基于区域分解技术与胞映射思想构建了齿轮系统参数空间解域界求解数值算法，并给出了其求解流程。

（2）解域界对混沌窗口带、分岔节点及子域边界等结构信息给出了准确预测，综合传动误差与阻尼比构成的解域界中模拟出了倍周期分岔序列演化发展历程。齿侧间隙与阻尼比构成的解域界中齿侧间隙相较于阻尼比对系统状态改变的驱动性要弱。

（3）解域边界处系统状态局部平衡较为脆弱，阻尼比增大，混沌吸引子吸引域不断退化，1周期吸引子吸引域进而扩张，全局吸引域边界分形特征趋向简单，增大阻尼比可抑制齿轮系统对初值条件的敏感依赖性。

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Global characteristics of basin of attraction and parameterized solution domain of power-split gear transmission

LIN He1，2，3， HONG Ling2， LIU Xia1，3， XU Guang-shen1，3

（1. School of Mechanical and Electrical Engineering， Xi'an Polytechnic University， Xi'an 710048， China;

2. State Key Laboratory for Strength and Vibration of Mechanical Structures， Xi'an Jiaotong University， Xi'an 710049， China;

3. Xi'an Key Laboratory of Modern Intelligent Textile Equipment， Xi'an Polytechnic University， Xi'an 710600， China）

Abstract： In order to investigate the global characteristics of dynamic solutions of gear systems， a nonlinear dynamical model of the power-split spur gear transmission is established， and the calculation algorithm regarding global solutions under main excitation parameters is deduced based on cell mapping method （CMM） as well as domain decomposition method （DDM）. Parametric planar solution domains constructed by damping ratio respectively with synthetically transmission error， mesh frequency and backlash are computed， and the potential global evolution behaviors within solution domains are exhibited， such as period-doubling bifurcation cascades， chaotic window zones. The bifurcation routes inside solution domain with respect to varied error magnitudes are tracked by applying largest Lyapunov exponent， which demonstrate that bifurcation nodes are in consistent with the subdomain boundary points presented in parameterized solution domain. By numerically calculating the global behaviors of the basin of attraction under multiple damping ratios， it is shown that mutual expansion and retrogression between the chaotic basin of attraction and the period 1 basin of attraction are remarkably， and the local equilibrium of the cells nearby the boundary is extremely unstable. The basin of attraction is sensitively while the damping ratio reaches 0.04， and multiple attractors coexisting phenomenon exhibits significantly. The result could provide references for vibration optimization or even global design of dynamic parameters for gear system.

Key words： mechanical vibration; power-split gear transmission; cell mapping method; parameterized solution domain; basin of attraction

作者簡介： 林  何（1985-），男，副教授。电话：（029）62779107;E-mail： linhe@xpu.edu.cn

通讯作者： 胥光申（1964-），男，教授。电话：（029）62779109;E-mail： xugs988@126.com