高中物理“等时圆”模型及应用

蒋鑫

[摘   要]“等时圆”是高中物理的经典模型，在各类测试中出现频率较高，为使学生牢固掌握该模型，并能灵活应用，教师在教学中应做好对等时圆模型的推导、分析，使学生掌握结论，更理解结论的本质，从而提高学生的应用能力。

[关键词]高中物理;等时圆模型;应用

[中图分类号]    G633.7        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）02-0055-02

“等时圆”模型是高中力学中的重要模型之一，相关问题情境复杂多变，很多学生由于不知道该模型，因而在解答相关问题时浪费了大量的时间，甚至出错。教学中，教师有必要对该模型进行深入探讨，帮助学生理解该模式并能应用该模型解决问题。

一、“等时圆”模型的引入

如图1所示，在竖直圆环上的最高点A处放置一物体，使其分别沿着光滑轨道AB、AC、AD下滑，其中AB为圆环的竖直直径，物体沿AB、AC、AD轨道下滑的时间分别为t1、t2、t3，试分析下滑时间t1、t2、t3的大小关系。

设圆环的直径[AB=d]，轨道AD与AB的夹角为[θ]，由几何知识可知轨道AD的长[l=dcosθ]。物体沿着轨道AD下滑时，加速度[a=gcos θ]。由[l=12at2]，可得t=[2la]=[2dg]。可知物体下滑所用的时间与轨道的长短、与竖直方向的夹角无关，即t1=t2=t3，该模型即为“等时圆”模型。

二、“等时圆”模型的分析

“等时圆”模型推导的难度并不大。该模型还包括另外两种情境。情境一：物体在竖直圆环上的最高点沿着不同的光滑轨道运动至圆环的低点，所用的时间相等;情境二：物体沿不同光滑弦上端，由静止下滑到最低点所用的时间相等。

为保证学生在解题过程中能够灵活应用该模型，教学中应设计相关问题，鼓励学生思考、解答，引导学生深入认识该模型，明确模型结论成立的条件。

问题1.一定是最高点和最低点吗？

“等时圆”模型中最高点和最低点至少需满足其中一个，教师可引导学生寻找圆的一条直径进行分析。

问题2.一定是光滑轨道吗？

推导“等时圆”模型时杆是光滑的。如果物体运动过程中所受的摩擦力不能忽略，不难推导出物体运动的时间t与轨道及竖直方向的夹角相关，且夹角越大，所用的时间越小。具体表达式可由学生自己推导。

问题3.物体的初速度一定为零吗？

假设物体从最高点运动时的初速度不为零。设初速度为v0，圆环的半径为R，物体沿圆环直径运动的时间为t1，沿着轨道AC运动的时间为t2，则由运动学知识可知[2R=v0t1+12gt21]，[2Rcosθ=v0t2+12gcosθt22]显然其运动的时间并不相同。

问题4.不满足“等时圆”模型能应用其结论吗？

高中物理习题灵活多变，解题思路也多种多样，解题时应具体问题具体分析，部分习题虽然不满足“等时圆”模型成立的条件，但可通过添加辅助线间接应用。

教学中通过设置上述问题，要求学生思考，使学生对“等时圆”模型的认识更为深刻，并得出以下结论：其一，模型中的圆环可以是真实的事物，也可以是不存在的，相关点只要与模型中的情形一致，即在相关的圆上即可。其二，物体由静止开始运动，且运动轨道是光滑的。

三、“等时圆”模型的具体应用

1.等时圆模型的基础应用

讲解“等时圆”模型知识后，为使学生感受该模型在解题中的具体应用，提高学生应用该模型的能力，教学中应注意设计相关的问题情境，并给学生预留一定的时间，让学生从“等时圆”模型获得启发，尝试寻找解题思路。

[例1]如图2所示，一长坡与水平面的夹角为30°，其上有C、O、B三点，且满足CO=OB=10 m，在O点竖直固定一长10 m的直杆AO，A端与C点间和坡底B点间各有一光滑的钢绳，且均穿有可视为质点的钢球，将两球从A点由静止开始运动至各绳的末端，则小球在鋼绳上运动的时间tAC、tAB分别为（g取10 m/s2）（）。

A.2 s和2 s     B.[2 ]s和2 s

C.[2] s和4 s D.4 s和[2 ]s

分析：该题如采用常规做法，需要找到角度之间的关系，较为复杂。事实上，通过认真审题可知A、B、C三点共圆，且A点为圆的最高点，因此可采用“等时圆”模型解答。解题中绘制过点A、B、C的圆，直接运用“等时圆”模型解答。由“等时圆”模型可知，两个小球达到各自绳末端的时间相等，均为t =[2dg]，根据题给数据可知圆的直径d=20 m，则t=2 s，正确答案为A。

2.等时圆模型的延伸应用

部分习题看似与“等时圆”模型没有关系。但可根据“等时圆”模型中的相关结论进行辅助分析。教学中为使学生能够活学活用，可设计与“等时圆”模型较为接近的习题，要求学生根据自己的理解作答，检验学生对“等时圆”模型的理解程度及应用能力。

[例2]如图3所示，一竖直放置的光滑圆环轨道与水平面切于点M，与竖直墙切于点A。竖直墙上的B点与M点的连线和水平面成60°，C为圆环的圆心。某一时刻从A、B两点由静止释放a、b两个小球，使其分别沿着轨道AM、BM运动至M点，c球从C点自由下落至M点，则（）。

A.三个球同时达到M点B. a球最先到达M点

C. b球最先到达M点  D. c球最先到达M点

分析：题目中给出的A、B、C三点并不共圆，因此不能直接用“等时圆”模型解题。但解题时可在该模型的基础上进行分析，以提高解题效率。因B点并不在圆环上，其长度大于其所在的弦，由“等时圆”模型知a小球比小球b先达到M点，a小球到达M点所用的时间ta=[2dg]。小球c做自由落体运动所用的时间tc=[dg]，显然c球先于a球到達M点，三个小球到达M点所用的时间大小关系为[tb>ta>tc]，正确选项为D。

3.等时圆模型的强化应用

为打破学生对“等时圆”模型的思维定式，可设计一些较为新颖的习题，要求学生巧妙应用“等时圆”模型分析解答，即将物体在圆环弦上的运动转化为自由落体运动，从而判断其运动时间的长短。

[例3]如图4所示，在竖直面内有一圆环，OD为水平线。圆周上有三根互成30°的光滑杆OA、OB、OC，每根杆上各套着一个小球，将这些小球从三根杆的顶端分别下滑至O点，所用的时间分别为tA、tB、tC，则其关系为（）。

A. [tA=tB=tC]   B. [tA

C. [tA>tB>tC]     D.无法确定

分析：认真审题可知O点并不是圆的最低点，无法直接使用“等时圆”模型，但可间接使用，即作出如图5所示的辅助线。其中[BB']、[CC']和圆分别切于点B和点C，将其转化到同一直线上，则由“等时圆”模型可知，小球从OB、OC下滑时所用的时间满足tOB = [tOB']，tOC = [tOC']，又因为小球做自由落体运动时[tOC'>tOB'>tOA]，因此，tA、tB、tC之间的关系为[tA

4.等时圆模型的拓展应用

高中物理教学中，为了提高学生运用“等时圆”模型，灵活解答物理问题的能力，应注重创设难度稍大的问题，对学生进行拓展训练，使学生能够把握“等时圆”的本质，并能融会贯通。

[例4]如图6所示，在同一竖直平面内离地面高H的定点P到半径为R的定圆的水平距离为L，从P搭建一条光滑轨道到定圆的圆周上，现使物体从P点释放后沿轨道下滑到定圆的时间最短，求该轨道与竖直方向的夹角（H与L满足题设要求）。

分析：该题是“等时圆”模型的拓展应用，难度较大。解题时根据“等时圆”模型，以P为“等时圆”的最高点作出一系列半径不同的“等时圆”，使得轨道末端均落在对应等时圆的圆周上。如图7所示，物体沿着轨道PM下滑所用的时间最短，设PM与竖直方向的夹角为α，由几何知识不难得出：[tanα=QD/DP=L/H]，则[α=arc tan（L/H）]。

“等时圆”模型是高中物理的重要模型之一，将其结论应用于解题，能很好地提高解题效率，因此教学中教师应与学生一起分析、推导该模型的结论，尤其通过设计相关的问题，进一步加深学生对该模型的认识，提升应用能力。

[参考文献]

[1]  刘佃庆.简谈高中物理模型教学研究和实践[J].中学物理教学参考，2019（22）：8-9.

[2]  马治广.核心素养视角下物理模型的建构[J].物理之友，2019（11）：35-36+38.

[3]  陈利.在高中物理教学中把握好物理模型与数学模型的转换[J].科技经济导刊，2019（30）：171.

[4]  仇德霞.关于高中学生建构物理模型的教学策略分析[J].才智，2019（27）：168.

[5]  陈锋.高中物理模型的构建及其教学策略[J].湖南中学物理，2019（9）：36-37+40.

[6]  凌剑荣.物理模型在高中物理教学中的构建与运用研究[J].教育观察，2019（25）：135+144.

[7]  王鹏.重视物理模型 求解物理问题[J].中学物理教学参考，2019（14）：36.

（责任编辑 易志毅）