借力数学实验 培育几何素养

陈银 姚俊俊

【摘 要】作为数学教学中的重要内容，几何课程越来越受到大家的关注，学生的几何素养也逐渐进入公众视野。本文从借力数学实验入手，在单一结构中丰富几何概念，在关联结构中理清几何关系，在拓展结构中应用几何模型，切实培育学生的几何素养。

【关键词】数学实验 几何素养

“图形与几何”作为数学课程四大领域之一，占比仅次于“数与代数”。由于几何内容的高度抽象性，以及几何学习缺少几何实验、想象、推理与建模等诸多原因，使得几何内容成为数学教学的难点之一，学生几何素养的培养堪忧。这里所说的几何素养是指面对不同形式的几何对象，尝试选择合适的几何知识来解决实际问题中所表现出的一种几何综合性的能力。如何让学生的几何素养丰厚起来？我们倡导的数学实验课能较好地促进学生几何素养的提升吗？由于数学实验注重几何操作、想象、实践等直观动态活动，能有效促进学生对几何概念、几何关系、几何模型等丰富表象的动态认知，获得空间观念，进而让学生的几何素养丰厚起来。

一、借力数学实验，丰富几何概念

小学是几何学习的起步阶段，由于几何的概念比较抽象，因此，小学阶段教师应尽量帮助学生理解每一个几何概念的内涵，学生有了正确的概念才会有正确的数学思维。教师可以用多样化的方法解释原理，帮助学生理解、巩固几何概念，充分明白每个实验的目的。

例如，在教学“认识四连方”时，学生除了要掌握5种基本形式，在数学实验课中，教师还要关注学生灵活进行拼组，体验图形的运动变换，进一步发展有序思考的能力。将“L”型放进九宫格中，共有多少种不同的摆放方法？将所有的摆放方法罗列出来需要学生观察五连方“L”型的几何特征，有一个小正方形比较突出，将“L”型拆分成3+1的图形。多次实验后，学生发现可以采用拆分—定位—组合的方式，先确定突出的1个正方形的位置，再把3个正方形进行组合。其中，在确定突出的1个正方形的位置时，方法也是多样的，可以直接进行翻转、旋转、平移，也可以跟九宫格中的数字进行结合，突出的1个正方形放在九宫格中数字1的位置有2种方法，数字2两种方法，以此类推，发现每个数字都有两种放法，但是数字5无法摆放，因此也可以用算式2×9-2=16（种）来解决（见图1）。

四连方的实验原理就是找准四连方的几何概念，通过开展系列活动，进行分类整理，学生有了初步感知，了解每个实验背后的深层原理，掌握几何特征，从而学会辨析问题的实质原因。蔡金法教授发现学生的操作性实践经验要比数学语言、数学符号等抽象思维经验更直观，而数学实验鼓励学生大胆提出猜想与实践，有利于将抽象的几何知识具体化。教师可以利用数学实验的特点，引导学生透过现象看到问题的本质，知道几何概念产生和发展的来龙去脉，从而真正起到培育学生几何素养的效果。

二、借力数学实验，理清几何关系

小学数学的知识结构是相关联的，因此在数学实验课中对几何概念进行深刻理解以及加强概念之间的联系，通过将单一结构中零散的几何概念进行关联分析，使几何的内涵和外延不断丰盈，从学习开始时由外而内的结构理解，到由内而外的关联生长。传统的数学课遵循阶段目标，每个阶段的知识点是固定的，而数学实验课打破了常规的知识结构，依据学生的学习需求，在设计教学目标时并不仅仅局限于在某年级的重点知识点上，而且关注发展目标，从学生的主体出发，将知识点形成点状网，从整体上建构几何知识。

推理能力的发展对于理清几何关系起着非常重要的作用，无论是数学，还是学习、生活中经常使用的思维方式都是推理。几何关系推理的过程是揭示几何内在多种关联关系，发现几何对象之间本质关系的过程。推理能力的发展贯穿于整个几何学习过程中，包括合情推理和演绎推理，合情推理用于探索思路，发现结论;演绎推理用于证明结论，这两种推理相辅相成。

例如，在学习《观察物体》一课后，学生已经会从不同角度观察物体，教师要进一步培养学生的推理能力可以这么做：从正面和右面这两个角度观察同一个物体看到的形状，你能想象出这是一个什么样的立体图形吗？最少用几个小正方体？

学生经过一步一步推理，发现3行3列中，只要每一行和每一列都只有1 个小正方体，就能保证不管是從正面看还是从右面看，看起来都有3个小正方形。

实验过程中通过观察发现正面、右面观察都是3个正方形，进行比较分析共同的特点，抽取其本质几何属性，尝试推理出不同的摆放方法（见图2），实验验证推理是否成立。推理能力的培养需要学生在实验中不断积累成功或失败的经验，这些经验在之后的数学实验探索中会逐步形成能力，促进学生的发展。在厘清几何关系中需要综合各种数学信息，建立起多维度的几何网络，探寻几何对象间的关联，发展学生对几何关系的推理能力。

三、借力数学实验，建立几何模型

数学教育家波利亚曾经说过：“数学就是教会学生如何去思考。”学生在合作交流中，分享了学习经验;在质疑批判中，建构了模型;在补充理解中，几何素养进一步提升。模型思想的渗透应该贯穿整个几何教学的始终，数学建模的过程充满挑战，引导学生从实际情境中进一步抽象出数学问题，构建基本几何模型，在寻求结果、解决问题的过程中不断拓展模型应用。

1.几何建模——在问题情境中建立基本模型

建模是一个综合性的过程，教师引导学生对现实情境进行抽象并概括，在整个建模过程中培养学生多方面的能力，不仅仅是知识与技能，更多的是让学生掌握数学思想方法，积累活动经验，情感态度等方面也得到了培养。

例如，研究“长方形周长的变化”时，实验要求是长方形边上剪掉若干块长方形后，周长发生改变了吗？学生首先要了解长方形周长的概念，剪掉若干块后，变成不规则图形，求不规则图形周长的过程中发现与原有长方形周长之间的联系，通过平移发现周长的变化，学生需要了解实验问题，明确初始条件和最终目标，从而建立基本模型（见图3）。

2.模型应用——在解决问题中加深模型理解

建模之后，学生需要在实际生活中体会模型的作用，灵活选择模型，而不是简单地重复或者生硬地套用，突出解决实际问题的思维过程，并进行大胆的猜想，进一步分析思维过程，加深学生对数学模型的理解，从而促进数学模型的内化。

例如，利用一张白纸通过不同的方式转变成不同的立体图形，并比较体积的大小。已知长方形长是18.84cm，宽是12.56cm，你能想办法围成一个圆柱体吗？体积是多少呢？不同层次的推理能力展示的结果也是不一样的。

实验结果1，不剪开，直接围。通过沿着长方形的长或宽卷一卷得到圆柱体（见图4）。

实验结果2，剪一次围成圆柱体。竖着剪平均分成两份围成圆柱体，横着剪平均分成两份围成圆柱体。

实验结果3，按照竖剪、横剪的分类有序思考，围成的圆柱体的体积也有规律可循。竖切后再进行拼接，竖切等分的份数越多，如果“左右”围成，则圆柱的底面半径越来越短，高越来越长，体积越来越小;如果“上下”围成，则圆柱的底面半径越来越长，高越来越短，体积越来越大。横切后再进行拼接，如果“左右”围成，则圆柱的底面半径越来越长，高越来越短，体积越来越大;如果“上下”围成，则圆柱的底面半径越来越短，高越來越长，体积越来越小（见图7、图8）。

学生经历平面图形到几何立体图形的形成过程，通过问题解决、模型建构，发现不同的方式可以得到不同的立体图形。学生对几何模型构建的过程体验是深刻的，探究学习更加真实，探究的结果也更加科学，记忆也就更深刻。在尝试中积累经验，从而真正理解几何知识。从最贴近学生生活的素材选取数学模型，能充分提升学生的学习兴趣，生活中的原型作为学习素材，会让学生感到很熟悉，也很新奇，以解决自己的问题作为新知探索的动力。在尝试中学会几何知识，从不同角度进行分析，灵活运用所学知识解决问题，在这个过程中，学生能更清楚地认识到生活中的几何图形，感受到数学与生活是密不可分的。

小学生的几何素养发展十分重要，它影响着几何学习乃至其他任何学科的学习，数学实验课促使学生有机会亲身体验知识的建构过程。教师要搭建数学实验与几何学习之间的桥梁，在具体情境中学会合理提取适当的概念，进行深层次思维的数学猜想和验证，引导学生沟通操作与思维之间的联系，从而学会思考，切实提高几何素养。