解析法求解2020年高考全国理综Ⅰ卷第18题

吴迎春 张晓明

摘 要：针对2020年高考全国理综I卷第18题，综合运用平面解析几何、平面坐标变换和确定极值问题的数学方法，提出了解析分析和求解带电粒子在有界匀强磁场中运动时间问题的一种方法.在原题的基础上，将部分磁场边界推广为具有任意半径的半圆形，利用所提出的分析方法，得到严格的解析结果.

关键词：有界磁场;带电粒子;极坐标方程;极值;解析法

中图分类号：G633.7 文献标识码：B 文章编号：1008-4134（2021）03-0060-02

基金项目：教育部高等学校教研究项目“大学物理问题探究教学模式的深入探索与实践”（课题编号：DJZW201927zn）.

作者简介：吴迎春（1984-），女，安徽黄山人，硕士，中学一级教师，研究方向：中学物理学科教学;

张晓明（1978-），男，山东临朐人，博士，副教授，研究方向：理论物理.

带电粒子在有界均匀磁场中的匀速圆周运动问题既是“磁场”部分教学内容的重点，也是高考考查的热点.通常情况下需要学生借助作图找到解题的必要条件，再利用平面几何方法分析和处理[1-2]. 正确的精准作图和全力找出边、角几何关系式，是求解本类问题的难点.2020年高考全国理综Ⅰ卷第18题，以求带电粒子在磁场中的运动时间为考点再次呈现这类问题.本文以此题为例，采用极坐标和确定极值的初等数学方法[3]，提出了利用平面解析几何方法分析求解此类问题的思路.

此题的物理情境也给笔者一些启示，进一步设计将原题部分磁场边界推广为具有任意半径的半圆形，用本文提出的解析方法，得到了更为一般的解析结果.笔者期望这些研究将有助于拓展教学思路和丰富相关的教学内容，提升学生综合运用数学知识解决物理问题的能力.

（2020年全国理综Ⅰ卷 18题）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图1中虚线所示，ab为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径.一束质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率.不计粒子之间的相互作用.在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为

A.7πm6qBB.5πm4qBC.4πm3qBD.3πm2qB

分析：在匀强磁场中，带电粒子仅受到洛伦兹力的作用，做匀速圆周运动.根据牛顿第二定律qvB=mv2r，由T=2πrv可得带电粒子在匀强磁场中的运动周期为T=2πmqB，即在同一匀强磁场中，质量和电量均相同的带电粒子做匀速圆周运动的周期与其运动速度大小无关.利用比例关系可知，当带电粒子在磁场中做匀速圆周运动所对应的圆心角为θ时，粒子运动时间为t=θ2πT=mqBθ ，即粒子转过的圆心角越大，用时越长.

1 用解析方法对原题的解答

以入射点c为坐标原点O，建立二维直角坐标系，如图2所示.由上述讨论可知，不同速度的带电粒子在y<0区域内运动的时间相同，均为t1=πmqB，故只需求解在半圆ab与Ox轴所包围的区域内带电粒子运动的最长时间t2，二者相加的结果即为本题的正确选项.

在Oxy坐标系中，设半圆ab的圆心坐标为2R，0，半径为R，半圆ab区域磁场边界的方程为

（x-2R）2+y2=R2 （1）

设带电粒子进入半圆ab磁场区域运动时的轨道半径为r，则其运动轨迹的圆心O′的坐标为（r，0），其运动轨迹方程为

（x-r）2+y2=r2 （2）

由式（1）和（2）可得两圆交点所满足的方程

2xr-4xR+3R2=0 （3）

以（r，0）为极点，O′x和θ分别为极轴和极角，建立极坐标系，有x=r（1+cosθ），将其代入上式，得

2（1+cosθ）r2-4R（1+cosθ）r+3R2=0（4）

解得

cosθ=3R22（-r2+2rR）-1=3R22f1（r）-1 （5）

其中f1（r）=-r2+2rR=a0r2+b0r+c0，这里a0=-1<0.利用抛物线开口向下求极值的公式可知，当r=-b02a0=R时，f1（R）=4a0c0-b204a0=R2为最大值，cosθ=12为最小值，而圆心角取最大值θm=π3.由此可得带电粒子在半圆ab磁场区域运动的最长用时为t2=mqB·π3，在磁场中运动的最长用时为 t=t1+t2=4πm3qB，即为选项C.

利用上述解析方法，我们还可以从理论上解释“放缩圆”定性分析此题的结果[4].由（5）式可看出，“放缩圆”所刻画的运动圆轨道半径r在R逐渐增大到1.5R的过程中，cosθ先减后增，θ先增后减，临界半径r=R与最大圓心角所对应.

2 将原题中的半圆形磁场边界推广为任意半径

高考试题不仅具有考查学生对本学科知识的理解、掌握和综合应用能力的功能，而且透过试题对我们从事相关教学的教师也有很好的引领和启发作用[5].受此启发，若将原题设定的“ac间的距离等于半圆的半径”条件稍加推广，设定这两者之间为任意的倍数关系，即 R=αac___=αD，其中D为ac间的距离，α取正实数.笔者期望从一般的相关长度条件出发，保持原题的设问不变，总结出这类问题的规律性.下面仅做简单的分析和讨论.

磁场边界的方程改写成

[x-（D+R）]2+y2=R2（6）

由（2）和（6）式，得

2xr-2x（D+R）+D（D+2R）=0（7）

引入极坐标后，有x=r（1+cosθ），代入（7）并整理得

1+cosθ=D（D+2R）2（-r2+（D+R）r）=D（D+2R）2f2（r）（8）

同样利用二次函数最大值的解法，可得：当r=r*=D+R2时，f2（r*）=（D+R）24，而cosθ所取的最小值为

cosθ=1-2R2D+R2=1-2α21+α2=1+2α-α2（1+α）2（9）

结论：当轨迹圆的圆心和半径分别为（D+R2，0）与D+R2时，获得最大圆心角;圆心角由（9）确定;当α=1时，cosθ=12，θm=π3 ，即回到原题欲求的最大圆心角（求时间的步骤略）.

综合平面解析几何、极坐标和初等数学求极值等方法，将其运用到解决带电粒子在磁场中运动时间的问题上，不仅得到严格的解析结果，而且还可以对“放缩圆”方法得出的定性结果给出定量的解释.平面解析几何中圆的知识为高中数学必修，在学生已掌握的情况下，结合实际物理问题的运用，更有利于学生综合能力的提升.

参考文献：

[1]李玮.同源带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界极值问题[J].中学物理，2020，38（13）：63-65.

[2]李玮.妙用“连心线”巧解“带电粒子在圆形磁场中的运动”问题[J].中学物理，2020，38（07）：64-65.

[3]陈泽，陈娜娜.高考物理压轴题中极值问题解法的研究[J].物理通报，2013（11）：92-94+97.

[4]张磊.借助数学方法巧解2020年高考全国Ⅰ卷第18题[J].中学物理，2020，38（15）：51-52.

[5]教育部考试中心.中国高考评价体系[M].北 京：人民教育出版社，2019.

（收稿日期：2020-09-28）