依托课堂对话促进问题解决

【摘要】随着全球信息化向纵深发展，记忆、程序等低阶思维逐渐被人工智能所替代，高阶思维的培养已成为各国共识的教育目标之一.教师在课堂对话的预设中应关注数学意义的建构.课堂对话中要以问题与变式为驱动力推动学生思维进阶;问题设计中要将抽象的数学知识与鲜活的现实生活建立联系;问题解决中要学会倾听与及时评价，敏于捕捉课堂生成性的关键信息，在生生交流中发展求异思维.

【关键词】课堂对话;问题解决;高阶思维;圆的面积

高阶思维是发生在较高认知水平层次上的心智活动或较高层次的认知能力，按照布鲁姆教育目标分类体系，依据认知的复杂程度从低到高划分为记忆、理解、运用、分析、评价和创造六个层次，其中分析、评价和创造称为高阶思维能力[1].课堂对话的教学形式有助于学生对数学的理解，提升高层次的思维水平与创新意识[2].因此，数学课堂对话应指向高阶思维，在课堂对话中促进学生良好思维品质的养成.

建构主义理论对课堂对话的预设有以下几点启示：一是教学方式从“灌输式”到“对话式”的转变，让学生积极自主地参与数学活动，达成对数学意义的建构;二是在课堂教学中，教师应创建与现实生活相关的数学问题情境，这样有利于学生在旧知上对新知进行意义建构;三是老师不是知识的“权威”，他应该是学生学习的指导者与合作者[3].从社会建构层面来看，学习的本质是一个社会对话的过程.学习是在课堂中进行的，课堂就是一个社会单位[4].因此，如何在师生和生生的交流、互动、批判、反思等过程中实现课堂的“社会建构”，促进学生问题解决能力的发展，成为本文关注的研究问题.1现状调查分析

现状调查分析采取了问卷调查法和访谈法，使用问卷调查法的研究对象是上海市某中学的六年级学生，共发放65份问卷，收回了65份问卷，其中有效问卷65份.使用访谈法的研究对象是该校部分六年级学生，笔者根据学号随机抽取了8位学生分别进行个别访谈.

据表1中的统计数据显示，在第1题中选择“有时这样”和“经常这样”的学生占比分别为44.62%和35.38%，说明教师会通过问题与情境推动学生的思考.第2题中有47.70%的学生选择“有时这样”，在第3题中有44.62%的学生选“有时这样”，这两题说明多数情况下教师给予学生之间的评价、讨论、对话的机会不充分.在访谈中学生说：“课上老师讲得比较多，提问也不少，有时是我们回答，基本上是一问一答，但有时因为时间紧老师就自己回答了，同学间讨论的机会比较少.”这说明虽然教师会通过课堂提问来促进学生思考，但追问与更深入的对话不足，甚至因赶教学进度而出现教师自问自答的现象，教师也没有给学生充分参与讨论的机会，不利于学生问题解决能力与高阶思维的培养.第4题和第5题中选择“有时这样”的学生人数最多，在访谈的8位学生中有4位在被问及“学习数学有什么用”时，他们的回答是“可以做题或参加考试”.可见一些学生被动地、应试地学习数学，缺乏“数学来源于生活，服务于生活”的体验，因此部分学生不会主动用数学的眼光观察身边世界.第6题和第7题的数据表明教师能对学生的回答作出及时反馈，在反馈中也注重肯定学生的作答，但在进一步的访谈中当谈及“教师一般是如何评价你的回答”时，有50%的受访学生表示：“老师对我的回答作出的反馈较多是对与错的简单评价”，还有学生提出：“希望老师能对课堂上我们的想法开展一些互动”，这些都表明教师虽然能够及时理答，并给予称赞或鼓励，但评价内容与方式较为单一，对课堂生成性的关键信息的评价与运用不足.

综合以上调查分析，可以得出目前六年级数学课堂对话中存在以下三点不足：一是课堂对话中一问一答的形式较多，生生对话与评价较少，学生参与课堂对话的深度、广度不够;二是课堂对话教学内容与现实生活的关联度不高，部分学生误认为学数学就是用来做题和考试的;三是教师对学生回答的反馈以简单评价为多，对课堂生成性的关键信息反馈较少.

2案例与评析

基于上述研究，本文以沪教版六年级第一学期4.3节“圆的面积”教学为例，谈谈在数学高阶思维视域下，以问题解决为导向，对课堂对话设计与设施的一些尝试与思考.教师在课堂对话的预设中关注数学意义的建构，在问题解决的过程中注重学生思维的进阶，根据学情与教学要求，精心设计问题情境和变式，并注重知识点间的关联，促进学生问题解决能力的发展.本文所指的课堂对话主要关注人的因素，即师生对话与生生对话.

2.1内容及其解析

本节课是“圆的面积”的第一课时，既是继圆的周长之后对圆的进一步研究，又是为后续学习扇形的面积打下学习基础，因此，本节课的学习内容具有承前启后的作用.从单元教学的角度看，第三章“比和比例”“百分比”等内容体现了部分与整体的关系，第四章第1节“圆的周长和弧长”和第2节“圆和扇形的面积”，都是整体与部分在几何上的具体体现与应用.因此，在本节课的问题解决教学中应体现知识点间关联以及整体与部分之间的关系.

《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》中指出“通过操作活动，对圆的周长和面积、弧长与扇形面积等计算公式形成猜想或进行验证;会用公式进行简单度量问题的计算”.因此，在本节课的教学中应当给与学生充分的时间和适当的工具，使其对圆的面积公式形成猜想和验证，并运用圆的面积公式解决一些简单的度量问题.

基于以上分析，确立本课的教学重点：圆的面积公式的理解与掌握;教学难点：圆的面积公式的探索与推导.

2.2学情分析

六年級学生尚处于小学到中学的过渡期，他们活泼好动、有很强的好奇心和求知欲.在小学，学生已认识了三角形、平行四边形和梯形，知道可以利用剪拼的方法把这些图形转化成长方形，从而推导出它们的面积公式.课前通过问卷调查得知，大部分学生知道圆的面积的意义及其公式，但不清楚该公式是如何得出的.在本节课的学习中，学生可能会遇到的障碍点是不知道如何分割圆，以及感悟无限逼近的思想.学生的兴趣点在于动手操作，将圆近似地剪拼为其他熟悉的图形.

因此，在本节课的问题解决教学中，通过学生感兴趣的动手操作，帮助学生建构对圆的面积公式意义的理解，同时，还应注重学生从分割圆到理解“无限逼近”的思维进阶.

2.3目标及其解析

1.通过类比—操作—实验—讨论，探索推导圆的面积公式，能运用公式解决简单的实际问题;

2.在操作实验与直观想象中，感悟“化曲为直、无限逼近”的数学思想;

3.在运用新知解决简单实际问题的过程中，提升应用数学的意识;通过小组合作交流，增强学习数学的兴趣与自信.

本课在目标设计中以课程标准为依据，以数学核心素养为导向.在圆的面积公式的探索与推导中着重培养学生的逻辑推理与直观想象;在运用圆的面积公式解决简单实际问题的过程中，旨在发展学生的数学抽象与数学运算素养.

2.4教学过程设计及其说明

本课的教学流程，如图1所示.

创设情境引入新知实践操作类比转化分享交流反思求变应用新知归纳小结图1

2.4.1创设情境，引入新知

上课伊始，教师先请学生回忆上一节课圆的周长公式，然后请学生猜一猜：“今天会学习圆的什么内容？”，并说一说“你是怎样想到的？”，接着教师创设了“羊吃草”的问题情境，从而引出圆的面积的概念.

问题情境用一根绳子将一只羊拴在草地上，如果绳子长6米，那么羊最多能吃到多少面积的草？

设计意图教师先让学生回顾了圆的周长公式，再请学生猜想今天学习的内容，目的是引导学生知道认识一个图形后，一般要研究它的周长和面积，这既为本节课圆面积公式的推导做知识储备，又强调了研究几何图形的通性通法.通过“羊吃草”的问题引出课题“圆的面积”，学生在实际问题中抽象出数学问题，使概念自然生成.

2.4.2实践操作，类比转化

在学生动手操作前，教师先提问学生：“我们已经学习过哪些图形的面积？”“它们的面积是如何推导的？”“这其中体现了什么数学思想？”，接着，学生利用圆形纸片、剪刀等工具在小组合作中探究圆的面积.在小组操作中，教师发现个别学生无从下手，于是提问“圆的面积与谁有关？”，学生回答：“半径”，教师追问：“那么你们在剪纸时可以怎么分割呢？”，此时学生豁然开朗“哦，沿着半径将圆剪开！”.

师生活动在操作实验中，不少小组将圆等分成了8份或16份，再将8份或16份相同的扇形重新拼成一个近似的平行四边形，教师请一组学生上台进行演示推导，其中学生讲到如果将圆等分的份数越多，那么这个图形就越像一个长方形，在学生经过直观想象并纷纷点头同意后，教师利用几何画板动态演示了圆被等分成32份、64份、128份等情形.

设计意图在探究圆的面积前，教师先请学生回忆之前已学图形的面积及其推导方法，学生们通过割补法将三角形、梯形转化成平行四边形再转化为长方形，求出它们的面积，感悟化归思想，笔者由此启发学生类比直线型图形的面积转化，将曲线型图形——圆通过小组合作、实验操作进行转化，在“做中学”中发展合情推理.教师在学生经过直观想象“如果将圆等分的份数越多，那么这个图形就越像一个长方形”后，再运用几何画板动态演示，通过问题链帮助学生在类比与演绎推理的过程中，将圆转化为直线型图形——长方形，并推导出圆的面积公式，促进问题解决.学生通过直观想象与课堂对话，体会“化曲为直、无限逼近”的数学思想.

2.4.3分享交流，反思求变

在巡视学生小组合作中，教师发现有些小组的学生尝试将等分的小扇形拼成其他直线型图形，于是教师抓住这一课堂生成性的关键信息，鼓励学生求异创新思维的发展.

师生活动教师请小组代表分享圆的面积公式推导的不同方法.图2

师：如何将圆拼成其他熟悉的图形，从而推出圆的面积公式呢？

师：同学们的想法真丰富！那么这些不同的方法都体现了什么数学思想？

生（多位学生）：转化的思想.设计意图在此教学环节中教师请不同小组的同学上台分享他们对圆的不同转化方法，并且说明他们是如何利用这些图形推导出圆的面积公式，在课堂对话中促进学生的演绎推理能力与用数学语言表达交流的能力.第五位同学的方法也给我们的教学带来启示，在几何学习时，包括教材呈现中，一般遵循先整体再部分的顺序，比如先学习圆的周长再学习弧长，先学习圆的面积再学习扇形的面积.那么逆向思维，能不能先部分再整体呢？这里第五位同学的证明正是从部分入手，先计算一个小扇形，看作近似的小三角形的面积，再计算整体圆的面积.可见，学生的不同思维在对话交流、反思求变中碰撞出了火花，在分享多种问题解决方案的过程中，学生学会互相欣赏、分析与评价，而这些创新思维的火花正是在教师捕捉课堂关键信息并进行深度课堂对话中产生的.

2.4.4应用新知，归纳小结

学生在运用圆的面积公式解决本课引入的“羊吃草”问题后，教师向学生展示了两道变式问题.

变式1如果把羊能吃到草的边界用铁丝围成一圈，已知一圈铁丝的长度为31.4米，那么羊最多能吃到多少面积的草？（π取3.14）

变式2在变式1的基础上，在铁丝外铺设宽为2米的环形路，请问铺设环形路的面积是多少？（π取3.14）

师生活动在变式2的问题分析中，教师请学生画出环形路的草图，在草图中学生发现要求圆环的面积，先分別求出大圆与小圆的半径，再用大圆面积减去小圆面积.在课堂自主小结中，学生说道：“通过这节课，我会推导圆的面积公式，可以把圆转化成已经学过的图形”“在推导圆的面积公式中，我体会到了‘化曲为直、无限逼近，还有各种不同的推导方法，觉得很神奇！”“学习数学可以用来解决实际问题，数学很有用处！”

师：今天我们通过动手操作将圆沿着半径剪开，在转化成直线型图形的过程中，同学们展示了不同的拼法，对此你还有什么问题吗？

生：如果不沿着半径剪开，是否也可以将圆转化成其他熟悉的图形？

师：这位同学的问题非常好！我们就带着这个问题在课后继续探究.图7

第二天，学生在查阅相关资料的基础上，给出了图7的转化方法，将圆形纸片剪成一个个同心圆环，再分段剪开，拼成一个三角形，其底为圆的周长，底上的高是圆的半径，运用三角形的面积公式可推出圆的面积公式.学生的学习积极性与兴趣被充分激发.

设计意图在两道变式中，教师引导学生运用圆的面积公式对实际问题进行数学抽象与建模，使学生认识到数学来源于生活，又服务于生活.由于一些学生以往的学习经验只局限于学了概念、公式，然后套用公式做题，导致这样一个错误的观点：学数学就是用来做题和考试的，教师希望改变这一观点，逐步让学生养成应用数学的意识.在课堂小结后，学生提出问题“如果不沿着半径剪开，是否也可以将圆转化成其他熟悉的图形？”，该问题将学生的思维从沿着半径把圆形纸片分割后的不同“拼”法，进阶、发散到对圆形纸片的不同“剪”法上，学生课后继续探究圆的面积的其他分割转化方法，发展求异思维，将课堂上的问题解决延伸到课后.由此可见，从分析问题、解决问题到发现问题、提出问题是一个循环往复的过程.有必要让学生经历这样的科学研究过程.

2.5教学反思

由于智力的形成与发展往往建立在动作技能的发生与发展之上[5]，因此在探索推导圆的面积公式的过程中，学生先通过动手操作，在师生对话与生生对话中建构了对圆的面积公式意义的理解，在直观想象中感悟“化曲为直、无限逼近”的思想，再辅以几何画板动态演示，从而化解了教学难点.学生对圆形纸片尝试不同方式的剪拼与转化，在问题解决与求异创新中，学生的高阶思维被充分调动.在运用圆的面积公式分析、解决实际问题中，发展了学生数学抽象与建模的思维能力，提升了应用数学的意识，落实了本课的教学重点.

不足之处是在实验操作中，有个别小组将圆等分得太细，导致在有限的课堂时间内未能完成推导.由于在学生动手操作后，教师将用几何画板动态演示圆被等分成32份、64份、128份等情形，因此教师如果能提醒学生等分圆的份数不宜超过16份，那么效果可能会更好.

3研究结论与反思

3.1研究结论

通过对“圆的面积”的分析可知，基于问题解决的课堂对话是培育高阶思维的重要载体.在高阶思维视域下，以课堂对话促进问题解决的教学设计需要考虑以下几个因素：

第一，课堂对话中要以问题与变式为驱动力推动学生思维进阶.教师应了解学生原有的学习经验与知识基础，根据最近发展区理论，运用富有探究性的问题与变式，调动学生学习的主观能动性[6]，让学生在师生对话、生生对话中经历知识的自然生成、建构与应用，发展分析、评价与创造思维.

第二，问题设计中要将抽象的数学知识与鲜活的现实生活建立联系，提升学生的问题解决能力.高阶思维的发展需要高阶学习任务的支撑[7]，数学高阶思维是在学生学习和应用数学知识、方法解决问题的过程中逐渐形成与发展的.要让学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界，需要基于现实世界的数学活动，在活动中提升分析问题、解决问题的能力.

第三，问题解决中要学会倾听与及时评价，敏于捕捉课堂生成性的关键信息，在生生交流中发展求异思维.对话不仅是一个认知的过程，还是一个情感交融的过程.要通过数学课堂培育学生的高阶思维，创设民主、平等、包容的课堂氛围十分必要，这样有助于学生在学习过程中，感悟数学的思想与方法，形成严谨求实、乐于实践、勇于创新的学习志趣.

3.2研究反思

本文在现状调查对象的选取上，由于时间和客观因素的限制，只选取了上海市某校的65位六年级学生，样本数较少，不能全面反映问题.所得的研究结论是否具有普适性，仍需作后续研究.同时，在高阶思维视域下，对不同问题解决教学课例的研究是笔者有待进一步探索的方向.

参考文献

[1][美]安德森.分类学视野下的學与教及其测评——布卢姆教育目标分类学（修订版）[M].蒋小平等译.北京：外语教学与研究出版社，2009：49-69.

[2]刘兰英.小数数学课堂师生对话的特征分析：上海市Y小学的个案研究[D].上海：华东师范大学博士论文，2012.

[3]刘力萍.初中数学对话教学的现状及对策研究[D].烟台：鲁东大学硕士论文，2018.

[4]徐冉冉，李丹杨，姚一玲，蔡金法.指向教学改进的“问题提出”数学教学[J].数学教学，2020（10）：1-8.

[5]周有英.培养学生探究能力的课堂教学研究——《圆的面积》教学设计与思考[J].数学教学通讯，2019（2）：22-23.

[6]胡军，李建华.学生数学高阶思维形成的路径探索及教学建议[J].教学月刊，2020（2）：3-7.

[7]杨辉.基于数学建模培育高阶思维——2018年美国高中生数学建模竞赛（HiMCM）B题点评[J].上海中学数学，2020（5）：35-38.

作者简介杨辉（1990—），男，中学一级，硕士.上海市第四期“双名工程”高峰计划攻坚课题组成员，同时主持上海市虹口区2019年度教育科学研究项目“高阶思维视域下的初中数学问题解决课案例研究”.发表论文多篇.