二阶变系数微分方程求解问题

延安大学数学与计算机科学学院 王金妮 杨 锐

函数是反映客观现实世界运动过程中量与量之间的一种关系，而在实际问题中的很多运动过程无法直接表示出变量之间的函数关系，因此，人们便建立了微分方程。众所周知，微分方程在基础数学、应用数学、物理学、力学及工程技术中都占有重要位置。

对于方程y''+p（x）y'+q（x）y=f（x），若p（x），q（x）为非常数且为连续函数，则方程为二次变系数线性微分方程；若f（x）=0，则该方程称为二阶变系数齐次线性微分方程；若f（x）不恒等于零，则方程称为二阶变系数非齐次线性微分方程。

对于常系数的线性微分方程的通解结论相对比较成熟，而目前仍然没有关于二阶变系数线性微分方程通用的求解方法，因此，二阶变系数微分方程的求解问题一直都是人们感兴趣的课题。

以下我们就用降阶法解一类特殊的二阶变系数微分方程。

一、降解法求解一类特殊的二阶变系数微分方程

（6）式即为一阶非齐次线性微分方程的解，同时也为所求的二阶变系数非齐次线性微分方程的解。

我们知道，一阶非齐次线性微分方程的解是容易得到的，方程（6）式的解为：

本文主要利用降阶法求解一类特殊的二阶变系数线性微分方程。首先，必须观察方程的特征，只有方程具备上述特殊类型的变系数微分方程，才能应用这种求解方法。其次，应用降阶法把二阶变系数线性微分方程的求解问题转化为一阶线性微分方程的解，重点就是构造系数函数，难点以及关键点是通过系数函数求出a（x）和b（x），最后利用公式即可求得二阶变系数微分方程的解。

事实上，降阶法解二阶变系数线性微分方程不具普适性，对于很多的二阶变系数微分方程的解法仍具有一定的局限性。二阶变系数线性微分方程还有更多解法，如：常数变易法，分离变量法，全微分法，算子解法等。在方程满足特定条件时，如果我们能够准确挖掘方程中隐含的条件，然后利用条件转化为熟悉的方程，就能够求出对应的二阶变系数线性微分方程的解。