一种SEIR传染病模型及其应用

◇成都师范学院数学学院 李 卓 代月红 杨晓芳

本文将人群分成易感者、暴露者、感染者、康复者四类，建立SEIR模型，并用MATALB进行数据分析和灵敏度探究，得到传染病分析的几大着手点，借助模型预测疫情发展趋势，并提出相应的抑制措施和有力的防控建议。

因其固有的广泛应用性，传染病的数学模型一直是研究热点之一。例如文献1借助数学模型分别研究了疫苗接种、媒体报道及治疗措施对传染病传播影响，文献2分析了一类SIR型传染病模糊控制数学优化模型。现目前，国际上普遍都遭受新型冠状病毒肺炎疫情的严重打击，国内也还或多或少受此疫情的影响。这引起了人们对传染病更空前的研究热情。例如，文献3就建立了合适的数学模型，并借助模型对重庆市新型冠状病毒肺炎（NCP）疫情分析与趋势进行了早期的一些应用SEIR模型对新型冠状肺炎的研究，数据在一定程度上有限，本文有效的克服了这一不足。本文先阐述SEIR模型，提出适当的修正，通过应用SEIR模型对四川省内的新冠肺炎疫情进行具体的分析，对国内外一些地区对于新冠肺炎疫情的防控安排、医疗物质分配等的具体措施提供一定的参考价值。

1 模型分析

SEIR模型具有很高的代表性，考虑也比前三个模型全面，此模型主要考虑易感者（S）、暴露者（E）、感染者（I）、康复者（R）这四大人群，这四个量都随着时间的变化而变化，在达到一定的时间后，各个群体都将趋于一个稳定的数值。

1.1 模型假设

在建立模型前，进行如下假设：

（1）暂时不考虑本地人口的出生和死亡，人口数量在研究时间段内保持不变。

（2）感病者在治愈后的有一定的免疫能力，但是不排除再被感染的情况。

（3）模型中的感染者一经发现，就会进行及时的隔离和治疗，没有与外界人员接触的能力；

（4）在达到一定的时间后，各个群体都将趋于一个稳定的数值。

1.2 SEIR模型的建立

经典的SEIR模型[4]将人群分为四大类，其中S为易感者（Susceptible），指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；E为暴露者（Exposed），指接触过感染者，但暂无能力传染给其他人的人，对潜伏期长的传染病适用；I为感病者（Infective），指染上传染病的人，可以传播给S类成员，将其变为E类或I类成员；R为康复者（Recovered），指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。如免疫期有限，R类成员可以重新变为S类。随着时间的推移，所有的人群都将成为康复的人群。表示感染率，为潜伏期的康复率，为患者康复率，为潜伏期的发病率。人群的转化关系如图1所示。

图1

2 实证分析

2.1 新型冠状病毒疫情简介

四川省新型冠状肺炎疫情的相关数据显示，该省最严峻的时间段是2020年1月到4月，但样本总体不大，后期经过严密部署，得到了很好的控制，现阶段四川省内疫情逐渐于平稳，随着复工复产等相关工作的开展，疫情防控工作依旧严峻。

2.2 数据来源

本文数据均来自四川省卫生健康委员会，从1月22日至4月30日每日发布的疫情官方数据[4]。

2.3 数值模拟

根据四川省卫生健康委员会每日发布的疫情官方数据，统计感染者、康复者、暴露者的数据，根据实际情况考虑易感者。四川省1月22日至4月30日每日发布的疫情官方数据，包括新冠肺炎确诊病例、医学观察病例、治愈病例。这些数据均为每日新增加人数，计算累计确诊的人数，得出相关的治愈比率。在对四川省新冠肺炎疫情现状进行简单的分析之后，对该问题进行数学建模，对比了几大传染病的数学模型：SI模型、SIS模型、SIRS模型和SEIR模型，在该模型中初始感染人口占比取0.01，初始健康人口占比取0.98，初始潜伏人口占比0.01，初始治愈人口占比取0，在疫情爆发后的一周内，四川省内暂无治愈病例，而且感染的人数和密切接触的人数还没有完全确定，因此初始各项数值占比例皆为暂时取值。根据四川省1月22日至4月30日每日发布的疫情官方数据，可以得到治愈人口占比达到0.99。感染的人口所占比例也在逐步减小，至2月份以来许多城市和地方的采取了一定的措施，封闭小区、暂时关闭超市等商铺，在一定程度上影响了上述四大群体的变化。SEIR模型在理想环境下会有一个更好的应用效果，理想环境是感染人群和普通群众充分混合的环境[5]，当下环境及时采取了小区封闭、商铺停业、区域隔离等相关措施，感染者群体（I）与易感者群体（S）接触机会较小，因此不能使用全省的人口进行相关数据处理以及数据分析。为了使SEIR模型同样的达到较好效果，该模型需要估计易感者（S）群体的所占比值 。通过数据分析、灵敏度探究并且考虑到四川省内新冠肺炎疫情防控近状，将[0 300],[0.01 0.98 0.01 0]带入，使用MATLAB编写SEIR模型的微分方程进行求解，最后作出可视化的结果。随着时间推移感染者（I）群体所占比例越来越小，最终会趋近于零，这是因为在潜伏期内暴露者从康复者在变为感染者群体过程中所占的比例远小于暴露者变为感染者的比例。

3 结语

本文运用四川省1月22日至4月30日每日发布的疫情官方数据，为了更好地展现SEIR模型的实际价值，将时间扩展到了300天，利用MATLAB进行图像绘制，能够更直观看到易感者（S）、暴露者（E）、感染者（I）、康复者（R）这四大群体所占比例的变化及相关趋势，从而可以为一些国家和地区提供新冠肺炎疫情防控措施相关的建议。从SEIR模型中，可以限制感染者（I）出行，减少或者隔绝与易感者（S）的接触；易感者（S）在正常的出行中应当做好相应的防护措施，避免成为暴露者（E）群体；感染者（I）变为康复者（R），医院可加强对最佳治疗方案的探究与论证，提高治愈率，定期对康复者（R）进行回访和相关检查；并且加大对疫苗研究的力度，提高核酸检测准确度，并且采用最佳的检测方案。在政府的大力倡导下，一段时间居家防控隔离措施，抑制疫情大面积传播，并且及时对感染者所接触过的人员进行密切的追踪和隔离，有效地防止了疫情的迅速增长。现阶段四川省内的疫情相对比较稳定，还是应当时刻警惕疫情反复，注意外防输入、内防扩散，继续做好相关的疫情防控工作。针对一些国外疫情波动较大的地区，能够做到以人为本，向中国政府学习，采取有效的疫情防控措施，为构建人类命运共同体作出自己的努力。