基于极限分析的三维边坡可靠度研究

2021-06-03张兆峰

能源与环保 2021年5期

张兆峰

(石家庄职业技术学院，河北石家庄 050081)

边坡的稳定性一直是岩石力学领域的一个重点。然而，由于边坡稳定性需考虑的因素极其的复杂性、土体材料的物理力学特性的难以确定，所以如何精确的评估边坡的稳定性一直是工程界的一个难点[1]。采用可靠度分析方法研究边坡稳定性是一种重要的发展趋势。李典庆等[2]基于随机响应面法对香港的某一边坡稳定性可靠度进行了分析。Tang X S等[3]通过改进的聚类分区法并将其应用在对边坡进行了可靠度分析中。Rathod G W等[4]结合极限平衡法和有限元分析讨论了岩质边坡的可靠度问题。然而，由于工程地质中存在的各种不确定性，土壤性质值的空间变异性影响土壤行为和岩土结构的性能[5]。然而，由于缺乏关于场地实际异质性的知识，空间变异性也增加了设计的不确定性[6-7]。这导致越来越多地使用概率方法来量化岩土工程评估中空间变异性和不确定性的影响[8-10]。边坡稳定性被认为是一种考虑空间变异性的应用。为此，通常使用各向同性相关结构在二维中对空间变异性进行建模[9-13]。然而，目前针对三维边坡可靠度的研究主要有2个问题：①采用有限元软件进行可靠度分析的计算量非常大；②理论推导过程安全系数公式大多为隐式。这两点增加了三维边坡可靠度研究的难度。经过对比，对数螺旋线破坏比竖直条分破坏机制计算效率更高，更适宜做可靠度分析，故本文基于对数螺旋破坏机制分析破坏模式，计算三维边坡安全系数，并采用蒙特卡罗法对三维均质边坡开展可靠度分析。

1 基于对数螺旋破坏机制

1.1 三维边坡极限分析理论

1975年，Farzaneh O等[14]在其著作“Limit Analysis and Soil Plasticity”中提出一种二维边坡旋转破坏机制。该机构将二维边坡视作刚体，假设其滑裂面为对数螺旋线，利用极限分析上限法推导出稳定系数的解析解，并编制计算程序求得其稳定系数

众多学者对三维边坡破坏模式进行了研究，其中Michalowski引入对数螺旋线圆锥破坏模式，对二维对数螺旋线模式进行空间扩展。虚功率方程为：

(1)

1.2 破坏机制的构建

破坏模式的构建如图1所示。

图1 三维边坡旋转破坏机制Fig.1 Mechanism of rotational failure of 3D slope

假设边坡发生失稳时，将以角速度ω围绕旋转中心O旋转，曲线AC是式(1)确定的对数螺旋线，为坡体的滑裂面，该曲线通过坡趾C。式(2)表示对数螺旋线A′C′，其确定了三维边坡滑坡体的上界，曲线AC与曲线A′C′相交于一点。

r=r0e(θ-θ0)tan φ

(2)

(3)

以O为原点向边坡体做射线OA，交曲线A′C′于A′，以AA′为直径沿垂直于纸面方向做圆，该圆以O为旋转中心进行旋转，直径渐变，为上述射线与曲线A′C′和曲线AC两交点确定的线段。圆围绕O点旋转与边坡体相交形成的曲面为三维边坡的滑裂面，整个旋转机构为螺旋锥体，按照相关联流动法则，其顶角夹角为2φ，整个滑坡体的上、下边界由式(1)和式(2)确定，至此，边坡的三维旋转机构构建完成。

对于任意的角度θ，其对应的旋转断面的圆半径为：

R=(r-r′)/2

(4)

所有旋转断面的圆心所形成的曲线方程为：

rm=(r+r′)/2

(5)

以每个断面圆心为原点，做如图1所示局部坐标系，边坡体内任意一点的速度为：

v=(rm+y)ω

(6)

该破坏机制可用于有宽度限制的边坡稳定系数的计算。对于无宽度限制的边坡，该破坏机制不太适用[15-16]。

2 结构可靠度理论

2.1 结构可靠度基本概念

将要研究的不确定性因素作为随机变量表示为向量形式X=(X1，X2，…，Xn)T，其可包括任何会影响计算结果的因素。则功能函数可以由极限状态及结构本有功能确立[17-19]：

Z=g(X)=g(X1，X2，…，Xn)

(7)

式中，Z为结构的功能；g(X)为功能函数。

当结构功能正常时，即Z>0时，结构处于可靠状态；当结构功能即将出现问题时，即Z=0时，结构处于极限状态；当整体结构或部分功能失效时，即Z<0时，结构处于失效状态，如图2所示。

图2 功能函数示意Fig.2 Function

2.2 边坡可靠度计算步骤

求解三维边坡的可靠度分为3个步骤进行。

(1)建立三维边坡安全系数求解模型。

(2)根据需要研究的问题确定随机变量类型，并指定其服从的概率分布函数。本文主要研究土体参数c、φ值的不确定性对边坡的影响，故将c、φ值作为随机变量。

(3)选取一种边坡概率模型，建立功能函数，计算边坡的可靠度。

3 三维边坡概率模型

3.1 蒙特卡罗法简介

蒙特卡罗法[20-21]是计算可靠度众多方法中的一种。它是一种通过统计学规律计算可靠度的方法。具体做法是：首先随机抽取N个随机变量样本，计算每个样本下的功能函数Z=g(X)，统计所有g(X)<0的样本数Nf，统计计算结果，结构的失效概率可表示为：

(8)

为满足一定计算精度，抽样数目N必须满足：

N≥100/Pf

(9)

3.2 三维典型边坡及概率模型

下面介绍本文边坡可靠度的计算流程：

(1)将土体参数c、φ值作为随机变量，利用MATLAB按照正态分布随机产生N组样本{(c，φ)1，(c，φ)2，(c，φ)3，…，(c，φ)N}。

(2)对每组生成的随机数计算安全系数。

(3)统计安全系数小于1的发生次数。

(4)计算失效概率，并计算可靠度指标β=Φ(1-Pf)。

具体计算流程如图3所示。

图3 边坡可靠度计算流程Fig.3 Flow chart of slope reliability calculation

3.3 对比分析

为验证本文方法的可行性，将可靠度计算结果与已有文献[22-24]进行对比。算例参数的取值以及计算结果的对比见表1和表2。

表1 模型参数Tab.1 Model parameters

表2 可靠度计算结果对比Tab.2 Comparison of reliability calculation results

通过综合对比可知本文计算方法的可行性，其中与吕杨[24]的计算结果最为相近。相比另外2篇文献，本文计算结果失效概率较小，因为三维边坡模型的安全系数会大于二维边坡安全系数符合实际，表明本文方法可行。

3.3.1 算例分析

本文算例选取选取图4所示的单级均质边坡。其中边坡H=25 m，坡表倾角α取60°，土体重度为20 kN/m3。参数选取见表3。

图4 典型边坡示意Fig.4 Schematic diagram of typical slope

表3 随机参数取值Tab.3 Random parameter values

本机基于蒙特卡洛法进行1 600次的计算，其频率分布如图5所示。

图5 COV(φ)=0.3、COV(c)=0.3时安全系数的频率分布Fig.5 Frequency distribution diagram of safety factor when COV(φ) = 0.3，COV(c) = 0.3

按照功能函数定义，当Z<0，即安全系数Fs<1时，边坡处于失效状态，故边坡失效概率为1.65%，可靠指标β为2.30。由图5可知，安全系数呈现类正态分布形态，大部分数值分布在1.50～ 2.38。

3.3.2 敏感性分析

在实际边坡工程中，试验测得的力学参数有时严重失真，可靠性差。因此，参数敏感性分析可以区分影响稳定性的主次因素。这种敏感性分析在成本分析和设计规划中是必要的。例如，对分析结果影响较大、敏感性较高的参数有必要投入更多的精力获取参数取值，反之，针对敏感性低的参数选用成本较低的测试手段以获取其参数取值。为进行参数分析本文将c、φ的均值分别取为90 kN/m、20°，参数变异系数可由式(10)确定：

(10)

使c、φ的变异系数从0.3变化到0.6，见表4。通过分别改变土体参数的变异系数，计算不同工况下边坡的失效概率，其频率分布如图6—图9所示。

表4 参数变异系数取值Tab.4 Parameter coefficient of variation

图6 COV(φ)=0.35，COV(c)=0.35时安全系数的频率分布Fig.6 Frequency distribution diagram of safety factor when COV(φ)=0.35，COV(c)=0.35

图7 COV(φ)= 0.4、COV(c)= 0.4时安全系数的频率分布Fig.7 Frequency distribution diagram of safety factor when COV(φ)= 0.4、COV(c)= 0.4

图8 COV(φ)= 0.45、COV(c)= 0.45时安全系数的频率分布Fig.8 Frequency distribution diagram of safety factor when COV(φ)= 0.45、COV(c)= 0.45

图9 COV(φ)= 0.6、COV(c)= 0.6时安全系数的频率分布Fig.9 Frequency distribution diagram of safety factor when COV(φ)= 0.6、COV(c)= 0.6

通过对不同变异系数取值情况下的安全系数进行统计，发现安全系数呈现类正态分布。为了确定安全系数的集中分布范围，剔除其前后各10%的取值，其分布见表5。

表5 安全系数集中范围Tab.1 Concentration range of safety factor

当COV(φ)=0.3时，计算结果表明安全系数的集中分布范围范围随着c值φ的变异性增大而增大。但当COV(c)=0.3，改变COV(φ)时，安全系数分布范围并不存在上述明显规律，证明了安全系数对φ的变异性相对不敏感。

由图10可知，当COV(φ)取值不变时，失效概率随着COV(c)的增加显著增加，可靠指标显著减小，说明边坡稳定性随着c值变异性增加而降低；同理当COV(c)取值不变时，失效概率随着COV(φ)的增加也表现为增加，但可靠指标小范围波动减小，同时表明边坡稳定性对内摩擦角φ的变异性敏感性较低；COV(φ)、COV(c)同时发生变化，可靠指标的叠加影响大于任意一个参数的单独影响。