广义Hietarinta-type方程的多lump解

袁 娜

(重庆电子工程职业学院，重庆 401331)

近年来，随着符号计算的发展[1-5]，人们开始关注lump解的相关理论。2015年，马文秀[6]提出了一种直接用Hirota双线性方法求lump解的方法，并给出了理论证明和推导，将lump解的研究推向了一个新的阶段。目前，许多研究者已经用这种方法成功地构造了多个高维非线性发展方程的lump解和相互作用解。这些解的研究对于数学、物理等领域的许多高维非线性问题具有重要的意义和前景。随后扎其劳教授将相关理论推广到了求可积方程的多lump解[7]。进一步丰富了lump解的相关理论[8]。

我们研究如下广义Hietarinta-type方程

γ1uyt+γ5uyy+γ3uxt+α2(3ututt+3vttuxt+uxttt)+γ4uxy+(γ2+6α1ux)uxx+α1uxxxx=0

(1)

其中u=u(x,y,z,t)=vxt=vxt(x,y,z,t)，α1，α2和γi(i=1,…,5)都是任意常数。α2反映了Hietarinta-type非线性项[9]。这个非线性项得存在导致了相应的Hirota双线性方程解中的常数项非常复杂。马文秀教授[6]构建了方程(1)的Hirota双线性形式，并且证明了一个Hietarinta-type四阶非线性项可以产生具有二阶线性色散项的lump解。然而到目前为止，广义Hietarinta-type方程的多lump解尚未有文献进行讨论。本文基于马文秀教授的工作，进一步研究广义Hietarinta-type方程的多lump解。

1 Hirota双线性形式

利用下列对数变换

u=2(lnf)x,v=2lnf

(2)

方程(1)有如下形式的Hirota双线性形式

(3)

其中

DyDt=2(ffyt-ftfy)

DxDt=2(ffxt-ftfx)

DxDy=2(ffyx-fxfy)

因此，方程(3)有如下等价形式

α1[ffxxxx-4fxxxfx+3(fxx)2]+α2(ffxttt-ftttfx-3ftfxtt+3fttfxt)+γ1(ffyt-ftfy)+γ2[ffxx-(fx)2]+γ3(ffxt-ftfx)+γ4(ffyx-fxfy)+γ5[ffyy-(fy)2]=0

(4)

可以证明方程(4)的解也就是方程(1)的解，这样的话我们只需要求方程(4)的解，然后代入对数变换(2)就可以获得方程(1)的解。

2 多lump解

为了获得方程(1)的多lump解，做变换

f(x,y,t)=f(ρ,y),ρ=x-ωt

(5)

此时方程(4)变为

-γ5(fy)2+ωγ1fyfρ-γ4fyfρ-γ2(fρ)2+ωγ3(fρ)2+3α1(fρρ)2-3ω3α2(fρρ)2-4α1fρfρρρ+4ω3α2fρfρρρ+f(γ5fyy-ωγ1fρy+γ4fρy+(γ2-ωγ3)fρρ+(α1-ω3α2)fρρρρ)=0

(6)

首先，我们来讨论方程(4)的1阶lump解，使用待定系数法，假设

f(ρ,y)=(-μ+ρ)2+θ0+(y-ν)2θ1

(7)

其中μ和ν是任意常数。将(7)代入(6)，提取ρ2，y2,ρy，ρ，y的系数令为零，可得

(8)

此时可得

(9)

将(9)代入变换(2)，可得方程(1)的1阶lump解

(10)

其中γi(i=1,…,5)，μ，ν是自由常数。

为了观察解(10)的动力学性质，我们可以取

γ1=α1=1,γ2=γ5=-1,γ3=γ4=μ=ν=0

将这些参数的值代入方程(10)，利用Mathematica软件，可得相应的三维图形和等高线图(见图1)。

同理，我们假设三阶lump解为如下表达式

f(ρ,y)=ρ6+θ10ρ4+θ11ρ4y2+(θ12+θ13y2+θ14y4)ρ2+θ15y2+θ16y4+θ17y6+θ18+2ρy(θ19+θ20y2+θ21ρ2)+2μυ(θ22+θ23y2+θ24ρ2)+ν2+μ2

(11)

图1 图中υ=ρ,(a)三维图形；(b)等高线图形

其中θi(i=10,11,…,24)是任意常数。将(11)代入(6)，提取ρ和y的各阶次幂和混合项系数令为零，可得

(12)

其中θ19和θ22是自由参数值。将(11)和(12)代入变换(2)，我们有

u(ρ,y)=2(lnf)ρ

(13)

为了观察三阶lump解(13)的动力学性质，我们可以取

γ1=α1=θ22=1,γ2=γ5=θ19=-1,γ3=γ4=0,μ=ν=10

将这些参数的值代入方程(10)，可得

u(ρ,y)=(4(10-12yυ+3y4υ+6y2(5+15υ+υ3)+υ(-125+υ(-30+50υ+3υ3))))/(1979+4y3+y6-4y(5+3υ2)+y4(17+3υ2)+y2(475+3υ(20+30υ+υ3))+υ(20+υ(-125+υ(-20+25υ+υ3))))

利用Mathematica软件，可得相应的三维图形和等高线图(见图2)。从图2中很容易看到三个一阶lump解。

图2 图中υ=ρ,(a)三维图形；(b)等高线图形

最后，我们假设六阶lump解为如下表达式

(14)

其中θi(i=25,26,…,69)是任意参数。将(14)代入(6)，提取ρ和y的各阶次幂和混合项系数令为零，可得

(15)

将(14)和(15)代入变换(2)，我们有

u(ρ,y)=2(lnf)ρ

(16)

为了观察六阶lump解(16)的动力学性质，我们可以取

γ1=γ4=1,γ2=-1,γ3=α2=2,γ5=-1,α1=3,μ=ν=10 000

将这些参数的值代入方程(16)，利用Mathematica软件，可得相应的三维图形和等高线图(见图3)。从图3中很容易看到六个一阶lump解。

图3 图中υ=ρ,(a)三维图形；(b)等高线图形

3 总结

本文基于扎其劳教授提出的方法和马文秀教授获得的Hirota双线性形式，调查了了广义Hietarinta-type方程的多lump解，主要是一阶lump解，三阶lump解和六阶lump解。设置一些特定参数的值，一阶lump解，三阶lump解和六阶lump解的动力学性质分别被展示在图1，图2和图3中。这些解和动力学性质尚未在其他文献中看到。