“对数函数”教学探微

王雅倩 汤强

【摘要】在简单比较中国《普通高中数学课程标准》和日本《高等学校数学学习指导要领》中对数函数教学要求的基础上，选取我国普通高中课程标准实验教科书A版数学必修1和日本高等学校数学课用新编数学Ⅱ中有关“对数函数”的内容，对其内容结构、内容设置等方面进行深入比较研究，并对中国高中数学教科书的编制提出了一些合理化的建议.

【关键词】中国;日本;高中数学教科书;对数函数

1 教学要求的比较

中日高中数学对数函数教学要求的比较

在对数函数教学要求上，《普通高中数学课程标准》中要求得比较详细.《普通高中数学课程标准》要求在引入时注重从实际背景出发，构造函数模型来进行对数函数概念的教学.在探究对数函数图像及其性质时，可以借助计算机工具来画出对数函数的图像，从而加深学生对对数函数及其图像的理解.我国的教学还明确要求掌握反函数的概念.日本在《高等学校数学学习指导要领》中对对数函数的教学要求写得比较简练，把教学要求的重点放在掌握对数函数的概念和对数计算上，也要理解函数图像及其性质，并能灵活运用.

2 内容结构的比较

中国普通高中课程标准实验教科书A版数学必修1和日本高等学校数学课用新编数学Ⅱ中有关“对数函数”的内容存在一定的差异，包括掌握要求与内容安排.

2.1 掌握要求

中国教科书中的“对数函数”位于高中数学人教A版必修1第二章第二节第二课时，属于高中数学必修内容，这是我国高中生必须掌握的基本初等函数，学生没有选择的余地;日本教科书中的“对数函数”位于高中数学Ⅱ第五章第二节第三课时，属于高中数学选修内容（在数学6个科目中，除了数学Ⅰ以外都是选修内容），学生有选择学习的余地.

2.2 内容安排

中日两国教科书在对数函数内容的安排上大致都是先通过介绍对数函数，然后由特殊到一般，归纳总结出对数函数的图像及其性质，最后对其内容进行实际的应用.但是，在内容的选取上，两国教科书仍然存在着一定的差异.

3 内容设置的比较

在这两种教科书中，这一节内容的设置都由对数函数的定义、对数函数图像及性质、反函数这三部分组成，但在内容设置上仍存在着一定的差异.

3.1 定义的引入

3.1.1 中国对数函数的引入

中国必修1中对数函数的引入是通过利用学生已经掌握了的对数的概念与函数概念的知识，让学生利用函数的概念来判断对于每一个碳14含量P，通过对应关系t=log573012P，是否都有唯一确定的生物死亡年数t与之对应，从而得出对数函数的概念.这样从对数过渡到对数函数的方式很自然，学生不仅容易接受，也符合学生的认知规律，也与现代认知主义理论，建构主义思想相一致.这样的情境创设是从对数函数的形式出发，帮助学生掌握对数函数的形式，从而有利于帮助学生判断一个函数是否为对数函数.

3.1.2 日本对数函数的引入

日本数学Ⅱ中对数函数的引入没有情景的设置，而是直接给出了对数函数的定义.这样的引入方式是基于学生在学习对数与对数运算内容时，已经熟练掌握了对数式的形式，因此，学生学习此节内容并不是很困难，应该能够轻松掌握对数函数的形式，然后从对数函数的形式出发得出对数函数的概念.但是，从学生认知发展的过程看，中国必修1中对数函数的引入方式比较恰当，比较符合学生的认知发展规律.

3.2 函数图像及其性质

中国必修1和日本数学Ⅱ这两种教科书都是先通过研究y=log2x和y=log12x，y=log13x的图像及其性质，然后再从特殊到一般，归纳总结出对数函数的图像及其性质.不过，这两种教科书在细节内容上的设置仍然存在着一定的差异.

3.2.1 函数图像及其性质的探究

在中国必修1中，教师先让同学们运用列表、描点、连线的方法在同一个直角坐标系中画出y=log2x和log12x的函数图像，然后让学生运用相同的方法画出log13x的图像.让学生亲自动手作图不仅可以培养学生的动手操作能力，而且对深刻理解对数函数的图像及其性质有着一定的促进作用.教师还可以充分利用信息技术，让学生随意地取a的值，并在同一个坐标系中画出它们的图像.学生可以通过观察对数函数的图像，从特殊到一般，归纳总结出对数函数的性质，并顺理成章地讨论底数.在数学必修1中还把y=log12x，y=log2x这两个函数图像放在同一个直角坐标系中，发现其函数图像关于x轴对称，强调其对稱性.

在日本数学Ⅱ中，也是先让同学们根据y=log2x的对应表值画出其函数图像，再让同学们自己动手操作画出log12x的函数图像，从而归纳总结出对数函数的图像及其性质.但在日本数学Ⅱ中，没有讨论对数函数y=log2x和y=log12x的对称性，反而重点讨论了y=log2x和y=2x关于函数y=x对称，从而为学习反函数做铺垫.

3.2.2 函数图像及其性质的总结

在中国数学必修1和日本数学Ⅱ两种教科书中给出的对数函数图像相同，都分为了01两种情况.对数函数性质都有三条，但在内容与表述方法上也有一定的差异.在中国必修1中，对数函数的定义域通过正实数域（0，+∞），值域是通过实数集R来表示.而在日本数学Ⅱ中，对数函数的定义域和值域都是通过文字直接表述出来的，没有体现出数学符号的简便性.在表述对数函数单调性时，中国必修1直接给出了两种情况下的单调性;日本数学Ⅱ则利用不等式非常形象、直观地表明了对数函数的单调性.

3.3 例题的选取

中国必修1和日本数学Ⅱ中的对数函数都设置了比较大小的题目，其主要目的是想帮助学生灵活运用对数函数的单调性来比较对数的大小.其不同点在于中国必修1中的例题每组给出的数据只有两个，而日本数学Ⅱ中的例题每组给出的数据有三个，给出三组数据更容易帮助学生发现每组数据的规律，从而能灵活运用对数函数的单调性来进行比较，也体现出了日本教科书更加注重学生学习的自豪感和成就感.

3.4 反函数

中日两种教科书在对数函数这一节内容中都对y=logax（a>0且a≠1）与y=ax（a>0且a≠1）互为反函数进行了一定的介绍，但在内容设置上也存在着一定的差异.

3.4.1 中国反函数的内容设置

中国必修1教科书对反函数内容的介绍放在本节内容的最后，把对数函数及其性质探究完后再进行反函数的学习.反函数的内容所占篇幅很少，教科书中逐渐缩减反函数所占的比重.教师通过探究指数函数与对数函数的关系，归纳出反函数的概念;通过指数函数图像与对数函数图像的关系，总结出互为反函数图像间的关系是关于直线y=x对称的，让学生体会从特殊到一般的思维过程，加深对指数函数和对数函数的理解.介绍完反函数之后，教科书中也没有安排例题来帮助学生进一步加深理解反函数.

3.4.2 日本反函数的内容设置

日本数学Ⅱ教科书对反函数内容的介绍放在画出对数函数y=log2x图像之后.在通过列表、描点、连线的方法画出对数函数之后，在同一个直角坐标系中画出函数y=2x的图像.通过观察对数函数与指数函数的图像，归纳总结出反函数的概念和互为反函数图像间的关系是关于直线y=x对称的.在日本教科书中还画出了当a>1和0

总之，日本的教学要求中虽然没有明确提出掌握反函数，但在教科书中反函数所占比例较大，在探究对数函数图像时就给出了反函数的概念，总结出了反函数的性质.

4 小 结

通过对中日高中教科书对数函数内容进行比较，我得出了一些结论与启示，并对中国高中数学教材中有关对数函数这一节内容的编制提出一些建议.

4.1 内容结构上，教科书应更注重基础

日本教科书在对数函数图像內容讲解时，插入了很多图片供学生直观观察，从而有利于学生更轻松地掌握对数的性质，这正是值得我们借鉴的;在对数函数性质的表述中，日本教科书把有些数学关系符号化是很关键的，这样的符号能够形象地描述比较复杂的数学关系，能够帮助学生更好地理解记忆.

4.2 内容设置上，教科书应更注重知识衔接

在学习对数函数时，教师要注意把对数函数与指数函数、不等式、方程联系起来，帮助学生形成更好的学习网.把学习的知识全部串联起来，更加深刻地理解所学内容.教师将这种串联起来的内容设置为例题进行讲解，也可以设置为课后习题供学生自主研究.

4.3 习题设置上，教科书应更注重能力培养

习题的设置也不能只是基础知识的简单重复，也应该设置一些富有综合性、挑战性、新颖性的题目来培养学生的数学思维，提高学生的数学能力.习题内容的选择可以是数学内容的补充或延伸，但也应该考虑到学生的认知水平和掌握知识的能力，其目的是激发学生的学习兴趣和开发学生的发散思维.习题内容的选择也可以是下一节所学内容的铺垫，从而帮助学生更轻松地进入下一节内容的学习.

【参考文献】

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