高中数学导数的解题应用

2021-05-30黄龙孙

数理化解题研究·高中版 2021年12期

摘要：在高中数学的学习当中，导数可以说是一个非常重要的内容，它在函数方面的解题时有着非常大的帮助，尤其是在一些单调性的问题上、函数极值的问题上、函数图像的问题上，导数都有着独特的解法.教师在进行导数知识的教学时，就需要联系实际的例题来帮助学生去理解导数的知识点，懂得如何应用导数来

解题.

关键词：高中数学;导数;解题应用

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）34-0054-02

收稿日期：2021-09-05

作者简介：黄龙孙（1985.11-），男，江西省抚州人，硕士，中学一级教师，从事高中数学教学研究.[FQ）]

一、利用导数求极值问题极值问题一般在考察时就是对导数知识进行考核，如果不利用导数进行求解，那么极值问题就会变得十分困难，学生在解题时也会很浪费时间.在导数的应用下，学生可以轻松地判断出函数图像的变化趋势，然后根据一些特殊的点来判断出极值点，最后解决极值问题.

例1已知函数fx=x-1+aex，（a∈R，e为自然对数的底数）.

（1）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值;

（2）求函数f（x）的极值.

解析

（1）由fx=x-1+aex，得：

f ′x=1-aex，

又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，得：f ′（1）=0，即1-ae=0，解得：a=e，

（2）由（1）知f ′x=1-aex，

①当a≤0 时，f ′x>0 ，

所以f（x）在（-SymboleB@，+SymboleB@）上是增函数，所以函数 f（x）无极值.

②当a>0时，令f ′x=0，

得ex=a ，即x=lna.

所以当x∈-SymboleB@，lna时，f ′x<0

当x∈（lna，+SymboleB@）时，f ′x>0

所以f（x）在-SymboleB@，lna上单调递减，在（lna，+SymboleB@）上单调递增，

故f（x）在x=lna处取得极小值，且极小值为flna=lna，无极大值.

综上所述：

当a≤0 时，函数无极值;

当a>0时，f（x）在x=lna处取得极小值lna，无极大值.

二、利用导数推导函数图像

图像是函数学习的难点，它也是学生学习时抽象性最大的问题，很多学生都无法理解图像的意义，尤其是在推导函数图像时，像一些高次幂的函数学生根本无法画出图像，在导数的帮助下，学生可以计算出图像的变化规律，从而能够根据间断点来大致的区分函数图像.

例2 设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图像如图1所示，则导函数y′=f ′（x）的图像可能为

（）.

图1

解析观察原函数图像可以得到：当x∈（-SymboleB@，0）时，函数f（x）单调递增，所以能够判断出在x∈（-SymboleB@，0）时，f ′x>0，故选项A和C排除，在选项B和D中选择;根据原函数图像在（0，+SymboleB@）中的单调区间，可以分析出：函数图像先递增后递减，最后又呈递增趋势，根据导数几何意义，可以推导出f ′x的图形趋势为：f ′x图像先处于x轴上方，在处于x轴下方，最后又处于x轴上方，根据选项内容可以分析出：选项B错误，选项D正确.

三、导数综合应用题

导数的综合应用题一般难度都会比较大，但是在如果学生对函数的基本知识有着较高的熟练度，那么這种类型的第一题学生都可以轻松地计算出.对于第二题来说，它就需要学生能够熟练的应用导数知识点来进行分析，可以正确的进行求导，然后根据题意找到正确的解题思路，从而能够逐渐的计算出正确的答案，促进学生的正确率.

例3某种产品每件成本为6元，每件的售价为x元（6

（1）求年销售利润y关于售价x的函数关系式;

（2）求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润.

解析（1）设5858-u=k（x-214）2，因为售价为10元时，年销量为28万件，所以5858-28=k（10-214）2，解

得k=2.

所以u=-2（10-214）2+5858=-2x2+21x+18.

所以y=-2x2+21x+18x-6=-2x3+33x2-108x-108（6

（2）先对函数y求导，得：

y′=-6x2+66x-108=-6x2-11x+18=

-6x-2（x-9）.