动点轨迹方程问题的解法探讨

摘 要：本文主要研究了动点轨迹方程问题，给出了五种求解方法.

关键词：轨迹方程;解法;几何法

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）34-0039-03

收稿日期：2021-09-05

作者简介：赵林（1972-），男，江苏省句容人，中学高级教师，从事高中数学教学研究.[FQ）]

动点的轨迹方程是解析几何的重要知识点，也是高考数学中的常见题型，求动点的轨迹方程需要运用代数、几何、三角等有关数学知识，本人结合自己的教学实践，将动点轨迹方程的一般解法归纳如下.

一、直接法

根据题目中的已知条件直接找到动点所满足的等量关系，从而写出含有变量x，y的等式，这种求轨迹方程的方法叫做直接法.

例1 已知动点P到直线x=4的距离是它到点Q（1，0）的距离的2倍，求动点P的轨迹方程.

解 设点P的坐标是（x，y），根据题意得：x-4=2（x-1）2+y2，两边平方得，x2-8x+16=4（x2-2x+1+y2），3x2+4y2=12，所以動点P的轨迹方程是x24+y23=1.

变式1 已知动点P与平面上两定点A（-2，0），B（2，0）连线的斜率的积为4.求动点P的轨迹方程.

解 设点P的坐标是（x，y），根据题意得：kPA·kPB=4，y-0x+2×y-0x-2=4，y2=4（x2-4），所以动点P的轨迹方程是x24-y216=1（x≠±2）.

图1

变式2 在△ABC中，已知点B（-3，0）和C（3，0），动点A满足∠ACB=2∠ABC，求动点A的轨迹方程.

解 设点A（x，y），∠ABC=α，则∠ACB=2α，∵kAB=tanα=yx+3，∴kAC=tan（π-2α）=-tan2α=-2tanα1-tan2α=-2yx+3÷1-yx+32=-2y（x+3）（x+3）2-y2，当x≠3时，则yx-3=-2y（x+3）（x+3）2-y2，∵y≠0，化简得：3x2+6x-9-y2=0，当x=3时也满足，所以动点A的轨迹方程是（x+1）24-y212=1（x>1）.

点评 这一类题目比较简单，可以直接根据题目中的等量关系写出含有x，y的等式，然后两边再进行化简，就能得到所求动点的轨迹方程.

二、定义法

若动点的轨迹符合我们所学过某种已知曲线的定义，则可以利用曲线的定义写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法.

例2 已知圆P经过点N（2，0），且与圆M：（x+2）2+y2=36相内切，求圆心P的轨迹方程.图2

解 设两圆内切于点A，显然M、P、A三点共线，由题意得，PM+PN=PM+PA=r=6，∴点P的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，∵2a=6，c=2，∴a=3，b2=a2-c2=9-4=5，所以圆心P的轨迹方程是x29+y25=1.

变式1 若点M到点F（2，0）的距离比它到直线x=-3的距离小1，求点M的轨迹方程.

解 由题意得，点M到点F（2，0）的距离等于它到直线x=-2的距离，∴点M的轨迹是以F为焦点的抛物线，设y2=2px，则p2=2，p=4，所以点M的轨迹方程是y2=8x.

变式2 在△ABC中，已知点A（-4，0），B（4，0），动点C满足sinA-sinB=12sinC，求动点C的轨迹方程.

解 ∵sinA-sinB=2sinC，由正弦定理得，BC2R-AC2R=12×AB2R，∴BC-AC=12AB=4，∴点P的轨迹是以A、B为焦点双曲线的左支，∵2a=4，c=4，∴a=2，b2=c2-a2=16-4=12，∴动点C的轨迹方程是x24-y212=1（x<-2）.

点评 有些轨迹方程用直接法来做计算比较繁琐，可根据条件推导出动点的轨迹是所学过的已知曲线，这样就可以把轨迹问题转化为求曲线方程的问题.三、几何法

根据平面几何的有关定理和性质推出动点所满足的等量关系，然后写出其轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做几何法.

例3 已知圆C：x2+y2+4x-12y+24=0，过点P（0，5）的直线与圆C交于M、N两点，求弦MN中点D的轨迹方程.

解 设点D的坐标是（x，y），∵圆心C的坐标为（-2，6），D是MN中点，∴CD⊥MN，则kCD·kMN=-1，y-6x+2×y-5x-0=-1，所以中点D的轨迹方程是x2+y2+2x-11y+30=0.

图3

变式1 已知点C（1，0），点A，B是圆O：x2+y2=9上任意两个不同的点，且满足CA·CB=0，求弦AB中点P的轨迹的方程.

解 连接CP，∵CA·CB=0，∴CA⊥CB，∵P为AB中点，

∴CP=12AB=PA，OP⊥AB，∵OP2+PA2=OA2=9，

∴OP2+CP2=9，设点P的坐标是（x，y），得：x2+y2+（x-1）2+y2=9，

所以中点P的轨迹的方程是x2-x+y2=4.

图4

变式2 已知圆O：x2+y2=16与x轴的正半轴交于P点，过点P作圆O的切线l，在l上任取一点A，AB切圆O于点B，求ΔPAB的垂心的轨迹方程.

解 设OA交PB于点Q，作BC⊥PA于点C，交OA于点G，则点G为△PAB的垂心.由切线长定理得：AB=AP，且OA垂直平分PB，由此得到GB=GP，∵OP∥BC，∴∠OPB=∠GBP=∠GPB，可以证明：Rt△OPQ≌Rt△GPQ，∴GP=OP=4，∵点P的坐标是（4，0），所以△PAB的垂心的轨迹方程是（x-4）2+y2=16（与x轴交点除外）.

点评 用几何法来求动点的轨迹方程需要画图来进行观察和思考，经过推理和证明找到题目中动点所隐藏的等量关系，这样就可以避免一些复杂的计算.

四、代入法

若动点P与已知曲线上的动点Q存在着某种关系，则可以把点Q的坐标用点P的坐标来表示，然后代入曲线的方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法.

例4 已知点A在圆x2+y2=9上，点B的坐标是（6，0），点P分AB之比为2∶1，求点P的轨迹方程.

图5

解 设点P（x，y），点A（x0，y0），由定比分点公式得：x=x0+2×61+2，y=y0+2×01+2，∴x0=3x-12，y0=3y，∵点A在圆上，∴x20+y20=9，代入得：（3x-12）2+（3y）2=9，所以点P的轨迹方程是（x-4）2+y2=1.

变式1 已知点P在椭圆x212+y28=1上，点A的坐标是（6，0），求线段PA中点M的轨迹方程.

解 設中点M的坐标是（x，y），点P的坐标是（x0，y0），由题意得：x=x0+62，y=y02，即x0=2x-6y0=2y，∵点P在椭圆上，∴x2012+y208=1，代入得：（2x-6）212+（2y）28=1，所以点M的轨迹方程是（x-3）23+y22=1.

变式2 过双曲线x2-y2=4上一点A作直线l：x+y=4的垂线，垂足为点B，求线段AB的中点M的轨迹方程.

解 设点M的坐标是（x，y），点A的坐标是（x0，y0），则点B的坐标是（2x-x0，2y-y0），∵点B在直线l上，∴（2x-x0）+（2y-y0）=4，2x+2y-x0-y0=4①，∵AM⊥l，∴kAM=1，即y-y0x-x0=1，x-y-x0+y0=0②，联立①、②得到：x0=32x+12y-2，y0=12x+32y-2，∵点A在双曲线上，∴x20-y20=4，代入得：（32x+12y-2）2-（12x+32y-2）2=4，所以点M的轨迹方程是（x-1）2-（y-1）2=2.

点评 若动点P所满足的条件难以表达或求出，但却随着已知曲线上另一动点Q作有规律的运动，这时可以利用点P和点Q坐标之间的关系，求出动点P的轨迹方程.

五、参数法

有些题目可以借助参数，找到动点坐标x，y之间的等量关系，再从得到的等式中消去参数，就能得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法.

例5 在平面直角坐标系xOy中，过点P（-1，0）的直线l与抛物线C：y2=4x交于A，B两点，且OM=OA+OB，求点M的轨迹方程.

解 设直线l的方程为y=k（x+1），点M的坐标是（x，y），点A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组y=k（x+1）y2=4x，消去y得：k2x2+（2k2-4）x+k2=0，由k≠0Δ>0解得：-1

∴x=x1+x2=4-2k2k2①，y=y1+y2=k（x1+1）+k（x2+1）=k（x1+x2）+2k=4k②，

由②得：k=4y，代入①得：x=4k2-2=4×y216-2，化简得：y2=4x+8，所以点M的轨迹方程是y2=4x+8（x>2）.

变式1 已知圆C：x2+y2+2（m-1）x-4my+5m2-m-3=0，求圆心C的轨迹方程

解 设圆心C的坐标是（x，y），则x=-2（m-1）2=-m+1 ①，y=--4m2=2m ②，由①得：m=1-x，代入②得：y=2（1-x）， ∵D2+E2-4F>0，∴[2（m-1）]2+（-4m）2-4（5m2-m-3）>0，解得：m<4，因此x>-3，∴圆心C的轨迹方程是y=-2x+2（x>-3）.

变式2 已知椭圆x22+y2=1上有两点P、Q，O为坐标原点，且直线OP与OQ的斜率满足kOP·kOQ=-12，求线段PQ中点M的轨迹方程.

图5

解 设点M（x，y），P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意得：x

212+y21=1x222+y22=1，

即x21+2y21=2①x22+2y22=2②，①+②得：（x1+x2）2-2x1x2+2[（y1+y2）2-2y1y2]=4，

（x1+x2）2+2（y1+y2）2-2（x1x2+2y1y2）=4，∵M是AB的中点，∴x1+x2=2x，

y1+y2=2y，∵kOA·kOB=-12，∴y1x1×y2x2=-12，去分母得：x1x2+2y1y2=0，

代入得：（2x）2+2（2y）2-2×0=4，∴点M的轨迹方程是x2+2y2=1.

点评 有些动点坐标x，y之间的关系不太容易发现，也很难判断动点符合某种已知曲线的定义，这时就可以引入参数，建立x，y之间的等式，从而使问题得到解决.

参考文献：

[1]韩景岗，陈国林.巧用圆锥曲线的定义妙求一类最值问题[J].数理化解题研究（高中版），2017（5）：20-21.

[责任编辑：李 璟]