传送带模型问题之面面观
——关于传送带问题的各种情况分析
2021-05-29湖北
湖北
物体以一定初速度v0在另一个匀速(变速)运动的皮带上运动的力学系统称为传送带模型，共存在着多种类型。它是高中物理复习的一个重点专题内容，通常会考查到物体在传送带上的运动性质、运动时间、相对位移、划痕、运动图像、摩擦生热等。下面对常见的一些类型做出归纳与解析，供学生们复习参考。
一、水平传送带(L足够长)
(1)v0与v同向(如图1)
①v0>v，物体先匀减速再匀速到达右端
物体对应的v-t图像如图1.1所示。
图1.1
②v0 物体对应的v-t图像如图1.2所示。 图1.2 ③v0=v，物体一直匀速到达右端 相对位移(划痕)Δx=0 物体与传送带摩擦产生的热量Q=0 物体对应的v-t图像如图1.3所示。 图1.3 【例1】(2015天津)某快递公司分拣邮件的水平传输装置示意如图，皮带在电动机的带动下保持v=1 m/s的恒定速度向右运动，现将一质量为m=2 kg的邮件轻放在皮带上，邮件和皮带间的动摩擦因数μ=0.5。设皮带足够长，取g=10 m/s2，在邮件与皮带发生相对滑动过程中，求： 例1 (1)邮件滑动的时间t； (2)邮件对地的位移大小x； (3)邮件与皮带间的摩擦力对皮带做的功W。 【答案】(1)设邮件放到皮带上与皮带发生相对滑动过程中受到的滑动摩擦力为Ff，则 Ff=μmg① 取向右为正方向，对邮件应用动量定理得 Fft=mv-0 ② 联立①②式并代入数据得 t=0.2 s ③ (2)邮件与皮带发生相对滑动的过程中，对邮件应用动能定理，有 联立①④式并代入数据得 x=0.1 m ⑤ (3)邮件与皮带发生相对滑动的过程中，设皮带相对地面的位移为s，则 s=vt⑥ 摩擦力对皮带做的功W=-Ffs⑦ 由①③⑥⑦式并代入数据得 W=-2 J 【点评】本题运用了动量和能量的方法解决问题，也可以采用动力学方法进行求解，关键需理清邮件在整个过程中的运动规律，特别注意本题的问题是求邮件相对地面的位移以及摩擦力对皮带做的功。 (2)v0与v反向(如图2) 图2 ①v0>v，物体先向左匀减速再向右匀加速最后匀速 到达右端，速度为v 相对位移(划痕) 物体与传送带间因摩擦产生的热量 物体对应的v-t图像如图2.1所示。 图2.1 ②v0 相对位移(划痕) 物体与传送带间因摩擦产生的热量Q=μmgΔx=2mv0v 物体对应的v-t图像如图2.2所示。 图2.2 (1)v0=0，即物体初速度为零 ①物体初位置在下端如图3所示 图3 则物体先加速后匀速到达上端 相对位移(划痕) 物体与传送带间因摩擦产生的热量Q=μmgcosθ·Δx 物体对应的v-t图像如图3.1所示。 图3.1 ②物体初位置在上端(如图4) 图4 当μ≥tanθ时，物体先加速后与皮带保持相对静止一起匀速至下端 相对位移(划痕) 物体与传送带间因摩擦产生的热量Q=μmgcosθ·Δx 物体对应的v-t图像如图3.1所示。 当μ 且a1=g(sinθ+μcosθ)，a2=g(sinθ-μcosθ) 相对位移大小Δx=|Δx1-Δx2| 划痕当Δx1≥Δx2时为Δx1；当Δx1<Δx2时为Δx2 相对总路程Δs=Δx1+Δx2 物体与传送带间因摩擦产生的热量 Q=μmgcosθ(Δx1+Δx2) 物体对应的v-t图像如图4.1所示。表明物体相对皮带先沿皮带向上运动再沿皮带向下运动 图4.1 【例2】(2017四川成都模考)如图所示，传送带与地面倾角θ=37°，从A到B长度L=16 m，传送带以v0=10 m/s的速率逆时针转动.在传送带上端A无初速地放一个质量为m=0.5 kg的黑色煤块，它与传送带之间的动摩擦因数为μ=0.5。煤块在传送带上经过会留下黑色划痕。已知sin37°=0.6，g=10 m/s2。 (1)求煤块从A到B的时间； (2)煤块从A到B的过程中传送带上形成划痕的长度，以及煤块与传送带间因摩擦产生的热量。 例2 【解析】(1)开始阶段由牛顿第二定律得 mgsinθ+μmgcosθ=ma1 所以a1=gsinθ+μgcosθ=10 m/s2 煤块加速至与传送带速度相等时需要的时间 所以煤块加速到10 m/s时仍未到达B点，此时摩擦力方向发生改变 第二阶段由牛顿第二定律有mgsinθ-μmgcosθ=ma2 所以a2=gsinθ-μgcosθ=2 m/s2 设第二阶段煤块滑动到B的时间为t2，则 解得t2=1 s 在B点的速度为vB=v0+a2t2=12 m/s 从A到B的时间t=t1+t2=2 s (2)第一阶段煤块的速度小于传送带速度，煤块相对皮带向上移动，煤块的位移为 第二阶段煤块的速度大于皮带速度，煤块相对皮带向下移动，煤块的位移为 Δx1与Δx2有部分重合，故传送带表面留下黑色炭迹的长度为5 m 煤块与传送带间因摩擦产生的热量 Q=μmgcosθ·(Δx1+Δx2)=12 J 【点评】煤块的运动分为前后两个阶段，第一阶段加速到与传送带速度相等时滑动摩擦力方向发生改变，第二阶段继续加速，而煤块相对于传送带先向上滑动后向下滑动，划过的痕迹必然会有部分重合，在传送带留下的痕迹取较长的那部分。 【例3】(2020山西八校联考)在大型物流货场，广泛的应用传送带搬运货物。如图甲所示，倾斜的传送带以恒定速率运动，皮带始终是绷紧的，将m=1 kg的货物放在传送带上的A点，经过1.2 s到达传送带的B点。用速度传感器测得货物与传送带的速度v随时间t变化的图像如图乙所示，已知重力加速度g=10 m/s2，由v-t图像可知 ( ) 甲 乙 A.A、B两点的距离为2.4 m B.货物与传送带间的动摩擦因数为0.5 C.货物从A运动到B的过程中，传送带对货物做功大小为12.8 J D.货物从A运动到B的过程中，产生的热量为4.8 J 【点评】货物运动的过程分为两个阶段，货物总体斜向下运动，而相对传送带先斜向上运动后斜向下运动，货物受到的摩擦力方向前后相反，故皮带对货物的摩擦力做功性质相反，注意在求摩擦力产生的热量时是用摩擦力乘货物相对传送带的总路程。 (2)v0≠0，即物体初速度不为零 ①v0与v同向，如图5所示。 图5 v0 物体与传送带间因摩擦产生的热量Q=μmgcosθ·Δx 物体对应的v-t图像如图5.1。 图5.1 当μ 加速至下端，且 a1=g(sinθ+μcosθ)，a2=g(sinθ-μcosθ) 相对位移大小Δx=|Δx1-Δx2| 划痕当Δx1≥Δx2时为Δx1；当Δx1<Δx2时为Δx2 相对总路程Δs=Δx1+Δx2 物体与传送带间因摩擦产生的热量Q=μmgcosθ·(Δx1+Δx2) 物体对应的v-t图像如图5.2所示。表明物体相对皮带先沿皮带向上运动再沿皮带向下运动。 图5.2 v0>v，当μ≥tanθ时，物体先以加速度大小a=g(μcosθ-sinθ)匀减速再与皮带相对静止一起匀速至下端。 a=g(μcosθ-sinθ) 摩擦产生热量Q=μmgcosθ·Δx 物体对应的v-t图像如图5.3所示。 图5.3 当μ 物体与传送带间因摩擦产生的热量Q=μmgcosθ·Δx 物体对应的v-t图像如图5.4所示。 图5.4 v0=v，当μ≥tanθ时，物体一直匀速；当μ ②v0与v反向，如图6所示。 图6 当μ 物体与传送带间因摩擦产生的热量Q=μmgcosθ·Δx 物体对应的v-t图像如图6.1所示。 图6.1 当μ=tanθ时，物体一直匀速 物体与传送带间因摩擦产生的热量Q=μmgcosθ·Δx 物体对应的v-t图像如图6.2所示。 图6.2 当μ>tanθ，v0≤v时，物体先沿皮带向下匀减速再反向匀加速至上端，速度大小为v0 相对位移(划痕) 物体与传送带间因摩擦产生的热量Q=μmgcosθ·Δx 物体对应的v-t图像如图6.3所示。 图6.3 当v0>v，物体先沿皮带向下匀减速再反向匀加速最后匀速至上端，速度大小为v 相对位移(划痕) 物体与传送带间因摩擦产生的热量Q=μmgcosθ·Δx 物体对应的v-t图像如图6.4所示。 图6.4 【例4】(2020珠海一模)如图所示，传送带AB的倾角为θ，且传送带足够长。现有质量为m可视为质点的物体以v0的初速度从B端开始向上运动，物体与传送带之间的动摩擦因数μ>tanθ，传送带的速度为v(v0 ( ) 例4 A.摩擦力对物体做功的最大瞬时功率一定是μmgvcosθ B.摩擦力对物体做功的最大瞬时功率一定是μmgv0cosθ C.摩擦力对物体可能先做负功后做正功 D.摩擦力对物体做的总功可能为零 【解析】物体与传送带之间的动摩擦因数μ>tanθ，则有μmgcosθ>mgsinθ。传送带的速度为v(v0 【点评】由于传送带的速度方向未知，需分两种情况讨论，因μ>tanθ，若v0与v同向时，则物体速度与传送带速度相同时(保持相对静止时)速度最大，若v0与v反向时，物体往返运动的过程是可逆的，滑动摩擦力方向始终沿传送带向下，加速度不变。
二、倾斜传送带(L足够长)
