基于多元回归模型的拟声波时差测井曲线重构方法研究

杨怀杰，乔宝强

（核工业北京地质研究院，北京 100029）

声波时差曲线是进行砂泥岩地层划分、含矿层预测的基础资料，然而在实际工作中由于受钻孔环境、地质条件和探头本身条件的影响，声波时差资料不能很好的反映地层岩性特征的变化情况。因此，一些学者对拟声波测井曲线重构方法进行了研究，研究一般基于多元回归模型［1-2］，利用对砂泥岩地层比较敏感的测井曲线重构拟声波测井曲线，基于重构后声波测井曲线进行砂泥岩地层横向展布研究及含矿层预测。

1 多元回归模型原理

多元线性回归模型是指通过对两个或两个以上的自变量与一个因变量的相关分析，建立预测模型进行预测的方法。当自变量与因变量之间存在线性关系时，称为多元线性回归分析［3］。在拟声波时差曲线重构问题上，因变量是声波时差测井曲线，自变量可以是一条或者多条其它测井曲线，它们之间的关系可以是线性关系或者非线性关系。

假设因变量和自变量的线性回归模型如下［4-5］：

其中，a0，a1，a2，…，ak为k+1 个未知数，a0为回归常数，a1，a2，…，ak为回归系数；y为因变量，x1，x2，…，xk为k个实测自变量；ε为随机误差（残差）。

用矩阵表示如下：

这时多元线性回归模型可以写作：

当k=1 时，上式为一元线性回归模型；当k≥2 时，上式为多元线性回归模型，通常要满足以下条件：（1）E(ε)=0；（2）var(ε)=δ2；（3）x1，x2，…，xk不相关。

在正态假设下，如果X 是列满秩，则线性回归模型的参数最小二乘估计为：

由此得到回归模型参数a0，a1，a2，…，ak的估计值。

将回归模型参数计算结果带入式（1）中，得到重构测井曲线的多元线性回归方程。

对于非线性回归模型（指数、对数、幂函数）的问题，通常将其转化为多元线性模型进行回归计算。

1941年5月19日，以毛泽东在延安高级干部会议上作《改造我们的学习》报告为标志，整风运动率先在党的高级领导干部中展开。中共中央组织高级干部学习党的历史，其目的在于使他们通过认真学习，开展批评与自我批评，弄清楚党的历史上多次发生的“左”和右倾机会主义错误的危害并总结历史经验。

例如幂函数模型表示为：

对其两边取对数，则有：

运用多元线性回归求出各回归系数值与因变量Y 的值，再根据y=eY即可以求出幂函数模型y的值。

2 拟声波时差重构

2.1 测井曲线标准化处理

由于各钻孔的测井时间、测井仪器及刻度参数的不同，可能导致各钻孔目标层段相同测井曲线有不同的数值范围，在重构声波测井曲线之前各钻孔测井曲线应进行标准化处理，保证各条测井曲线对重构声波曲线具有相同的贡献，同时保证各钻孔之间在目标层段的重构声波曲线具有相同的数值范围。测井曲线标准化的方法如下，有规范化、正则化和归一化方法［6-7］：

（1）规范化方法

式中，y1，y2，…，yn∈[0，1]且无量纲。

（2）正则化方法

（3）归一化方法

2.2 测井曲线相关性分析

为了建立不同砂岩地层的拟声波时差测井曲线多元回归模型，统计了不同泥质含量砂岩地层的多条测井曲线与声波时差测井曲线的响应特征，试探性的建立这些测井曲线与声波时差测井曲线之间的关系［8］。统计了：1）地层泥质含量在3.42%～8.95%之间的数据点24 个；2）地层泥质含量在15.23%～21.16%之间的数据点27 个；3）地层泥质含量在38.08%～43.79%之间的数据点26 个；4）地层泥质含量在68.79%～89.73%之间的数据点26个。由于自然伽马、三侧向电阻率、补偿密度等测井参数能很好的反应地层的岩性特征，因此建立了这三条测井曲线与声波时差测井曲线之间的关系，如图1、2、3 所示。

从图中可以看出，自然伽马（GR）、补偿密度（DEN）和三侧向电阻率（LLD）测井曲线与声波时差（AC）均呈线性关系，且存在较好的相关性，其关系式和相关系数如表1 所示，声波时差与自然伽马的相关系数为0.586 7、声波时差与补偿密度的相关系数为0.724 1，声波时差与三侧向电阻率的相关系数为0.593 6。

图1 自然伽马和声波时差关系图Fig.1 Scatter plot of GR versus AC

图2 补偿密度和声波时差关系图Fig.2 The scatter plot of DEN versus AC

图3 三侧向电阻率和声波时差关系图Fig.3 The scatter plot of LLD versus AC

表1 声波时差与自然伽马、补偿密度和三侧向电阻率曲线的相关关系Table 1 The relationship of GR,DEN,LLD with AC

2.3 拟声波时差曲线重构

由测井曲线的相关性分析可以看出，声波时差与自然伽马、补偿密度和三侧向电阻率均存在一定的关系，且呈线性关系，因此选择多元线性回归模型进行多元回归分析［9-10］。将标准化后测井曲线带入到线性模型中，可得：

式中，A，B，C和D的通过最小二乘回归计算的常数。将回归常数和系数带入到式（12）中，即可得到重构声波测井曲线方程的线性回归方程，其中相关系数为R2=0.876 4。

2.4 重构与实测曲线对比

ZJ 地区K 钻孔孔深大，地层压实作用强，声波测井曲线能较好的反映地层岩性的变化特征。利用该钻孔的自然伽马、补偿密度和电阻率测井曲线与声波时差的关系，建立拟声波时差测井曲线的多元线性回归方程，如图4 所示第五道，蓝色为实测声波时差测井曲线，红色为重构声波时差测井曲线，3 110.0～3 142.0 m 以砂岩为主，声波时差曲线波动较小，实测和重构声波时差测井曲线基本重合，3 140.0～3 154.0 m 的岩性为泥岩夹薄层砂岩，声波时差局部波动性较大，波动较大层段，重构声波时差曲线略小于实测声波时差测井曲线，但两条测井曲线具有一致的波动性，并重复性较好。

为了验证重构声波测井曲线的精度，绘制了实测和重构声波测井曲线散点图，如图5 所示，绝大多数点（砂岩对应的声波时差）分布在200.0～260.0 μs/m 之间，散点较均匀的分布在y=x附近；极少数点（泥岩对应的声波时差）数值较大，较分散的分布在y=x附近，说明声波时差较小时，实测和重构声波测井曲线的一致性较好。整体相关式的斜率为0.963 4，其值较接近1，说明拟声波时差测井曲线的重构效果越好。

图4 ZJ 地区K 钻孔实测和重构声波测井曲线对比图Fig.4 Comparison chart of measured and reconstructed AC curves of borehole K in ZJ area

图5 实测与重构声波时差散点图Fig.5 The scatter plot of measured versus reconstructed AC curves

3 应用实例分析

以内蒙古二连浩特钻孔E19-07 为例，如图6 所示，第四道为实测和重构声波时差测井曲线对比图，蓝色为实测声波时差测井曲线，由于受钻孔内环境、地质条件和探头本身条件的影响，实测声波时差测井曲线的毛刺飞点较多，局部非地质因素引起的波动性较强，主要原因是地层埋藏深度浅，压实作用不强，实测曲线不能较好的反映地层岩性情况。

图6 钻孔E19-07 重构声波时差测井曲线图Fig.6 The logging curves of reconstructed AC curves of borehole E19-07

如图6 所示，第四道红色重构声波时差测井曲线，与地质编录岩性有较好的对应关系。因此，在地层压实不强，或者未采集声波时差曲线的条件下，可以采用此方法进行声波时差测井曲线重构。

4 结论

1）在不同泥质含量的砂泥岩测井响应特征统计层段，自然伽马、补偿密度和三侧向电阻率测井曲线与声波时差均呈较好的线性关系。

2）由声波时差与自然伽马、补偿密度和三侧向电阻率的线性关系，建立了多元线性回归模型，并以一个钻孔验证了重构与实测声波时差曲线具有较好的一致性。

3）对于非压实地层的钻孔，与实测时差测井曲线相比，重构声波时差测井曲线与岩性剖面具有较好的对应关系。