无限维Hilbert空间上一类算子方程的解
2021-05-18杨凯凡
安徽大学学报（自然科学版） 2021年3期
杨凯凡
(陕西理工大学 数学与计算机科学学院，陕西 汉中 723001)
设H
是无限维Hilbert空间,B
(H
)表示H
上的有界线性算子的全体.论文在无限维Hilbert空间上研究非线性算子方程的正算子解问题，其中A
,Q
∈B
(H
)，Q
>0,X
是B
(H
)中的未知算子且t
>1是给定的正整数.近年来,形如X
+A
X
A
=Q
，X
-A
X
-A
=I
等的矩阵方程受到许多学者的关注和研究.前人大多数是利用矩阵论的相关知识，特别是围绕矩阵的秩展开研究，在有限维空间上，给出这类方程有正定矩阵解的一些条件. 论文在无限维Hilbert空间上,结合算子论的相关知识,给出了方程(1)有正算子解的一些必要条件和充分条件.X
-A
X
-A
=Q
(1)
1 预备知识
对于A
∈B
(H
)，‖A
‖,A
,ω
(A
),γ
(A
)分别表示算子A
的范数、伴随算子、数值域半径及谱半径. 如果对任意x
∈H
， 都有(Ax
,x
)≥0，则称A
为正算子,记为A
≥0((x
,y
)表示x
,y
的内积).若T
,S
∈B
(H
),T
≥S
是指算子T
-S
为正算子.引理1
设T
∈B
(H
). 若T
是正规的,则ω
(T
)=γ
(T
)=‖T
‖.引理2
设P
,Q
是正算子,且P
>Q
. 如果PQ
=QP
, 则对任意实数t
>1,有P
>Q
.
B
(H
)上的正算子, 有:(1) 若P
≥Q
>0 , 则P
≤Q
.设A
为B
(H
) 上的正算子，则A
≤‖A
‖I
.(2) 设A
,B
∈B
(H
)是自伴算子且满足A
≤B
， 则对任意T
∈B
(H
)，有T
AT
≤T
BT
.
命题
若A
∈B
(H
)是正规算子,则由A
生成的C
*-代数是可交换的.2 主要结论及其证明
定理1
若算子方程 (1)有正算子解X
, 则(1)γ
(A
+A
)<‖2X
-Q
‖;(2)γ
(A
-A
)<‖2X
-Q
‖;
证明
(1) 显然A
X
-A
≥0，所以由方程(1)可知X
=A
X
-A
+Q
≥Q
，t
>1，所以X
≥X
,因此X
-A
X
-A
-A
-A
≤X
-A
X
-A
-A
-A
=2X
-(X
+A
X
-A
+A
+A
)=2X
-(X
+A
)*X
-(X
+A
)≤2X
,所以A
+A
≥Q
-2X
.同理X
-A
X
-A
+A
+A
≤X
-A
X
-A
+A
+A
=2X
-(X
+A
X
-A
-A
-A
)=2X
-(X
-A
)*X
-(X
-A
)≤2X
,从而，有
Q
-2X
≤A
+A
≤2X
-Q
，γ
(A
+A
)≤‖2X
-Q
‖.(2) 若X
-A
X
-A
=Q
有正算子解X
, 则X
-(iA
)X
-(iA
)=Q
也有正算子解X
,其中i表示虚数单位.由该定理中的结论(1)可知γ
((iA
)+(iA
))≤‖2X
-Q
‖ ，即γ
(A
-A
)≤‖2X
-Q
‖.(3) 若X
-A
X
-A
=Q
有正算子解X
, 则X
-(eiA
)X
-(eiA
)=Q
也有正算子解X
,其中θ
∈[-π,π].由结论(1)可知γ
((eiA
)+(eiA
))≤‖2X
-Q
‖，而(eiA
)+(eiA
)对所有的θ
∈[-π,π]都是自伴的，所以ω
((eiA
)+(eiA
))≤‖2X
-Q
‖，因此对任意的θ
∈[-π,π]及单位向量x
，都有(|((eiA
)+(eiA
))x
,x
)|≤‖2X
-Q
‖.另一方面，对H
上的单位向量x
，存在θ
(x
)，使得ei()(Ax
,x
)≥0，因此|(((ei()A
)+(ei()A
))x
,x
)|=((ei()A
)x
,x
)+((ei()A
)x
,x
)=2(ei()Ax
,x
)≤‖2X
-Q
‖.而对H
上的单位向量x
，总有|(Ax
,x
)|=|(ei()Ax
,x
)|，
不管是设计单位、制造单位、使用单位，还是检验单位，都应秉着认真负责的态度来对待工作，将责任落到实处，这样才能避免压力容器事故的发生。
定理2
若算子方程 (1)有正算子解X
, 则‖A
‖<‖X
-Q
‖‖X
‖.证明
由方程X
-A
X
-A
=Q
，可得
C
∈B
(H
)(其中‖C
‖=1)，使得
因此
AA
<‖X
-Q
‖X
.由此可得‖A
‖<‖X
-Q
‖‖X
‖.定理3
若算子方程 (1)有正算子解X
, 则‖X
‖=‖Q
‖的充要条件是A
不是下有界的.证明
由定理1及正算子的性质知，若方程由正算子解X
，则X
≥Q
,‖X
‖≥‖Q
‖.必要性.设‖X
‖=‖Q
‖，而X
和Q
都是正算子(记‖Q
‖=b
),所以ω
(X
)=γ
(X
)=‖X
‖=b
，(Xx
,x
)=((A
X
-A
+Q
)x
,x
)=(Qx
,x
)+(A
X
-Ax
,x
)，从而(AX
-Ax
,x
)→0.由引理3知
Ax
→0，因此A
不是下有界的.充分性.反证法：假设‖X
‖>‖Q
‖=b
，则X
-bI
是可逆的.因此存在常数δ
，使得对于任意向量x
∈H
，有((X
-bI
)x
,x
)≥δ
‖x
‖.由X
=A
X
-A
+Q
,结合Q
≤‖Q
‖I
=bI
可得, 对任意向量x
∈H
，有
证明
构造正算子序列
(2)
根据迭代序列(2),X
在由A
和Q
生成的C
*-代数中,且A
是正规的,由命题1知, 对任意的n
=0,1,2,…，有AX
=X
A
,X
+1X
=X
X
+1，
X
≥Q
，所以，有Q
=X
≤X
≤X
=Q
+A
Q
-A
，逐次类推可得
Q
=X
≤X
≤X
≤…≤X
≤X
≤X
=Q
+A
Q
-A
.(3)
Q
≤X
≤Q
+A
Q
-A
.记‖Q
+A
Q
-A
‖=a
,‖Q
‖=b
，则b
≤‖X
‖≤a
，所以
(4)
(5)
逐次类推可得
所以，有
结合(4)式可得
‖X
2+1-X
2‖≤b
-2‖A
‖2a
-1‖X
2-X
2-1‖.
