观察·思考·表达——“利用三角形全等测距离”的教学设计与反思

耿恒考 (江苏省苏州中学园区校 215021)

1 基本情况

1.1 授课对象

学生来自河南省郑州市高新区八一中学普通班，基础较好，有一定的数学抽象能力、数学探究能力和数学建模能力．

1.2 教材分析

所授内容为北师大版初中数学七年级下册第四章第5节“利用三角形全等测距离”．整章内容为三角形，教材上设置的内容分别为认识三角形、图形全等、探索三角形全等的条件、用尺规作三角形、利用三角形全等测距离等五节内容，其中认识三角形涉及三角形构成元素的关系(三边关系、内角和)、三角形的重要线段等；图形的全等涉及全等图形、全等三角形的概念及全等三角形的性质；探索三角形全等的条件涉及SSS,ASA,AAS,SAS等四种情况；用尺规作三角形涉及两边夹角、两角夹边、三边等三种情况；利用三角形全等测距离是对前面章节内容的综合应用．教材上的内容是按常规的概念—性质—判定—应用的顺序设置的，从应用对象来看，用尺规作三角形属于数学内部应用范畴，通过作图体验、叠合比较理解三角形全等的条件，而利用三角形全等测距离是指向现实世界的数学外部应用范畴，是培养学生应用意识和数学建模能力的重要途径，教学中应注重引导学生经历实际问题数学化的过程，自主思考，合作探究，建构合适的数学模型解决问题，体会数学的应用价值．

教学目标 (1)经历“观察—抽象—建模—求解—验证”的数学建模过程，能建构三角形全等模型解决实际问题，体会数学与实际生活的联系；(2)能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达．

教学重点 实际问题转化为数学问题(三角形全等)求解．

教学难点 测量方案的设计与说明．

2 教学过程

2.1 回顾旧知，明确方向

回顾：前面我们学习了全等三角形的相关知识，请你给大家介绍一下．

设计意图通过问题驱动学生回顾旧知，再现全等三角形的有关知识，包括：全等三角形的概念、性质、判定等，从数学的应用视角引出本课研究主题——利用三角形全等测距离．

2.2 创设情境，激发兴趣

图1

情境一位经历过战争的老人讲述了这样一个故事[1]：在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望．为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离(图1)．在不能过河又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来这样一个办法：他面向碉堡站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部．然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸上的某一点上．接着，他用步测的办法量出自己与那个点之间的距离，这个距离就是他与碉堡的距离(图2)．按这个战士的方法，能够测量出我军与碉堡的距离吗？

图2

设计意图将实际问题转化为数学问题，建构合适的数学模型求解是本节课教学的重点．这里以一个源于现实的故事为情境，明确待解决的问题，驱动学生自主经历实际问题求解的整个过程．教学分三个阶段实施：一是弄清实际问题(测量碉堡与阵地距离，无法直接测量)，二是建构数学模型(全等)尝试求解，三是验证计算求解的合理性．在这个环节中主要是引导学生正确理解问题情境，为学生正确建构模型奠定基础，比如“视线通过帽檐正好落在碉堡的底部”“保持刚才的姿态”是怎样理解的？从数学的眼光来看，对应的是线段相等还是夹角相等？这些问题是学生正确理解题意的关键．教学中应先给学生充分的阅读和思考时间，帮助学生解决阅读理解上的困难．需要说明的是，战士解决实际问题的方法是一种估测，不是准确求值，这里只需正确说明测量方法的原理即可．

2.3 建构模型，解决问题

你能用学过的数学知识，来解释战士测量办法中蕴含的数学道理吗？

教学预设 已知：如图3，在△ABC和△DEF中，AC⊥BC于点C，DE⊥EF于点F，AC=DE，∠A=∠D．求证：BC=FE．

图3

设计意图大部分学生对战士的办法表示认同，那么如何用学过的数学知识来解释，特别是说清楚其中的道理，有一定挑战性．此时应引导学生用数学语言表达所研究的问题，将实际问题数学化、符号化，转入数学内部来研究，使其经历自主探究、合作交流并形成数学模型的活动过程，尝试用数学眼光观察、抽象，用数学语言表达，建构数学模型，阐释测量办法的合理性，以培养学生的数学建模能力，体会现实生活中数学的应用价值．

2.4 活动探究，类比迁移

活动1 测量池塘两端的距离．

如图4，A,B两点位于我们校园内一池塘的两端，小明同学想用刻度尺和绳子测量A,B两点间的距离，但绳子不够长，你能帮他设计测量A,B两点间的距离的方案吗?请说明方案的设计原理．

图4 图5

教学预设 学生会给出如图5所示的测量方案．

设计意图呈现一个与学生生活联系紧密的现实情境，提出需要解决的问题，鼓励学生尝试进行解决，在充分自主探究、合作互助的基础上，由学习小组的学生代表展示方案，教师适时点评(方案多样，利用三角形全等设计方案，合理可实施即可)，再介绍教科书上“叔叔”的测量方案，鼓励学生观察 图4，思考并说明这种测量方案的道理，并尝试用数学语言表达理由(推理)．

活动2 测量河道两岸的距离．

如图6，要测量河道两岸两点A,B间的距离，可用什么方法？请设计方案并说明这样做的合理性．

设计意图在活动1中，学生解决了测量两点都可以到达的实际问题，这里呈现的实际问题是测量有一点不可到达的两点之间的距离，包含两种不同的位置情况，问题求解的难度有所提升．通过一题多变的设计，帮助学生抓住全等模型的本质，培养学生思维的灵活性和深刻性．

活动3 测量外墙两点的距离．

图7

如图7，一座大楼相邻两面墙，现需要测量外墙根部两点A,B两点之间的距离(人无法进入墙内测量)，请你设计测量方案，并说明理由．

设计意图从测量对象的两点都可以到达，到只有一个点可以到达再到两点都不可以到达，实际问题情境的设计遵循了由低到高、由简单到复杂、层层递进的原则，驱使学生的思维螺旋上升，体会实际问题的数学化过程，使学生再次经历数学建模活动过程，提高分析和解决问题的能力．

2.5 当堂反馈，巩固提升

图8

如图8，一条输电线路跨越一个池塘，池塘两侧A,B处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺无法直接量出A,B间的距离．请你设计一个方案，测出A,B间的距离，并说明理由．

设计意图提供实际问题让学生当堂解决，是反馈课堂学习效果的有效路径．学生解决问题的方案具有多样性，对于学生的方案，采用展示互评的方式进行，教师实时点拨、追问，以增强学习效益．

2.6 课堂小结，布置作业(略)

3 回顾与反思

3.1 教学设计的立意

数学源于生活，又服务于生活．将源于现实生活的实际问题数学化处理后，转化为数学内部的问题，并用数学知识予以解决，这个活动过程就是数学建模．数学建模是连接现实世界与数学的桥梁，面对实际问题，通过观察从现实世界向数学内部看，思考用什么样的数学知识解决问题，是数学建模与应用题教学的本质区别．本节课教学设计立意于数学建模活动过程，使学生在建模活动、探究活动中学会观察、思考和表达，发展学生逻辑推理能力和数学建模能力．

在教学环节设计方面，本节课先让学生回顾旧知，系统梳理三角形全等的有关知识，为新课学习做好充分的准备，从数学学习的一般路径(概念→性质→条件→应用)自然引入课题．接着从创设情境—建构模型—探究活动—当堂反馈—小结作业等环节逐步展开．在问题情境设计方面，整节课设计了1个情境和3个探究活动，以提供丰富的实际问题情境，激发学生学习的兴趣．探究活动中的3个问题情境遵循了横向关联、纵向深入的设计理念，呈现不同的、具有挑战性的问题情境，促进学生思维拾阶而上，在三角形全等模型的建构中发展数学建模能力．在探究活动目的方面，不能满足于学生正确设计出测量方案，利用三角形全等模型解决问题，还应关注学生的方案说明，即用数学思维思考和用数学语言表达，以检验全等模型建构的合理性，不断优化数学模型．

3.2 教学反思

(1)在观察中转化

图9

学习三角形全等的知识有何用？本节课从解决实际问题的角度促进学生感受数学知识的应用价值．“炸碉堡”问题呈现后，在介绍战士的办法之前，应鼓励学生独立观察、思考，尝试寻找测量的办法．事实上，随着数学知识学习的深入，解决问题的方法会更多，就现阶段而言，学生自主想到将实际问题转化为数学问题解决，是会用数学眼光观察实际问题的基础，值得肯定．用数学的眼光观察实际问题，将实际问题转化为数学问题是解决问题的关键．比如通过观察将“炸碉堡”问题先转化为点到点的距离问题，再根据战士的身高(边)及与地平面的位置(垂直)转化为直角三角形问题，帽檐调整视线(定角)，最终将实际问题转化为数学问题：在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，AC可测量，∠BAC确定，求BC(不可测)的长(图3)．又如“测量外墙两点的距离”问题，转化为数学问题：如图9，已知OA,OB的长可测量，求AB的长(不可直接测量)．

(2)在思考中明理

人的思维实现着从现象到本质、从感性到理性的转化，使之达到对客观规律、事物的理性认识，从而构成人类认识的高级阶段[2]．数学是思维的体操．一节好的数学课要在培养学生数学思维上下功夫．本节课的教学设计尤为注重学生的说理，教学中通过自主思考、设计方案、交流展示等方式，调动学生积极参与问题探究活动，经历观察、抽象、转化、归纳、设计、比较、优化等思维活动过程，阐释方案，说明原理，培养学生的理性思维．比如“炸碉堡”问题中战士想出的方法能够测量出我军与碉堡的距离吗？引导学生思考现实经验背后蕴含的数学道理，即用三角形全等的知识说明测量方法的合理性，在推理中明晰原理．

(3)在表达中建构

数学学习的价值主要体现于对实际问题的解决．从问题解决的视角看，学生学习有用的数学是对发展数学核心素养的一种狭义上的诠释．从人的发展的关键能力来看，将实际问题转化为数学问题，用数学符号系统进行表征，建构合适的数学模型并求解，检验后最终解决实际问题，将是人终生发展的必备技能．因此，教学中应注重数学语言表达的训练，引导学生经历数学建模活动过程，在引模、建模、解模、验模中培养数学建模能力．比如“平行河道两岸的距离”测量问题，是一种源于真实生活的现实情境，将其数学化表达转入数学内部研究就是要解决平面内两点间的距离(可达其中一点，两点间距离无法直接测量)，并建构三角形全等模型尝试解决(图10)．

图10

[1] 马复．义务教育教科书(数学七年级下册·教师教学用书)[M]．北京：北京师范大学出版社，2013：188-189．

[2] 罗敏娜．中学数学思维教学研究[M]．北京：北京师范大学出版社，2012：3．