再探椭圆的一个定值命题的推广*

(安徽省滁州中学 239000)

本文通过对椭圆的一个定值命题的推广过程进行反思，揭示这一定值命题的几何意义，继而给出能够推广的原因：关于原点对称的点，其极线关于原点对称.文[1]对椭圆中的一个与焦点弦有关的定值命题进行了探究.该命题为：

图1

文[1]最终通过分析解析几何的坐标法证明思路，获得一般化探究的路径，从而完成对这一命题的推广.为了从几何角度进一步解释文[1]为什么能够对命题1进行推广，需要给出一个能够揭示命题1几何意义的证明，即：

图2

本文讨论过程中涉及的线段均指有向线段.

先以命题2为例，说明能够推广的原因，然后以此为基础，指出能够推广为命题3的原因.

图3

证明设点P，Q的极线与直线PQ分别交于点G，H，直线AB交点P的极线于点M，直线AC交点Q的极线于点N，过点A作极线的平行线交直线PQ于点U．

文[1]提出将点A分裂为两点A1，A2，得出一个更为一般性的命题.通过对命题1能够推广为命题2和命题3的原因的分析，接下来给出这一命题的证明，并且给出其推广命题.观察文[1]提出的最后一个命题：

图4

获得圆锥曲线的一般性命题并非是圆锥曲线问题的探究终点，更为重要的是探讨圆锥曲线命题的几何意义，从而获得对命题的透彻理解.通篇考虑本文对这一定值结论的反思历程，最为关键的一步是获得能够揭示命题1的几何意义的证明，正是从文[1]提出的推广命题中，看出定值的代数式的几何意义，才得出一个关键判断：椭圆的这一定值命题极有可能是由焦点、准线的关系(极点极线)生成的，最后形成本文的命题1的新证.