指数反余弦函数变换灰色预测模型
2021-05-17纪跃芝
刘 阳， 纪跃芝
(长春工业大学 数学与统计学院， 吉林 长春 130012)
0 引 言
灰色预测模型[1]因为数据少、原理简单易懂等诸多优点被广泛应用于预测当中，其中最常用的是GM(1,1)模型。任何一种方法的使用都是具有前提条件的，灰色预测模型亦是如此。对于生成序列不满足准指数规律[2]的序列，如果直接使用灰色预测模型进行模拟和预测，有时得到的预测结果会与实际值偏差非常大。
为了追求更高精度的预测结果，学者们提出了数据变换方法，例如对数函数变换[3]、幂函数变换[4]、负指数函数变换[5]、反余弦函数变换[6]等，这些数据变换方法大多只关注于数据序列的光滑度。然而，一个能够显著提高模型预测精度的数据变换方法需要考虑的因素是多方面的，文献[7]指出了更一般的构造准则，以保证构造的数据变换满足减小光滑比、级比压缩和还原误差不增大等条件。
文中根据数据变换的构造准则，提出指数反余弦函数变换方法，给出了指数反余弦函数变换性质的证明，并将该数据变换方法应用到吉林省2009-2017年粮食产量数据的实证分析中，同时使用多种灰色预测模型进行比较，结果表明，该数据变换方法应用到GM(1,1)模型中是可行的。其中可变参数a的合理取值也能有效提高模型预测精度。最后，使用该模型对吉林省2018-2020年粮食产量进行预测。
1 数据变换的构造准则
1.1 光滑比和级比
定义1[8]设序列X=(x(1),x(2),…,x(n)),x(k)>0,k=1,2,…,n，则序列X的光滑比、级比和级比偏差分别为
δ(k)=|1-σ(k)|=
定理1[7]设序列X=(x(1),x(2),…,x(n)),x(k)>0,k=1,2,…,n，变换f(x(k))>0，经过f(x(k))变换后的序列，若满足
ρf(k)<ρ(k),k=2,3,…,n,
则f(x(k))可减小序列光滑比，其中ρf(k)和ρ(k)分别为变换后序列和原序列的光滑比，等价条件是f(x(k))可以表示为x(k)g(k)的形式,其中,g(k)是一个非负且严格递减的序列,若满足
δf(k)<δ(k),k=2,3,…,n,
f(x(k))为级比压缩变换。
1.2 还原误差
定理2[8]若变换f是|f′(x)|≥1的函数，则变换的还原误差不会增大。
2 指数反余弦函数变换的性质
性质1指数反余弦函数，即aarccosx,a>1,0 即g(k)严格递减。由定理1可得ρf(k)<ρ(k),k=2,3,…,n。 性质2设递增序列 X=(x(1),x(2),…,x(n)), x(k)>0,k=1,2,…,n， 且满足 则经过指数反余弦函数变换后得到的新序列的级比要小于原非负单调序列的级比，指数反余弦函数变换为级比压缩变化。 即 δf(k)<δ(k)。 由定理1可知,指数反余弦函数变换对于非负单调序列而言为级比压缩变换。 性质3指数反余弦函数变换对非负单调序列而言，还原误差减小了。 证明 因为x(k)>0,k=1,2,…,n,指数反余弦函数的定义域为x(k)∈(0,1)，若可变参数a≥e，则 由定理2可知性质3成立。 灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立微分方程模型，预测事物未来趋势发展状况[9]。 1)数据标准化。为了保证函数变换前的数据序列在定义域(0,1)内，要先对序列 A(0)=(a(0)(1),a(0)(2),…,a(0)(n)), a(0)(k)>0,k=1,2,…,n 进行标准化处理，得到序列 X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)), 2)函数变换。对序列X(0)进行指数反余弦函数变换，得到序列 Y(0)=(y(0)(1),y(0)(2),…,y(0)(n)), 其中 y(0)(k)=aarccosx(0)(k), k=1,2,…,n。 3)GM(1,1)建模[10]。对Y(0)做累加生成，得到累加生成序列 Y(1)=(y(1)(1),y(1)(2),…,y(1)(n)), 其中 k=1,2,…,n。 令 Z(1)=(z(1)(2),z(1)(3),…,z(1)(n)), 其中 z(1)(k)=0.5y(1)(k)+0.5y(1)(k-1), 则GM(1,1)模型为 y(0)(k)+az(1)(k)=b, k=2,3,…,n。 白化方程为 时间响应序列为 k=1,2,…,n, 即为预测方程。 4)数据还原。先根据GM(1,1)模型一次还原得 k=1,2,…,n, 再根据y(0)(k)=aarccosx(0)(k)二次还原得 k=1,2,…,n。 近年来，随着吉林省人口数量的增长，粮食产量呈现上升趋势。采用吉林省2009-2017年粮食产量数据作为原始数据序列，此时，序列是递增的，满足性质要求。 利用反余弦函数变换模型(见文献[6])和指数反余弦函数变换的GM(1,1)模型进行预测，需将原数据标准化至(0,1)区间内，方法为 根据原始数据和标准化数据，分别采用GM(1,1)模型、反余弦函数变换模型、指数反余弦函数变换模型进行建模，模拟值及相对误差见表1。 表1 不同灰色预测模型的计算结果 其中，MAPE为平均绝对百分误差，反映预测的平均相对误差是用于评价不同预测方法好坏的标准，计算公式为 从表1可以看出，基于指数反余弦函数变换的GM(1,1)模型MAPE最小，仅为1.21%。吉林省2009-2017年粮食产量实际值与三种灰色预测模型模拟值的拟合图如图1所示。 图1 不同灰色预测模型的拟合图 从图1可以看到，指数反余弦函数变换模型所得模拟值与吉林省2009-2017年粮食产量实际值拟合的最好。 由于指数反余弦函数变换中的a是一个可变参数，a取不同值的模拟结果见表2。 从表2可以看出，a的取值对于模型精度是有影响的，但是MAPE均小于GM(1,1)模型和反余弦函数变换模型。 表2 文中模型a取不同值的计算结果 使用基于指数反余弦函数变换的GM(1,1)模型对2018-2020年吉林省粮食产量进行预测，预测结果见表3。 表3 2018-2020年吉林省粮食产量的预测值 万t 基于数据变换的构造准则，提出了指数反余弦函数变换，将这种数据变换方法应用于吉林省2009-2017年粮食产量的实证分析中，同时进行了多种灰色预测模型比较，结果说明,该灰色预测模型精度最高。该数据变换中的可变参数a的合理取值也能有效提高模型精度。最后，使用此模型对吉林省2018-2020年粮食产量进行预测。
3 基于指数反余弦函数变换的GM(1,1)模型
4 吉林省粮食产量实证分析
5 结 语
