刚度和齿隙对功率分流传动系统均载特性影响的敏感度分析

靳广虎，高鹏,2，严岳胜，朱如鹏

(1.南京航空航天大学直升机传动技术重点实验室，江苏南京，210016；2.南京模拟技术研究所，江苏南京，210016；3.直升机传动技术国家级重点实验室，湖南株洲，412002)

功率分流齿轮传动系统多用于大功率传动，具有减速比大、传动级数少、质量小和可靠性高等优点。与传统行星齿轮传动相比，直升机主减速器采用具有载荷分流的定轴传动构型具有显著的优点[1-4]。功率分流传动构型的特点是：一个齿轮同时与两个齿轮相啮合，则每分支承担的载荷减半，从而实现载荷的分流。载荷减小可以降低齿轮的体积(质量)以及线速度，这对高速重载的齿轮传动具有非常重要的意义。该类构型工程化应用的关键技术之一是2个分支载荷均等，否则容易引起轮齿的折断。围绕载荷均等的技术要求，研究学者们开展了大量的研究工作。在圆柱齿轮功率分流领域，学者们提出采用平衡梁法[5-6]、同步角法[7-8]、弹性轴法[9-14]以及含弹性材料的齿轮腹板[15]等来提高传动系统的均载特性。为提高面齿轮功率分流传动的均载特性，采用的主要方法有输入轴弹性浮动[16]和含弹性腹板的面齿轮[17]等。此外，相关学者还开展了分流传动系统的动态响应[18]、均载系数[19-26]以及试验验证[27]等研究。

本文作者根据直升机主减速器传动系统的特点，结合面齿轮和圆柱齿轮功率分流传动的优点，提出面齿轮-圆柱齿轮两次功率分流的传动构型。针对该构型的均载特性，考虑齿轮副的时变啮合刚度、误差和齿侧间隙等因素，建立弯扭耦合动力学模型，研究影响该构型均载特性的敏感性参数，分析主要敏感性参数对均载系数影响的规律，为提高功率分流传动系统均载特性的设计提供一定的参考和理论支撑。

1 功率分流传动系统的动力学方程

1.1 动力学模型

图1所示为双输入两次功率分流传动系统的结构示意图。由图1可见，两次功率分流传动系统由2 个构型完全相同的子系统组成。图1中：Zjm，ZLf_k，ZRf_k，ZLp_k，ZRp_k，ZLis_k，ZLih_k，ZRis_k，ZRih_k和ZB分别表示输入圆柱齿轮、左面齿轮、右面齿轮、左分扭圆柱齿轮、右分扭圆柱齿轮、左双联轴圆柱齿轮、左双联轴人字齿轮、右双联轴圆柱齿轮、右双联轴人字齿轮和大人字齿轮；支撑ZLf_k和ZRf_k的轴分别命名为左分扭轴和右分扭轴；支撑ZL2s_L和ZL1s_L的轴分别命名为左分支双联轴2和左分支双联轴1；支撑ZR2s_L和ZR1s_L的轴分别命名为右分支双联轴2 和右分支双联轴1；左、右2 个子系统的零部件分别采用后缀L和R来区分。其中，i=1，2；j=L，R；k=L，R。

该系统的工作原理为(以左分支子系统为例)：输入功率首先通过面齿轮传动实现换向与功率分流(定义为输入级)，然后经圆柱齿轮传动实现功率的二次分流(定义为分扭级)，最后经四支分路由人字齿轮将功率汇合(定义为并车级)，通过大人字齿轮输出功率。

针对双输入两次功率分流传动系统，建立图2所示的动力学模型。为清晰地表达视图，只给出左分支的动力学模型。啮合刚度、轴的扭转和支撑刚度用弹簧模拟。其中：K，c，b和e分别表示支撑刚度、阻尼、齿侧间隙和传递误差；φD_k，φm_k，φjf_k，φjp_k，φjis_k，φjih_k，φB和φo分别表示输入端、输入齿轮、面齿轮、圆柱齿轮、大圆柱齿轮、人字齿轮、输出大齿轮和输出端的微转角；Xm_k，Xjp_k，Xji_k和XB分别表示输入轴、分扭轴、双联轴和输出轴在X方向上的位移；Yjp_k，Yji_k和YB分别表示分扭轴、双联轴和输出轴在Y方向上的位移；Zm_k和Zjp_k分别表示输入轴和分扭轴在Z方向上的位移。因此，该系统共有64 个自由度，其广义坐标Y为

1.2 动力学方程

设左、右2 个子系统输入转矩分别为TLD和TRD；输出转矩为To；输入端和输出端的转动惯量分别为ID_k和Io；齿轮Zjm，Zjf_k，Zjp_k，Zjis_k，Zjih_k和ZB的集中质量分别为mjm，mjf_k，mjp_k，mjis_k，mjih_k和mB，转动惯量分别为Ijm，Ijf_k，Ijp_k，Ijis_k，Ijih_k和IB。根据所建立的动力学模型以及牛顿动力学原理，可推导出两次功率分流传动系统的动力学方程为：

图2 两次功率分流传动系统的动力学模型Fig.2 Dynamic model of twice power split transmission system

式中：KDm_k，Kjfp_k，Kjisih_k和KBo分别为输入轴、分扭轴、双联轴和输出轴的扭转刚度；Kmx_k和Kmz_k，Kjpx_k、Kjpy_k和Kjpz_k，Kjix_k和Kjiy_k，KBx和KBy分别为输入轴、分扭轴、双联轴、输出轴在坐标方向上的支撑刚度；Fmx_k和Fmz_k，Fjpx_k、Fjpy_k和Fjpz_k，Fjix_k和Fjiy_k，FBx和FBy分别为输入轴、分扭轴、双联轴、输出轴在坐标方向上承受的载荷；Fjnmf_k，Fjnpis_k和FjnBih_k分别为齿轮Zjm与Zjf_k，Zjp_k与Zjis_k和Zjih_k与ZB之间的啮合力；rjbm和rjbf_k分别为齿轮Zjm的分度圆半径和面齿轮Zjf_k的等效啮合半径；rjbp_k，rjbis_k，rjbih_k和rbB分别为齿轮Zjp_k，Zjis_k，Zjih_k和ZB的基圆半径。

该传动系统的动力学方程组可用矩阵形式表示为

式中：M，C和K分别为系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；Ft为外部激励矢量。该传动系统存在刚体位移，可根据传动系统的力封闭特点进行处理。鉴于本文主要是研究影响均载系数的敏感性参数，其中，传动轴的等效扭转刚度采用材料力学理论计算获得；采用赫兹接触理论分析轴承弹性变形以及弹性变形和轴承外加载荷之间的关系，进而计算出轴承的支撑刚度。

齿轮副间的啮合力与啮合线方向上的变形和啮合刚度有关，齿轮副间的啮合力Fl为

式中：Kl，f(Yl)和cl分别为相应啮合齿轮副间的啮合刚度、间隙函数和啮合阻尼；l表示jnmf_k，jnpis_k和jnBih_k。令相应齿轮副间的齿侧间隙为2bl，则间隙函数f(Yl)为

2 均载系数及敏感度

2.1 均载系数

采用龙格库塔法求解该系统的非线性微分方程组可获得系统的动力学响应，将位移响应代入式(7)，可分别获得该输入级、分扭级和并车级齿轮副间的动态啮合力Fjnmf_k(t)，Fjnpis_k(t)和FjnBih_k(t)。分别用ΩLmf_k(t)和ΩRmf_k(t)，Ωj1s_k(t)和Ωj2s_k(t)，Ωj1h_k(t)和Ωj2h_k(t)表示输入级面齿轮功率分流传动的左右端、分扭级分支1和分支2、并车级分支1和分支2的动态均载系数，则两次功率分流传动系统中的各动态均载系数为

在功率分流传动系统中，两分支的最大均载系数定义为该传动级的均载系数。令Ωmf_k，Ωjs_k和Ωjh_k分别为输入级、分扭级和并车级的均载系数，则各传动级均载系数为

2.2 敏感度定义

该系统的传动链比较复杂，包含有较多传动轴、支撑以及啮合齿轮副，涉及的参数较多。为提高传动系统的均载性能，开展主要参数对传动系统均载系数影响的敏感度分析，可以为该传动系统的设计提供理论依据。为获取参数变化对传动系统各分支均载系数影响的程度，定义均载系数Ω对参数κl的敏感度SΩκl为

式中：κl和κl′分别为变化前后的参数，κl变动量取5%；Ω′和Ω分别为参数κl变化前后某分支的均载系数。

3 均载特性与参数的敏感度分析

在满足轮齿互换性的前提下，以体积最小为优化目标，基于序列二次规划算法，利用MATLAB 中的优化工具箱求解系统的优化模型，获得了传动系统的主要设计参数。该传动系统的基本参数如下：输入功率为2 000 kW，转速为21 000 r/min；输入级、分扭级和并车级齿轮副的齿数比分别为28/140，20/59 和15/100；模数分别为3.0，3.0 和4.5 mm；压力角分别为20.0°，22.5°和20.0°；并车齿轮的螺旋角为33.5°；输入齿轮、面齿轮、圆柱齿轮和人字齿轮的齿宽分别为50，25，50和70 mm。

3.1 支撑刚度对均载特性影响的敏感度分析

图3所示为支撑刚度对各分支均载特性影响的敏感度柱状图。图3中，横坐标数值1～18 分别表示Kmx-k，Kmz-k，KRpx-k，KRpy-k，KRpz-k，KLpx-k，KLpy-k，KLpz-k，KR1x-k，KR1y-k，KR2x-k，KR2y-k，KL1x-k，KL1y-k，KL2x-k，KL2y-k，KBx和KBy。由图3可见：影响均载系数的敏感性参数较多。但是，若选取影响最大的敏感性参数，则会发现对输入级均载系数影响最大的敏感性支撑刚度是Kmx-k(如图3(a)所示)；对分扭级和并车级均载系数影响最大的敏感性支撑刚度是双联轴1在Y方向的支撑刚度，如图3(b)～3(e)所示。

为进一步验证和获取上述敏感性参数对均载特性的影响，开展其刚度变化对整个系统均载系数的影响研究，计算结果如图4所示。由图4可见：增大Kmx-k的支撑刚度，输入级分流传动的均载系数变差，但其他分支的变化较小；当支撑刚度很小时，输入齿轮的浮动量增加，此时的均载系数最好。随着KR1y-k增大，右分支的分扭级和并车级均载系数降低，左分支的分扭级和并车级均载系数基本不变；但是，面齿轮分流传动的均载系数增大(如图4(b)所示)；除了面齿轮分流传动的均载系数改善以外，KL1y-k变化对均载系数的影响与KR1y-k的相似。

3.2 扭转刚度对均载特性影响的敏感度分析

图5所示为扭转刚度对各分支均载特性影响的敏感度柱状图。图5中，横坐标数值1～8分别表示KDm_k，KRfp_k，KLfp_k，KL1s1h_k，KL2s2h_k，KR1s1h_k，KR2s2h_k和KBo。从图5(a)可知：输入级均载系数对KRfp_k最敏感，这主要与两分扭轴的长度有关；左分支、右分支的分扭级和并车级均载系数对双联轴2(KL2s2h_k和KR2s2h_k)最敏感(如输入轴的转动方向改变，则左分支、右分支的分扭级和并车级均载系数对双联轴1最敏感)，如图5(b)～5(e)所示。

从均载系数的变化来看，KRfp_k变化对其他分支的均载系数影响较小，但对输入级分流传动的均载系数影响较大，如图6(a)所示；双联轴2的扭转刚度变化主要影响所在分支的分扭级与并车级的均载系数，且存在拐点现象，如图6(b)～6(c)所示。从功率分流传动构型来看，尽管传动结构具有几何对称性，但是承受的载荷不对称。载荷不对称使得双联轴支撑的齿轮副中心距存在差异，进而使得齿轮副的转角发生变化，最终使得均载系数发生变化。通过改变双联轴的扭转刚度，则其承载条件下的扭转变形量改变，能够对载荷不对称引起的转角变化进行补偿，从而改善均载性能。

图3 支撑刚度对各分支均载特性影响的敏感度Fig.3 Sensitivity of influence of supporting stiffness on load sharing characteristics of each branch

3.3 齿侧间隙对均载特性影响的敏感度分析

除了振动引起的载荷变化以外，实现分流传动载荷均等的关键因素之一是分流齿轮副的转角同步变化。因此，齿侧间隙的分布及其相互间匹配非常重要。图7所示为齿侧间隙对各分支均载特性影响的敏感度柱状图。图7中，横坐标1～10 分别表示bRnmf_k，bLnmf_k，bRnp1s_k，bRnp2s_k，bLnp1s_k，bLnp2s_k，bRnB1h_k，bRnB2h_k，bLnB1h_k和bLnB2h_k。输入级分流传动的均载系数对输入级齿侧间隙较敏感(如图7(a)所示)，尤其是左分支的齿侧间隙bLnmf_k；分扭级的均载系数仅仅对其本身的齿侧间隙较敏感(如图7(b)和图7(c)所示)；并车级的均载系数不仅对其本身的齿侧间隙较敏感，而且对分扭级的齿侧间隙也较敏感，如图7(d)和7(e)所示。

图4 支撑刚度对均载系数的影响Fig.4 Influence of supporting stiffness on load sharing coefficients

图5 扭转刚度对各分支均载特性影响的敏感度Fig.5 Sensitivity of influence of torsional stiffness on load sharing characteristics of each branch

图6 扭转刚度对均载系数的影响Fig.6 Influence of torsional stiffness on load sharing coefficients

图7 齿侧间隙对均载特性影响的敏感度Fig.7 Sensitivity of influence of backlash on load sharing characteristics of each branch

图8所示为齿侧间隙对各分支均载系数影响的变化曲线图。从图8可以看出：随着所选取的敏感度较大的齿侧间隙增大，均载系数先减小后增大，存在拐点。在功率分流传动系统的设计中，可以利用这一现象，开展齿侧间隙参数的匹配设计，通过合理分配齿侧间隙改善系统的均载特性。

图8 齿侧间隙对均载系数的影响Fig.8 Influence of backlash on load sharing coefficients

4 结论

1)输入级均载系数对输入轴支撑刚度最敏感，输入轴采用浮动支撑有利于提高其均载性能；分扭级和并车级均载系数对双联轴1在Y方向的支撑刚度最敏感，适当减小刚度可改善其均载性能；同时，改变上述刚度对其他传动级影响较小。

2)输入级均载系数对右分扭轴的扭转刚度最敏感，增大右分扭轴的扭转刚度不利于提高该传动级的均载特性；分扭级和并车级均载系数对双联轴2的扭转刚度最敏感，随着扭转刚度增大，均载系数先减小后增大，因此适当选择双联轴2的扭转刚度有助于改善系统的均载特性。

3)输入级均载系数对输入级齿轮副间的齿侧间隙较敏感，尤其是左分支齿轮副间的齿侧间隙；分扭级和并车级均载系数对其本身的齿侧间隙较敏感；随着齿侧间隙变化，均载系数曲线存在拐点现象。因此，在该构型的传动设计中，可通过齿侧间隙的参数匹配设计提高整个系统的均载性能。