基于变分法的超声乳腺肿瘤分割

许 珊，陈 科，林江莉

（四川大学材料科学工程学院，四川 成都 610065）

乳腺癌是所有癌症中女性发病率最高的，也是全世界癌症死亡的主要原因之一[1]。为了提高治愈率、降低发病率和病死率，早期诊断和发现是至关重要的[2]。目前科学家还不确定乳腺癌的病因，只知道一些增加乳腺癌发病可能性的危险因素：年龄增长、遗传、辐射暴露、乳腺组织致密、饮酒等。降低死亡率的关键是通过临床检查及早发现乳腺癌的症状和体征。乳腺超声成像以其无电离辐射、无创、经济实惠以及实时成像等优点，已成为乳腺癌早期发现的重要和有效的手段之一，最适合于资源匮乏的国家和地区的大规模乳腺癌筛查和诊断[3]。计算机辅助诊断过程一般包含4 个阶段：图像去噪、图像分割、图像特征提取以及图像分类。图像肿瘤区域的分割是后续计算机辅助诊断的关键步骤。乳腺肿瘤的超声图像分割是从图像中提取感兴趣的区域或恶性部分，以使检测和诊断更加准确和可靠。超声乳腺图像及乳腺肿瘤分割结果，如图1 所示，其中红线代表了乳腺肿瘤区域。

图 1 超声乳腺图像及肿瘤区域

乳腺超声采用MHz 频率产生mm 级波长的超声波，在超声图像上会呈现固有的乘性斑点噪声，难以去除。斑点噪声的存在严重降低了超声图像肿瘤边界清晰度，影响了乳腺超声图像的自动分割、特征提取和分类等后续处理[4]。在过去几十年，众多超声乳腺肿瘤分割方法已经被提出，大致可以分为基于模型的分割、基于分类方式的分割和基于学习方式的分割3 种方式[5]。基于模型的分割方法包含马尔科夫链模型[6]和水平集[7]等方法，这些方法将图像分割问题转换为优化目标能量函数。基于分类方式的分割包含需要人工选择阈值的直方图方法[8]和后期需要配合形态学来获得最终分割结果的分水岭方法[9]等。虽然近几年基于深度学习的分割方法[10]在超声乳腺肿瘤分割领域得到了发展，但是深度学习不仅需要大量的训练数据集，在获取训练数据对时需要有经验的医生手动获得训练数据对应的金标准，随后再通过对标签数据集进行长时间的训练来获得分割模型。基于变分法和偏微分方程的模型因其灵活性和计算的方便性而备受瞩目。变分法分割模型可分为基于边缘的模型和基于区域的模型。基于边缘的方法利用了图像的一阶和二阶导数的局部性质，其主要缺点是难以处理含有大量噪声的图像[11]。基于区域的方法对于含有噪声的图像具有较强的鲁棒性[12]，例如Mumford-Shah（MS）模型[13]，但是传统的基于MS 模型的分割算法，需要在肿瘤轮廓周围进行大量标记，耗时、耗力。本文采用基于MS 模型的加权分割算法来分割超声乳腺肿瘤区域，通过椭圆拟合的方式选取标记点，在医生以4 个标记点进行定位以后，自动分割肿瘤。这种方法减少了人工取点消耗的时间，所需图像数据量小，更有利于辅助临床诊断治疗。

1 基于MS 模型的加权选择分割算法的超声乳腺肿瘤分割

从超声图像中提取感兴趣区域的选择性分割是非常重要且具有挑战性的。本文的分割算法是一种基于Mumford-Shah 模型[13]的加权选择性分割算法。该算法过程如下：首先根据Mumford-Shah 模型对输入图像中的目标区域进行平滑逼近，根据乳腺肿瘤大小，在乳腺肿瘤区域内选择合适数目的标记点，根据这些标记点再利用边缘函数和距离函数构造一个加权函数；然后将加权函数与一个基于MS 模型的二阶分割函数结合形成加权选择性分割函数，再利用乘子交替方向法（alternating direction method of multipliers，ADMM）求解分割函数，从而得到近似解；最后利用这个近似值执行阈值分割，从而获得乳腺肿瘤区域。

1.1 椭圆拟合与标记点

由于超声乳腺肿瘤区域呈类椭圆形，因此将医生标记的4 个点作为类椭圆形的长轴和短轴，以获取近似的椭圆形。同时，为了使标记点得到的加权函数更加精确，从而使分割函数更加精确，本文再选取得到的类椭圆形边界的与医生标记点距离较远的4 个八分点作为补充标记点。这样通过8 个标记点来计算加权函数。在肿瘤边界上标记4 个点选择肿瘤ROI 区域，如图2（c）所示，椭圆长轴和短轴的4 个端点，即蓝色“*”点。椭圆拟合及自动选取的额外标记点的步骤为：1）根据长短轴4 个端点获得椭圆的方向角以及椭圆中心坐标（红色“*”点）；2）利用得到的长轴和短轴，使用MATLAB 函数ecc = axes2ecc（semimajor，semiminor）计算椭圆的偏心率，其中semimajor 和semiminor 代表半长轴和半短轴；3）利用MATLAB自带ellipse1 函数根据椭圆中心坐标、长半轴、偏心率和方向角得到表示椭圆边界的边界坐标；4）使用plot 函数画出椭圆，如图2（c）红色椭圆曲线；5）根据需要标记点的个数N，将椭圆边界平均划分为N−1 段，随即获取N点对应的横纵坐标值；6）去除与医生标记的4 个接近点，留下其余N−4 个点。本实验中，除了医生标记的4 个点以外，额外增加4 个点，即黄色“*”点，共8 个点作为目标区域的标记点来获得距离函数d(x)，如图2 所示。

图 2 标记点位置及距离函数

1.2 基于MS 模型的加权选择性分割算法

本文基于MS 模型的加权选择性分割算法来分割超声乳腺肿瘤区域。其分割算法由2 个步骤组成。

第1 步通过标记点获取目标区域的距离函数及边界探测器。第2 步解决最小化问题，获取肿瘤分割二值图像。利用边缘函数和距离函数构造加权函数，将加权函数与基于MS 模型的二阶函数结合形成加权选择性分割函数。该加权选择性分割函数是一个凸函数，因此利用乘子交替方向法（ADMM）求解函数最小值，进而得到肿瘤分割二值图像的近似值。最后利用简单的阈值分割方法得到肿瘤分割二值图像。

1.2.1 获得目标区域的距离函数和边界探测器

在肿瘤轮廓周围进行标记，如图2（c）所示。距离函数d(x): Ω →R，利用这些点X={x1,x2,x3,···,xk}可定义为

式中：h是一个正常数；k是标识点的数量。距离函数d(x)在标记点附近的接近于0，远离标记点的接近于1。

为了获得目标区域的边界信息，边界探测器g(x)定义为

式中：β ＞0，为调整边界的强度；f:→R是给定的图像。

1.2.2 获取肿瘤分割二值图像

利用边缘函数和距离函数构造加权函数。该加权函数为目标区域提供较大的值，为其他区域提供较小的值。将加权函数与基于MS 模型的二阶函数结合形成加权选择性分割函数，即加权MS 模型。该模型是一个凸函数，因此利用ADMM 可得到肿瘤分割二值图像的近似值。

设Ω ⊂R2是具有Lipschitz 边界的有界连通开集，Γ是 Ω中的一条紧曲线，f:→R是给定的图像。

式中：α和 β是正常数；H1是一维Hausdorff 测度，对于规则曲线，H1代表Γ 的长度。加权MS 模型定义为

模型（4）是凸函数，所以可以使用ADMM 算法来求解。将最小化问题式（4）重写为矩阵格式，为

式中：A代表矩阵梯度算子 ∇；u代 表n×n大小的图像相对应的n2×1大小的向量。通过引入额外变量v=Au，则式（5）等价于有条件优化问题，如式（6）所示。

将式（6）转换为非限制优化问题，如式（7）所示。

其中µ＞0是一个惩罚因子。为了求解式（7），使用ADMM 算法分别求取相对于v和u的 最小值。假设u0为u的初始值，通过求解式（8）和式（9），则可得序列：v1,u1,v2,u2,···,vk,uk,vk+1,uk+1,···。

其中，k=0,1,2,···是ADMM 算法迭代次数。式（8）、式（9）的求解过程如下。

1）求解公式（8）。将式（8）改写为式（10）所示。

2）求解公式（9）。引入额外变量p=u−f。利用Split-Bregman 算法将公式（9）转换为条件限制问题。若b0=0，n代表迭代次数，则

公式（12）最小化问题可以通过分别求解p,u解决。首先，对于u而言

矩阵λI+ATA由于是正定矩阵，因此是可逆的，故使用快速傅里叶变换求解公式(13)。

图 3 ADMM 算法求解公式（7）的过程

求解模型（4）获得平滑近似图像u后，利用阈值分割算法获得乳腺肿瘤相对应的二值图像。阈值分割方法可以是K-means 阈值分割、Oust 阈值分割或者手动阈值分割。

2 实验

2.1 实验设置

1）评价标准。本文采用交并比（IOU）、准确率（Accuracy）进行分割算法准确性的度量，其公式为：

式中：TP 指检测有肿瘤且实际有肿瘤的区域，即真阳性；FP 指检测有肿瘤但实际非肿瘤的区域，即假阳性；TN 指检测无肿瘤且实际无肿瘤的区域，即真阴性；FN 指检测无肿瘤但实际有肿瘤的区域，即假阴性。TP、FN、FP、TN 占比如图4 所示。

图 4 TP、FN、FP、TN 占比分布图

2）数据集。本文使用到的超声乳腺图像为灰度图像，由中日友好医院及海宏智像医疗有限公司（天津）提供。超声乳腺图像肿瘤区域比其余区域的像素强度更低。在本文的算法中，假设图像f为原图，把图像(1−f)作为模型（4）的输入，图像f和（1−f）具有相同的结构信息。模型中所有的图像必须进行归一化处理，归一化公式定义为

式中fmax和fmin分别为图像f的最大和最小像素值。实验过程中，为了能够适用于超声肿瘤图像分割 ，设置α=2、µ=20、h=20 以及λ=10。

2.2 实验结果对比

2.2.1 不同标记点个数的分割结果

为了验证本文方法的有效性，将不同个数标记点的分割结果进行对比。从数据集中随机取出100 张图片使用不同标记点个数进行分割，得到的IOU 和 Accuracy 均值如表1 所示。

为了更直接地呈现，图5 示出其中一张图像的不同个数标记的分割结果。图5（a）和图5（b）分别为选取4 个点的手动标记位置和基于MS 模型的加权选择性分割算法得到的平滑近似值。其IOU 等于0.817，准确率为0.93。图5（c）和图5（d）分别为选取6 个点的手动标记位置和基于MS 模型的加权选择性分割算法得到的平滑近似值。其IOU 等于0.885，准确率为0.957。图5（e）和图5（f）分别为选取8 个点的手动标记位置和基于MS 模型的加权选择性分割算法得到的平滑近似值。其IOU 等于0.932，准确率为0.989。图5（g）为医生分割的肿瘤区域（即金标准）。图5（h）示出用不同颜色曲线表示的各个分割肿瘤边界，红色为金标准，绿色为4 个标记点的分割结果，浅蓝色为6 个标记点的分割结果，深蓝色为8 个标记点的分割结果。可见，当标记点的数量更多时有助于得到更精确的肿瘤边界区域。本文选择8 个标记点作为大部分图像的标记点个数。当有必要时，可适当增加标记点个数。

2.2.2 不同标记点位置的分割结果

以人工选择标记点，可以得到图中任意位置的标记点；当以椭圆拟合的方式进行标记点的选择时，标记点只能在椭圆周围。为了证明不同位置对于分割结果的影响，从数据集中随机取出100 张图像以标记点个数均为8 的情况下进行分割，得到的IOU 和 Accuracy 均值如表2 所示。

为了更直接地呈现，图6 示出其中一张图像的不同标记点位置分割视觉效果。其中：图6（a）和图6（b）分别示出选取8 个点在肿瘤区域周围标记的位置和基于MS 模型的加权选择性分割算法得到的平滑近似值，其IOU 等于0.889，准确率为0.951；图6（c）和图6（d）分别示出选取8 个点在肿瘤区域边界两侧标记的位置和基于MS 模型的加权选择性分割算法得到的平滑近似值，其IOU 等于0.881，准确率为0.92。由图6（b）和图6（d）可见，当标记点的位置在肿瘤边界周围时有助于得到更精确的肿瘤边界区域。因为乳腺肿瘤形状是类椭圆型，因此可以利用椭圆拟合的方式选择标记点。

图 5 标记点的个数及分割结果图： （a）手动选取4 个标记点；（b） 图（a）对应的肿瘤区域近似值；（c）手动选取6 个标记点；（d）图（c）对应的肿瘤区域近似值；（e）手动选取8 个标记点；（f）图（e）对应的肿瘤区域近似值；（g）医生标准肿瘤区域；（h）肿瘤边界线

表 2 标记点不同位置分割结果

图 6 不同标记点的位置及分割结果：（a）肿瘤区域周围标记；（b）图（a）对应的分割结果；（c）肿瘤区域边界两侧标记；（d）图（c）对应的分割结果

为了证明椭圆拟合的有效性，将比较在肿瘤边界周围人工选择标记点与利用椭圆拟合选择标记点对分割结果的影响。对数据集中2 000 张图像进行标记分割，得到分割结果的IOU 和 Accuracy均值如表3 所示。可见，这2 种方式得到的分割结果准确率几乎相同。椭圆拟合选择标记点的方式节省了时间，减轻了医生的工作量，更有利于临床应用。

表 3 标记点不同选择方式分割结果

为了更直接地呈现，图7 示出其中一张图像的不同标记点位置的分割视觉效果。其中：图7（a）和图7（b）分别为原图和医生分割的肿瘤区域（即金标准）；图7（c）中的绿色点为人为选取的目标区域标记点；图7（d）为根据图7(c)得到的基于MS 模型的加权选择性分割算法获得的肿瘤区域平滑近似值。将图7（d）获得的肿瘤边界呈现在图7（g）中，其中红色曲线代表医生标注的肿瘤边界，绿色代表图7（d）获得的肿瘤边界。图7（e）是由医生标记的4 个边界点进行椭圆拟合的结果，其中深蓝色直线为拟合椭圆的长轴与短轴，红色点为拟合椭圆的中心点，利用中点位置的方法再在椭圆上自动选择4 个点，如黄色“*”所示，将这8 个点作为目标区域的标识点，用于获取距离函数d(x)。图7（f）为根据图7（e）得到的基于MS 模型的加权选择性分割算法获得的肿瘤区域平滑近似值。将图7（f）获得的肿瘤边界呈现在图7（h）中，其中红色曲线仍然代表医生标注的肿瘤边界，蓝色代表图7（f）获得的肿瘤边界。可见，医生标注的肿瘤边界和通过椭圆拟合方式选取标记点生成的加权函数，再经基于MS 模型的加权选择性分割算法及阈值分割后获得的肿瘤边界几乎重叠。

图 7 超声乳腺图像及不同取点方法肿瘤分割结果：（a）超声肿瘤图像；（b）图（a）对应的医生标准肿瘤区域；（c）手动选取8 个标记点；（d）图（c）对应的肿瘤区域近似值；（e）利用椭圆拟合选取8 个标记点；（f）图（e）对应的肿瘤区域近似值；（g）手动选取标记点肿瘤边界线；（h）椭圆拟合选取标记点肿瘤边界线

2.2.3 肿瘤区域与周围区域像素值接近时的分割结果

乳腺超声图像肿瘤区域的像素值与周围区域的像素值接近时，通过标记点得到的肿瘤区域平滑近似值不能很好地体现出肿瘤位置，实验结果如图8 所示。其中图8（a）和图8（b）分别为原图和医生分割的肿瘤区域（即金标准）。图8（c）中的蓝色点为医生选取的肿瘤区域标记点，黄色点为椭圆拟合后选取的其余4 个肿瘤区域标记点。图8（d）为根据图8（c）得到的基于MS 模型的加权选择性分割算法获得的肿瘤区域平滑近似值。将图8（d）经过自动阈值分割后获得二值图像，如图8（e）所示。可见，图8（e）与图8（b）差别很大。基于MS 模型的加权选择性分割算法经过乘子交替方向法获得的肿瘤区域平滑近似值没有明确的边界分界线，最终导致平滑近似值自动阈值分割后的结果与医生分割的肿瘤区域相差比较大。

图 8 超声乳腺图像及肿瘤分割结果：(a)超声肿瘤图像；(b)图(a)对应的医生标准肿瘤区域；(c)椭圆拟合8 个标记点；(d)图（c）对应的肿瘤区域近似值；（e）图(d)对应的二值图像

3 结束语

基于加权MS 模型的选择性分割算法可应用于超声乳腺肿瘤的分割，在医生定位到肿瘤位置以后可以自动分割肿瘤区域。其实验结果表明，当肿瘤区域的像素值与周围区域的像素值相差较大时，拟合椭圆选取标记点的方法在保证原有算法效果的同时减少了取点时间，有助于减少医生诊断时间。采用该方法得到的分割准确率均值为90%，交并比均值为85%。当肿瘤区域的像素值与周围区域的像素值接近时，不能得到肿瘤分割结果。因此，在今后的研究中，需要探讨加权函数来排除周围区域对目标区域的影响。