变错为宝，从“误”到“悟”

王小琪

方程与不等式是初中数学的重要内容，反映具体问题中的相等关系和不等关系，是刻画客观现实世界数量关系的一种有效模型，也是后续学习函数知识的基础。方程与不等式不仅在平时考试中多次出现，还是中考的重要考查内容。接下来，老师就从中考考题中寻找易错的题型，抓住考查的要点，帮助同学们错中辨析，错中有获，错中有悟。

一、方程的解法

例1 （2020·江苏常州）解方程：[xx-1]+[21-x]=2。

【错解】方程两边同时乘（x-1），得x-2=2，∴x=4。

【错因】等式右边漏乘了（x-1），与原方程不是同解方程;求出的根没有检验，不确定是不是增根，这样得到的根可能导致分母为0，没有意义。

【正解】方程两边同时乘（x-1），得x-2=2（x-1），x-2=2x-2，x=0。

检验：把x=0代入（x-1），得x-1≠0，∴x=0是原方程的根。∴原方程的解为x=0。

【点评】分式方程的解法是转化为一元一次方程，所以我们必然要掌握好解一元一次方程的相关步骤。在转化的过程中，方程两边同乘的式子可能为0，因此求解出来的根一定要检验，舍去增根。

二、一元二次方程概念的理解

例2 （2020·贵州黔西南）已知关于x的一元二次方程（m-1）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（）。

A.m<2B.m≤2

C.m<2且m≠1D.m≤2且m≠1

【錯解】A或C。

【错因】选C的同学认为一元二次方程有实数根就是有两个不相等的实数根，从而得到根的判别式b2-4ac>0，错误理解了有实数根的意义。选A的同学还忽视了一元二次方程的二次项系数不为0的前提。

【错解】B。

【错因】对一元二次方程的二次项系数不为0的前提条件掌握不牢。

【正解】∵该方程是一元二次方程，∴m-1≠0;又∵该方程有实数根，∴22-4（m-1）×1≥0。联立解之，得m≤2且m≠1。故选D。

【点评】在求解二次项系数含有字母的一元二次方程题型时，必须深刻理解一元二次方程的前提条件就是二次项系数不为0，这是一元二次方程这个概念中“二次”的本质属性，同学们要深刻理解。

三、不等式组解的情况

例3 （2020·黑龙江鹤岗）若关于x的一元一次不等式组[x-1>0，2x-a<0]有2个整数解，则a的取值范围是。

【错解】解不等式组，得1

【错因】没有考虑到端点值的取舍。实际上，[a2]取值范围的两个端点值3和4，有一个是可以取到的。

【正解】解不等式组，得1

∵原不等式组有2个整数解，如图：

<E：＼初中生＼9年级语文＼bt1.tif>

∴3<[a2]≤4，则6

【点评】本题易错点在于端点值的取舍，容易取错。可以分类考虑：当[a2]=3时，解集为1

四、分式方程解的符号

例4 （2020·黑龙江齐齐哈尔）若关于x的分式方程[3xx-2]=[m2-x]+5的解为正数，则m的取值范围为（）。

A.m<-10

B.m≤-10

C.m≥-10且m≠-6

D.m>-10且m≠-6

【错解】A或B或C。

【错因】分式方程求解不正确，不等式求解错误，或者没有关注到分式方程有解的条件。

【正解】解方程，得x=[m+102]。∵方程的解是正数，∴[m+102]>0，∴m>-10。又∵分式方程有解，∴x≠2，即[m+102]≠2，∴m≠-6。综上：m>-10且m≠-6。故选D。

【点评】本题考查了分式方程的解法、列不等式并求解、分式方程有解的条件。同学们在解决分式方程解的符号的问题时，要注意分式方程有解的前提就是分母不能为0。

（作者单位：江苏省仪征市实验中学东区校）