三种途径引领学生撰写数学小论文

郑立

摘要

数学小论文能帮助学生及时巩固所学。教师可以引导学生从“出错与纠错”“多解与变式”“百思与顿悟”三种途径积极撰写数学小论文。学生在撰写数学小论文的过程中，思维得到训练，知识得到升华，条理更加清晰，思路更加开阔，从而实现以学促写、以写促学的目的。

关键词

巩固 纠错 变式 善思

如果说“书读百遍而义自见”是读书的最高境界，“眼过千遍不如手过一遍”是巩固的最高境界，那么“写作”则是思维的最高境界，是学习的最高层次。语文有“阅读与写作”，英语有“听、说、读、写”，无不突出“写”的重要性。而数学中的“写”往往被忽略，或被狭义地理解为“写题目”“写练习”“写解答过程”，其实数学也可以有写作。下面笔者总结实践中引领学生撰写数学小论文的三种途径。

一、“出错与纠错”是引领学生撰写数学小论文的源泉

“错”有三种情况：一是出题错误，二是解题错误，三是选项错误。出题错误在各种教辅资料和教师自编的练习中偶尔出现。对学生而言，这是一种客观错误。遇到题目有错，学生常常避而远之，不审题，更不会研究题目。这时，教师应鼓励学生积极纠“错”，使“错题”趋于合理，便于解答。在纠错中，学生思维活跃，会出现各种奇思妙想，这时如把思考过程完整记录，稍作加工，便是一篇很有意思的数学小论文。

选项错误，有两种情况：一种是选项自身错误，对学生而言，是客观的;还有一种是学生选择有误，这是主观的。初中数学选择题有四个选项，其中只有一个选项符合题意，教师要引导学生了解命题人的意图，注意避坑。对主观上做错的学生，要让其找明错因，及时纠正，并陈述原因。

解题错误也是学生经常发生的主观错误。解题中犯了哪些错误？为什么会犯错？出现错误怎样解决？以后怎样避免？一连串的问题都可能引起学生思考，从而找到解决问题的途径和方法。因此，找错纠错、辨析真伪的过程，为学生撰写数学小论文提供了源泉，而数学教师则是不可或缺的挖井人。如，已知x+[1x] =4，求x-[1x] 的值。在解题中需将原方程两边同时平方，得到（x+[1x]）2=42，但在接下来的计算中，少数学生会写成x2+（[1x]）2=16，误把两数和的平方当作平方和，漏掉一项。为什么会发生这种情况？怎样预防？归根结底，是完全平方公式没有掌握。教师可引导学生回忆完全平方公式的特点，进一步明确两数和的平方不等于两数的平方和，两数差的平方也不等于两数的平方差。此时，教師要把握机会，及时鼓励学生把自己的错因写成数学小论文，让学生在错误中寻找真知，从而弄清数学公式之间的内在联系，牢固掌握数学知识。

二、“多解与变式”是引领学生撰写数学小论文的主阵地

同一题目往往可以用多种方法解决。在教学中，对一些典型题目，教师要积极引导，让学生尝试用多种方法解决。“一题多解、举一反三”反映了学生解决数学问题的能力和水平，既能激发、拓展、锻炼学生思维，也能让学生把多种解法整理出来，写成数学小论文。

变式训练是培养学生发散思维的一种有效方法，既可以让学生巩固已学知识，也可以提高学生对知识掌握的深度和应变能力。变式，不变的是基础，变的是应用能力的提升。由此可见，“多解与变式”是学生撰写数学小论文的主战场与主阵地。

如：某电脑公司2020年一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为450万元，如果平均每个月的营业额增长率相同，求这个增长率。这题可以设平均每个月营业额的增长率为x，学生很容易列出方程200（1+x）2=450，然后用直接开方法求解即可。等学生解答完，教师再进行变式：某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个。求该厂五、六月份平均每个月的增长率。教师出示题目后，引导学生仔细审题，提问：此题与前题是否一样？有何区别？区别在哪里？相等关系是什么？应如何列式？经过分析，学生发现两题同样涉及月平均增长率问题，区别却很大。找到了等量关系，就可以设五、六月份平均每个月的增长率为x，列出方程50+50（1+x）+50（1+x）2=182，然后解这个一元二次方程即可。从原题到变式题，学生经历了比较、分析、探索、尝试、整合的过程。这时，教师如果及时引导学生把自己的思路历程有条理地写出来，就会形成特色鲜明、具有个性化的数学小论文。

三、“百思与顿悟”是引领学生撰写数学小论文的磨刀石

“难题”往往使学生陷入“百思”而不得其解。但在“百思”中，学生会进行各种尝试，多个知识点在脑海中交织碰撞，产生一个个火花。学生在大量的推理或演算中，一层一层抽丝剥茧，最终见到“庐山真面目”。即便解答不出来，也是无限接近真知，或离真知还有最后“一公里”。就算反其道而行，学生也经历了知识回顾、思考探究、推理演算的过程。可见，“百思”是学生攻克难题的利刃，是学生撰写数学小论文的磨刀石和试金石。

“顿悟”与“百思”密不可分，是学生在思考、解决难题过程中所表现出来的一种应急机智，是瞬间爆发的灵感。“顿悟”往往能帮助学生顺利答题，使难题迎刃而解。或许有些“顿悟”无助于答题，但在学生脑海里埋下了“善思”的火种。因此，有选择地将“顿悟”进行整理加工，也会形成质量不错的数学小论文。

如：已知等边[△]ABC的边长为a，分别以A、B、C为圆心， [a2]为半径的圆两两相切于点O1、O2、O3。求弧O1O2、弧O2O3、弧O1O3围成的图形面积S（图中阴影部分）。

遇到这种题目，乍一看无法下手，很多学生会陷入思考中，短时间内很难有结果。随着思考的持久深入，有的学生会将图中阴影部分面积想方设法转化成规则图形来求;有的学生会用[△]ABC的面积减去三个扇形的面积;有的学生会将三个扇形拼成半圆，再用[△]ABC的面积减去半圆面积。诸如此类的“顿悟”都是积极可行的，值得学生去尝试。教师要有意识地引导学生将解题时的“顿悟”付诸笔端，一篇数学小论文也就水到渠成了。

总之，通过“出错与纠错”“多解与变式”“百思与顿悟”三种途径，教师因势利导，学生才会多多练习，积极尝试撰写数学小论文。在撰写数学小论文的过程中，学生的思维得到提升，知识得到升华，条理更加清晰，思路更加开阔，从而达到以学促写、以写促学的目的。

（作者单位：江苏省盱眙县马坝初级中学）