追根溯源，寻找中考题中的“似曾相识”

吕雯

课堂是我们学习的主要阵地，教材是我们学习的主要工具。老师在课堂上讲解的例题，为我们提供了解决问题的范例，揭示了数学方法，规范了思考过程，更是数学体系构建最基础、极重要的一个环节。同学们要理解和掌握课堂上学到的知识，并将知识转化为解决实际问题的能力。

一、冲破迷雾寻原题

（苏科版数学教材八年级上册第146页例2）在弹性限度内，弹簧长度y（cm）是所挂物体的质量x（g）的一次函数。已知一根弹簧挂10g物体时的长度为11cm，挂30g物体时的长度为15cm，试求y与x的函数表达式。

解：根据题意，设y与x的函数表达式为y=kx+b（k≠0），

由x=10时，y=11，得11=10k+b。

由x=30时，y=15，得15=30k+b。

解方程组[10k+b=11，30k+b=15，]

得[k=15，b=9。]

所求函数表达式为y=[15]x+9。

二、一针见血破变形

一次函数与方程有着密不可分的联系，在中考试题中，常常将一次函数与二元一次方程组相结合，先用待定系数法求出一次函数表达式，再利用一次函数的图像，结合增减性，找到突破口，求出函数的最值。

【基础变式】（2020·山东烟台）新冠疫情期间，口罩成为人们出行必备的防护工具。某药店三月份共销售A、B两种型号的口罩9000只，共获利润5000元，其中A、B两种型号口罩所获利润之比为2∶3。已知每只B型口罩的销售利润是A型口罩的1.2倍。

（1）求每只A型口罩和B型口罩的銷售利润。

（2）该药店四月份计划一次性购进两种型号的口罩共10000只，其中B型口罩的进货量不超过A型口罩的1.5倍。设购进A型口罩m只，这10000只口罩的销售总利润为W元。该药店如何进货，才能使销售总利润最大？

解：（1）设每只A型口罩的销售利润为x元，则每只B型口罩的销售利润为1.2x元，故[2000x+30001.2x]=9000，解得x=0.5。

答：每只A型口罩和B型口罩的销售利润分别为0.5元，0.6元。

（2）根据题意，得W=0.5m+0.6（10000-m）=-0.1m+6000。

由10000-m≤1.5m，解得m≥4000。

∵-0.1<0，∴W随m的增大而减小。

∵m为正整数，∴当m=4000时，W取最大值，则-0.1×4000+6000=5600（元）。

答：该药店购进A型口罩4000只、B型口罩6000只，才能使销售总利润最大。最大利润为5600元。

【点评】本题考查的是一次函数的求法和性质，二元一次方程组及一元一次不等式的综合应用。根据题意建立一次函数关系，结合一次函数的增减性发现W随m的增大而减小，从而确定自变量x的值，最终得出W的最大值。

三、拨云见日探本质

二次函数的考查常以应用题的形式出现在中考试卷上，我们只要理解题意，层层剖析，把每一个变量都表示出来，就能将复杂的文字语言转化为简洁的数学语言，列出函数表达式解决问题。

【升级变式】（2020·内蒙古呼伦贝尔）某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件，销售价每涨1元，月销量就减少10件。设销售价为每件x元（x≥50），月销量为y件，月销售利润为w元。

（1）写出y与x的函数表达式，w与x的函数表达式;

（2）商店要在月销售成本不超过10000的情况下，使月销售利润达到8000元，销售价应定为每件多少元？

（3）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润。

解：（1）根据题意，得y=500-10（x-50）=1000-10x，x≥50。

w=（x-40）（1000-10x）=-10x2+1400x-40000，x≥50。

（2）根据题意，得-10x2+1400x-40000=8000，解得x1=60，x2=80。

当x=60时，成本=40×[500-10（60-50）]=16000>10000，不符合要求，舍去;

当x=80时，成本=40×[500-10（80-50）]=8000<10000，符合要求。

∴销售价应定为每件80元。

（3）∵w=-10x2+1400x-40000

=-10（x-70）2+9000，x≥50，

又∵-10<0，

∴当x=70时，w取最大值9000。

答：销售价定为每件70元时会获得最大利润。最大利润为9000元。

【点评】此题是二次函数的实际应用，需准确分析题意，求出二次函数表达式。第（2）问是要将二次函数转化成一元二次方程求解;第（3）问应利用配方法将二次函数一般式写成顶点式，再结合二次函数性质求出二次函数最大值。

（作者单位：江苏省无锡市梅里中学）