大概念下章节起始课的设计与反思

高建成 ?林文芝

【摘 要】章节起始课，是指每一章教学内容的第一节课。大概念下的章节起始课要基于数学的逻辑系统思考，整体设计。结合锐角三角函数的教学，教师要做到：读懂教材，梳理重组;读懂学生，优化设计;读懂课堂，启发引导。大概念教学更注重概念产生的情境，更注重學生的数学现实。概念变式是深化理解概念的有效途径。

【关键词】大概念 章节起始课 锐角三角函数

初中数学每一章的起始课通常是一节概念课。概念教学一般从数学概念的引入、形成（图象、符号、语言）、本质（内涵、外延、关键词）、巩固转化、迁移应用等几个方面展开。它的课堂教学一般模式是：情境引入—探究概念—呈现概念—辨析概念—深化概念—应用概念—数学联结。教师在课前设计教学时，一般会从学生的现有认知及学情出发去考虑、设计各环节，课堂上拘泥于单课时的内容，就课讲课，缺少整体上对数学知识的系统认知和把握，缺少大概念下对各种教学要素的选择和应用。

数学教学要展现如何得到数学活动结果的思维过程。基于此，大概念下的教学，教师一方面要做好解构，要对整个模块、整章知识的结构都有很清楚的认识，对教材进行选择和重组，将凝结在数学概念中的数学家的思维打开，在进行意义解构的同时，尝试多元化解读，整理符合学生现有认知水平的素材和资源;另一方面要做好建构，设计更利于概念理解的情境，借助观察、实验、猜想、证明等教学活动，让学生经历知识的形成及思维的锻造过程，在动作图式、图象图式、符号图式及相关变式中，完成学生个体的意义建构。

下面以浙教版九年级下册“1.1锐角三角函数”第1课时为例，具体阐述如何在大概念下设计和实施教学。

一、读懂教材，梳理重组

函数是数学教学中非常重要的一部分内容。初中阶段它包含了一次函数、反比例函数、二次函数和锐角三角函数。研究锐角三角函数，我们应基于函数这个大概念，分别从概念、定义域、值域、图象（高中内容）、性质、变式、应用等方面逐一探究，主要学习内容有：锐角三角函数的定义，确定锐角三角函数的取值范围，锐角三角函数的增减性，推导互余两角三角函数间的关系和同角三角函数之间的基本恒等关系，解决直角三角形边角之间的关系等。

读懂教材，是基于大概念设计教学的前提。教师应多角度、高站位地解读教材中的教学内容，纵向比较同一版本教材各册的相关内容，厘清教材中数学知识的逻辑结构顺序，以及教材依据的学生认知心理顺序，系统感知本课时处于单元整体中的位置，以及本课时与前后知识的联系。当然，教师也可以横向比较研究不同版本教材的相同内容，深入解读编者的编、教师的教、学生的学。

二、读懂学生，优化设计

在前面的学习中，学生已掌握直角三角形中两锐角之间的关系、三边之间的关系，以及含30°和45°特殊角的直角三角形的边角关系。学生能理解函数的概念，初步了解研究函数的一般方法，在发生认知冲突时，渴望通过学习新知识和新方法来分析问题，在问题的引导下，能尝试去观察、分析、猜想和证明。

读懂学生，是基于大概念设计教学的关键。学生在接受新知识时，新旧知识之间出现了断裂，可能是因为已有知识储备不够，也可能是因为在思维衔接的过程中未找到关联之处。因此，教师在预设教学过程时，应结合学生的实际情况，充分考虑学生现有的认知水平和学习能力，引导学生的认知走向，让学生在数学课堂活动中发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，逐步形成数形结合思想、建模思想、类比思想等更高层次的思想观念。

三、读懂课堂，启发引导

1. 前测反馈，创设情境

前测：如图1，在△AOB中，∠O=90°。

①若OA=2，OB=3，

则AB=________。

②若∠B=25°，

则∠A =______。

③若∠B=30°，AB=8，则OA=____________。

④若AB=，OA=，则∠B=___________。

提问：

①若∠B为任意角度，能根据∠B，AB的值直接求OA吗？

②若AB≠2OA，能根据AB，OA的值直接求∠B吗？

探究目标：直角三角形边角之间的关系。

【设计说明】学生前测完成的正确率较高，学生在对问题的求解过程中，复习了两锐角之间的关系：∠A+∠B=90°，三边之间的关系：a2+b2=c2，以及特殊角的边角关系。在提出新问题后，学生发现现有的知识储备无法分析解决不含特殊角的直角三角形的边角关系问题，从而产生认知冲突。教师明确本节课的学习方向，激发学生的探究兴趣。

2. 数形结合，辨析概念

（1）观察思考

观察图2中的Rt△ABC，Rt△AB1C1和Rt△AB2C2。

图2

思考：

①三个直角三角形有什么变换关系？

②填空并证明：=__________=__________。

证明：∵∠A=∠A，∠ACB=∠AC1B1，

∴△ACB∽△AC1B1。

∴=。

同理可得=。

∴==。

几何画板演示：改变BC的位置，的比值不改变。

结论：在Rt△ABC中，对于锐角∠A的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是唯一确定的。

想一想：对于锐角∠A的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边的比值也是唯一确定的吗？

几何画板演示：改变BC的位置，BC，AC，AB的长度都在改变，但，，的比值都不改变;但改变∠A的大小，，，的比值都在改变。

（2）定义概念

对于锐角∠A的每一个确定的值，，，的比值唯一确定，因此，，的比值与锐角∠A之间存在某种函数关系。

练习2：如图15，在边长相同的小正方形网格中，点A，B，C，D都在格点上，AB，CD相交于点P，则=______，tan∠APD=______。

练习3：在Rt△ABC中，若2AB=AC，则锐角∠C的余弦cos C=______。

【设计说明】在大概念下，要求拓展提升的练习涉及的知识与方法更多，思维更深刻。练习1关联了圆中的垂径定理，练习2关联了相似三角形，继续深入探究圆中、网格中的三角函数问题。练习3是2019年杭州的一道中考题，学生在无图的情况下尝试自己去画图，从哪一个角是直角出发去分类讨论。学生在分析问题、解决问题的过程中，逐渐形成数形结合思想、建模思想、类比思想等，让认知向纵深发展，思维向高阶迈进。

四、设计反思

1. 大概念教学更加注重概念产生的情境

情境认知理论认为学习是基于情境的，创建有意义的情境背景，有利于概念的建构，并促进知识、技能和经验的连接。初中数学教学的情境创设，可以来源于生活中的真实背景，从具体事例、实物模型引入，通过小视频、微课、音乐、故事、游戏等手段展开;也可以着眼于数学本身发展的需要，创设问题情境，用问题串联已学知识和将学知识。

我们在研究反比例函数、一次函数、二次函数时，通常采用生活情境或问题情境，本文研究的锐角三角函数教材中是以两个物体在两个坡角不同的斜面上向上运动为背景引入课题，教师也可以设计学生熟悉的问题情境，如山坡、屋顶的斜面，或用木板现场搭建斜面等，但这些生活情境的创设缺乏数学知识本身的前后逻辑联系，因此本案例基于函数大概念，通过问题前测，从学生已有的经验—直角三角形的三边关系、两锐角之间的关系、特殊直角三角形的边角关系出发继续探究，提出的新问题使学生产生了认知冲突，发现现有的知识储备无法解决问题，从而激发学生对直角三角形边角关系的继续研究。

斯皮罗认为，结构良好领域的有关某一主题的概念，它们之间是以一定的层次结构组织在一起的。基于大概念设计概念产生的背景，并不拘泥于生活中的具体情境，可以根据教学内容和本质，从数学内部的问题出发，结合教学内容所在的大概念单元内的知识点以及各知识点之间的结构、走向和逻辑链，从特殊到一般，产生认知冲突，走向升华，这也反映了基于大概念设计教学宽广的角度。

2. 大概念教学更加注重学生的数学现实

“数学现实”指的是学生已有的知识经验、思维方式、解题策略以及有关的数学知识结构。数学学习是新知识与学生已有数学现实相互交融的过程，有效的课堂教学设计应从学生已有的认知水平和经验出发，因此，基于大概念下预设的问题和探究都要符合大多数学生的知识基础和认知规律。在此基础上学生积极、主动地参与到课堂教学活动中来，亲历观察分析、猜测验证等活动与体验，学习构建新的知识，并很好地将知识迁移到新的情境中，提高思维层次，提升数学素养。

学生在学习锐角三角函数前，已经学习了勾股定理、特殊直角三角形的边角关系、函数的概念、相似三角形等，通过学习研究反比例函数、一次函数、二次函数，学生还在一定程度上具备了研究函数的经验，因此，在设计锐角三角函数的教学过程中，教师可以基于函数这个大概念，从概念、图象（高中内容）、性质和应用几个方面去研究锐角三角函数。通过问题情境，学生从已学直角三角形的边边关系、角角关系自然过渡到要学习的边角关系;在学习了锐角三角函数的概念后，学生又基于概念探究了锐角三角函数的值域、增减性、互余两角及同角三角函数之间的一些简单的恒等关系、sin A与cos A的大小比较等。

了解学生的数学现实，既要了解学生学习该概念时已有的知识背景（包括知识技能和方法），也要了解学生学习该概念的生活经验和学习经验，还要关注学生学习的兴趣、积极性、学习习惯和方法，更要考虑学生学习该概念可能遇到的困难和困惑。总之，教师若能读懂学生认知、读懂课堂生成、读懂学生“困惑”，就能更好地处理“学”与“教”的关系，课堂中也会碰撞出更多精彩“意外”的知识生成，使教学更有实效，学生也会更乐于思考、勤于思考、善于思考。

3. 大概念下的變式是理解概念的有效途径

顾泠沅教授在系统地分析和综合了变式教学的概念后，确认和说明了两种变式：“概念性变式”和“过程性变式”。概念性变式旨在对概念的多角度理解，本质不变，形式改变，着眼于概念形成以后的深度学习，使学生通过对概念多角度、全方位、广层次的理解，深层把握概念的本质。过程性变式重在数学活动的有层次性推进，促进学生分步解决问题，积累多种活动经验。

本节课的设计多次采用了概念性变式和过程性变式，学生在学习了锐角三角函数的概念后，在辨析概念时，通过求正放、斜放、倒放的直角三角形中角的正弦、余弦及正切值，多角度地理解锐角三角函数的概念，然后通过求网格、平面直角坐标系、圆等不同图形中的锐角三角函数，全方位地理解锐角三角函数的概念。在例题解析后，通过变式迁移锐角三角函数在不同图形和不同条件下的应用，学生同时经历“有图—半图—无图”的解题变迁，自然地想到去构造直角三角形，广层次地理解锐角三角函数的概念。拓展提升练习中的条件和图形都更加复杂，学生继续深入探究圆中、网格中的三角函数问题，且问题关联了圆中的垂径定理、相似三角形等。

数学学习对象是复杂而抽象的，仅用单一的表征形式阐释概念，学生往往难以理解。概念性变式及过程性变式则能多元表征、多角度阐释数学对象，将各种表征形式的优点融合，抽象的数学概念或对象就会变得浅显易懂，深入人心。

本文系浙江省教师教育重点课题“凝练教学主张—名师培训的理论建构与实践创新”（课题编号：ZD2019001）阶段性研究成果。

（作者单位：1.浙江省杭州市余杭区教育发展研究学院;2.浙江省杭州市余杭区临平第五中学）

责任编辑：赵继莹

724132105@qq.com