考虑渗流、应变软化和扩容的巷道围岩三剪应力统一强度理论解

于旭光 毕南妮 杨海林

唐山工业职业技术学院 063299

引言

在地下工程中，巷道围岩的破裂范围（破碎区半径）和位移是巷道围岩稳定性评价的重要指标和支护设计的理论基础。对深埋于富水环境下的巷道，渗流场对巷道围岩的破裂范围、应力和位移的影响不可忽视。近年来，袁文伯等［1］、马念杰等［2］考虑岩体应变软化特性求解了巷道围岩应力解，但未考虑渗流场影响和岩体扩容特性；付国彬［3］、姚国圣等［4］考虑岩体应变软化和体积膨胀特性，求解了巷道围岩应力解和位移解，但未考虑渗流场影响；李宗利等［5］考虑渗流场影响求解了深埋圆形隧洞围岩应力解和位移解，但未考虑岩体应变软化和扩容特性；高召宁等［6］综合考虑了渗流场影响、应变软化和扩容得到了巷道围岩应力解和位移解，但未全面考虑应变软化特性且计算位移时未考虑应力重分布对塑性区弹性应变的影响；张常光等［7，8］基于俞茂宏双剪统一强度理论［9］得出了弹脆塑性模型下圆形隧洞围岩应力解和位移解，但有三点不足之处，其一双剪统一强度理论虽然能考虑中间主应力的影响却未能考虑最小主剪应力的影响，其二是假定应变软化后黏聚力和内摩擦角为常数，未考虑应变软化中黏聚力和内摩擦角的变化，其三计算位移时未考虑应力重分布对塑性区弹性应变的影响；潘继良等［10］综合考虑了应变软化和扩容得到了巷道围岩应力解和位移解，但未考虑渗流场影响且计算位移时未考虑应力重分布对塑性区弹性应变的影响。

同时，上述关于围岩的研究除文献［7，8，10］外，均采用Mohr-Coulomb 准则进行研究，但Mohr-Coulomb准则未考虑中间主应力效应而使计算结果偏于保守，而高江平提出的三剪应力统一强度理论［11］是全应力理论，能充分考虑中间主应力和最小主剪应力的影响，且数学表达简洁、易于得到解析解，在工程中已经得到初步应用［12，13］。

因此，本文首先根据三剪应力统一强度理论建立了平面应变状态下的屈服方程，将巷道围岩从外往内依次划分为弹性区、塑性软化区、破碎区，然后综合考虑渗流影响、应变软化、扩容以及塑性软化区和破碎区内弹性应变的2 种情况，推导了各个区应力、位移以及塑性软化区和破碎区半径的三剪应力统一强度理论解，最后探讨了塑性软化区和破碎区弹性应变不同取值、孔隙水压力、软化模量、扩容系数对巷道围岩塑性软化区、破碎区位移和半径的影响。

1 三剪应力统一强度理论

高江平综合考虑菱形十二面单元体所有应力分量建立了三剪应力统一强度理论［11］。该理论认为：当作用于菱形十二面体的三个主剪应力（τ13、τ12、τ23）及其作用面上的三个正应力（σ13、σ12、σ23）所组成的函数关系式达到某一极限值时，材料发生破坏。此理论下的抗剪强度参数cs和φs的表达式为［11］：

式中：φ0为内摩擦角；c0为黏聚力；φs和cs分别为材料的统一内摩擦角和统一黏聚力；m 为中间主应力系数（0 ＜m≤1），与三个主应力σ1、σ2和σ3的关系可表示为σ2＝m（σ1+σ3）／2，m可由理论和实验来确定，在弹性区，m ＝2ν（ν 为泊松比），在塑性区，m→1；b 为中间主剪应力τ12及其作用面上正应力σ12综合影响的作用系数（0≤b≤1）；c 为最小主剪应力τ23及其作用面上正应力σ23综合影响的作用系数（0≤c≤1）。

根据参数b、c 取值不同，可以得到不同的强度准则。当b ＝0、c ＝0 时退化为Mohr-Coulomb准则；当b ＝1、c ＝0 时为双剪应力准则；当b ＝1、c ＝1 时为三剪应力准则；当b、c 分别取0 ～1 之间其他值时为一系列新的强度准则。需特别指出：当0 ≤b≤1、c ＝0 时，可退化为俞茂宏双剪统一强度理论参数cs和φs的表达式［9］。

本文取m ＝1，则中间主应力σ2＝（σ1+σ3）／2，将式（3）、式（4）代入式（1），整理得到平面应变状态下的线性方程为：

为了表达方便，本文将b ＝0、c ＝0 时记为UST（0，0）；b ＝0.5、c ＝0 时记为UST（1／2，0）；b ＝1、c ＝0 时记为UST（1，0）；b ＝1、c ＝0.5 时记为UST（1，1／2）；b ＝1、c ＝1 时记为UST（1，1）。

由于巷道围岩切向应力σθ、径向应力σr及轴向应力σz三者相互正交，当侧向压力系数为1 时，切向应力σθ、径向应力σr及轴向应力σz可当作巷道围岩的三个主应力，即σ1＝σθ，σ3＝σr和σ2＝σz，因此式（5）可以写成如下表达式：

式（6）即为平面应变状态下的屈服方程。

2 模型的建立

2.1 圆形巷道计算模型及渗流场计算

设巷道轴向无限长且水平延伸，其断面为圆形。巷道在开挖过程中会产生地应力释放、围岩卸载、应力重分布。当围岩应力小于岩体强度时，围岩会一直处于弹性状态，当围岩应力大于岩体强度时，围岩在一定范围会出现塑性变形，因此将巷道围岩从外往内依次划分为弹性区、塑性软化区、破碎区，如图1 所示。设巷道半径为ri，破碎区半径为rb，塑性软化区半径为rp，计算区域内半径为r0，初始地应力为σ0，巷道支护力为pi。

假定岩体的渗流属于层流，渗流过程符合达西定律，围岩连续、均匀且各向同性，在巷道洞壁处的孔隙水压力为0，距离巷道无穷远处的孔隙水压力为p0，不考虑计算区域水和岩土体的自重，于是将渗流问题简化为轴对称恒定渗流平面应变问题，渗流连续微分方程为：

式中：pw（r）为半径r处的孔隙水压力。

选取渗流场的计算区域和巷道的计算区域均为r0，文献［5］指出r0＝30ri时可满足工程的精度要求。

图1 渗流圆形巷道力学模型Fig.1 Mechanical model of the circular roadway under seepage

2.2 应变软化模型

大量试验表明：对于巷道围岩，当应力超过岩体的抗压强度后，随着变形的增大，岩体自身强度逐渐衰减，最终达到残余强度值，即岩体的应变软化特性可通过岩体强度参数的黏聚力c0和内摩擦角φ0来反映［14，15］，同时黏聚力c0和内摩擦角φ0的软化过程主要和塑性区切应变相关［16］。假定软化过程为线性的，由此建立的强度参数软化模型如图2 所示。

图2 强度参数软化模型Fig.2 Softening model of strength parameters

在图2 中，c1和φ1分别为初始黏聚力和初始内摩擦角；c*和φ*分别为残余黏聚力和残余内摩擦角；为弹性区和塑性软化区交界面处的切应变；为塑性软化区和破碎区交界面处的切应变；Hc为黏聚力软化模量；Hφ为内摩擦角软化模量。因此，巷道围岩内任何一点的黏聚力和内摩擦角表达式为：

2.3 扩容模型

为反映巷道围岩扩容特征，文献［10］通过假定与屈服函数相同形式的塑性势函数，根据塑性位势理论［17］和线性非关联流动法则［18］，分别建立了塑性软化区和破碎区的塑性应变增量表达式：

当ψ ＝φ0时，非关联流动法则变为关联流动法则；当ψ ＝0°时，巷道围岩不发生扩容。

3 圆形巷道围岩三剪应力统一强度理论解

3.1 基本方程

轴对称平面应变问题的渗透水压力为体积力，不考虑渗透体积力中的浮力部分，则考虑渗透体积力的平衡微分方程为［19］：

式中：ξ为岩石等效孔隙水压力系数。

几何方程：

平面应变本构方程：

3.2 弹性区位移和应力

弹性区内的边界条件为：

式中：rp为塑性软化区半径，由式（42）确定；为弹性区与塑性软化区交界面处的径向应力，由式（19）确定。

由文献［20］可知弹性区应力为：

由式（17a）+（17b）可得：

在弹性区与塑性软化区交界面处既满足强度准则式（6），又满足式（18），由此求得：

式中：Ae和Be分别为弹性区黏聚力c1和内摩擦角φ1所对应的参数。

在弹性区内，忽略巷道围岩开挖前初始地应力σ0所引起的变形，根据式（15a）、（15b）得到弹性区真实应变为：

将式（17a）、（17b）代入式（20b），并根据式（14），可得到弹性区内真实位移为：

3.3 塑性软化区位移和应力

根据弹塑性理论，塑性软化区应变由弹性应变和塑性应变两部分组成，即：

由式（22a）、（22b）并结合式（11）可得：

将式（14）代入式（23），可得：

式中：up代表塑性软化区位移。

结合弹性区与塑性软化区交界面处边界条件：

对巷道围岩塑性软化区的弹性应变，可分为2 种情况。

1.情况1 下塑性软化区位移和应力

情况1：忽略应力重分布对塑性软化区弹性应变影响，假定弹性应变为常数，其大小为弹性区和塑性软化区交界处弹性区的应变值，即：

将式（26）代入式（20a）、（20b），然后联合式（21）一起代入式（25），得到塑性软化区位移为：

将式（27）代入式（14），得到：

由式（28b）可得到：

将式（29）代入式（9）、（10）可得到塑性软化区黏聚力cp和内摩擦角φp的表达式，为节省篇幅，此处不再列出。

将塑性软化区黏聚力cp和内摩擦角φp代入式（6），进而得到：

式中：Ap和Bp分别为塑性软化区黏聚力cp和内摩擦角φp所对应的参数。

2.情况2 下塑性软化区位移和应力

情况2：在塑性软化区内，忽略巷道围岩开挖前初始地应力σ0所引起的变形，采用广义胡克定律计算塑性软化区的弹性应变，即：

同情况1 类似求解方法，求解得到塑性软化区内的应力表达式形式同式（31a）、（31b）。其中Ap和Bp分别为塑性软化区黏聚力cp和内摩擦角φp所对应的参数，cp、φp见下文式（35a）、式（35b）。

将情况2 下塑性软化区内的应力代入式（32a）、（32b），再联立式（25），得到塑性软化区位移为：

将式（33）代入式（14），结合式（21），得到：

将式（34）代入式（9）、（10），得到塑性软化区黏聚力cp和内摩擦角φp的表达式：

式（35a）和（35b）等式两端都是包含黏聚力cp和内摩擦角φp的隐式方程。对应塑性软化区任意r处均可求解出cp和φp，对应的Ap和Bp也可求解。

3.4 破碎区位移和应力

式中：Ab和Bb分别为破碎区黏聚力c*和内摩擦角φ*所对应的参数。

仿照3.3 节方法，并结合塑性软化区与破碎区交界面处边界条件：可以得到破碎区位移为：

1.情况1 下破碎区位移

情况1：忽略应力重分布对破碎区弹性应变影响，假定弹性应变为常数，其大小为塑性软化区与破碎区交界处塑性软化区的应变值，即：

将式（38）代入式（37）可得到破碎区位移为：

2.情况2 下破碎区位移

情况2：在破碎区内，忽略巷道围岩开挖前初始地应力σ0所引起的变形，采用广义胡克定律计算破碎区的弹性应变，即：

将式（36a）、（36b）代入式（40a）、（40b），再联立式（37），得到破碎区位移为：

3.5 塑性软化区和破碎区半径

当塑性软化区和破碎区均采用情况（1）计算应力和位移时，由塑性软化区与破碎区交界面处径向应力相等（即式（31a）＝式（36a）），可得到塑性软化区半径rp的计算公式为：

在塑性软化区与破碎区交界面处，由式（9）、式（10）得到：

由式（29）表达式可知：

由式（43a）结合式（44）或者式（43b）结合式（44），然后综合式（42）得出的rp值，均可得到破碎区半径rb的计算公式。

当塑性软化区和破碎区均采用情况2 计算应力和位移时，塑性软化区半径的计算公式同式（42）；破碎区半径的计算公式同情况1，但是公式（即式（43a）、式（43b）、式（44））里面采用情况2 下的塑性软化区位移up（即式（33））。

4 工程算例及参数分析

影响巷道围岩塑性软化区、破碎区位移和半径的因素有很多，下面仅取塑性软化区和破碎区弹性应变不同取值、孔隙水压力、软化模量、扩容系数四个参数对其进行分析。选取巷道围岩参数如下［10］：初始黏聚力c1＝3.8MPa，初始内摩擦角φ1＝26°，残余黏聚力c*＝1.8MPa，残余内摩擦角φ*＝14°，塑性软化区剪胀角ψp＝13°，破碎区剪胀角ψb＝7°，巷道围岩弹性模量E ＝1.28GPa，泊松比ν ＝0.22，巷道半径ri＝3m，初始地应力σ0＝20MPa，支护力pi＝1MPa，岩石等效孔隙水压力系数ξ ＝1。

4.1 塑性软化区和破碎区弹性应变的影响

本节分析时取孔隙水压力p0＝2MPa，黏聚力软化模量Hc＝200MPa，内摩擦角软化模量Hφ＝1200°。图3 给出了5 种不同强度准则下，塑性软化区和破碎区弹性应变全部采用情况1 或全部采用情况2 两种情况下得到的塑性软化区、破碎区的位移和半径，其中虚线代表破碎区半径，用u 来统一表示塑性软化区、破碎区的位移。

从图3 可以看出，当采用相同强度准则时，塑性软化区和破碎区弹性应变的不同对塑性软化区半径无影响，但对塑性软化区和破碎区位移、破碎区半径影响显著。全部采用情况2 时的塑性软化区和破碎区位移、破碎区半径明显大于全部采用情况1 的，情况2 时巷道围岩洞壁处的位移比情况1 时分别增大了76.14%（UST（0，0））、67.21%（UST（1／2，0））、61.11%（UST（1，0））、55.52%（UST（1，1／2））、49.75%（UST（1，1）），还可以看出塑性软化区半径、两种情况下得到的巷道围岩洞壁处位移差均随参数b、c的增大而减小；情况2时巷道围岩破碎区半径比情况1 时分别增大了9.02%（UST（0，0））、9.07%（UST（1／2，0））、8.70%（UST（1，0））、8.90%（UST（1，1／2））、8.85%（UST（1，1）），可见破碎区半径增大比例近似相等。因此若采用情况1时则计算得到的塑性软化区和破碎区位移、破碎区半径较小，容易使支护设计偏于危险，所以推荐使用广义胡克定律所确定的弹性应变即情况2，后面几个小节讨论其他参数时均采用情况2。

4.2 孔隙水压力的影响

本节分析时取黏聚力软化模量Hc＝200MPa，内摩擦角软化模量Hφ＝1200°。图4 给出了不同强度准则、不同孔隙水压力下塑性软化区半径的变化规律。可以看出，不同强度准则下的塑性软化区半径均随孔隙水压力的增大而增大；当孔隙水压力一定时，塑性软化区半径随参数b、c 的增大而减小；破碎区半径与孔隙水压力变化规律与上述类似。

图3 塑性软化区和破碎区弹性应变对塑性软化区、 破碎区位移和半径的影响Fig.3 Influence of elastic strains in plastic softening zone and fracture zone on plastic softening zone，fracture zone displacement and radius

图4 孔隙水压力对塑性软化区半径的影响Fig.4 Influence of pore water pressure on radius of plastic softening zone

图5 给出了不同强度准则、不同孔隙水压力下rp／rb的变化规律。可以看出，不同强度准则下的rp／rb随孔隙水压力的增大呈近似线性减小且斜率近似相等，可以看出rb的增大速度比rp快。

4.3 软化模量的影响

本节分析时取孔隙水压力p0＝2MPa。图6 ～图8中内摩擦角软化模量Hφ取值可根据式（9）和式（10）由对应的黏聚力软化模量Hc求出。图6 给出了不同强度准则、不同黏聚力软化模量下破碎区半径的变化规律。可以看出，不同强度准则下的破碎区半径均随黏聚力软化模量的增大而增大，但增大幅度逐渐变缓；经计算，塑性软化区半径与黏聚力软化模量大小无关，不同强度准则下的塑性软化区半径分别为10m（UST（0，0））、7.2m（UST（1／2，0））、6.11m（UST（1，0））、5.3m（UST（1，1／2））、4.7m（UST（1，1））。从图7 可以看出，不同强度准则下的rp／rb曲线在相同的黏聚力软化模量变化区间内斜率近似平行，且随黏聚力软化模量增大而逐渐减小，当黏聚力软化模量Hc→∝，rp／rb→1。

图5 孔隙水压力对rp／rb 的影响Fig.5 Influence of pore water pressure on rp／rb

图6 黏聚力软化模量对破碎区半径的影响Fig.6 Influence of softening modulus of cohesion on radius of fracture zone

图7 黏聚力软化模量对rp／rb 的影响Fig.7 Influence of softening modulus of cohesion on rp／rb

图8 给出了采用UST（1，0）强度准则（其他强度准则类似）对不同黏聚力软化模量、不同孔隙水压力下塑性软化区、破碎区位移和半径的变化规律。可以看出，当孔隙水压力一定时，黏聚力软化模量的变化对塑性软化区和破碎区位移几乎无影响，考虑孔隙水压力（p0＝2MPa）的巷道围岩洞壁处位移比忽略孔隙水压力（p0＝0）的位移增大了83.11%。另外，考虑孔隙水压力（p0＝2MPa）的巷道围岩破碎区半径比忽略孔隙水压力（p0＝0）分别增大了20.97%（Hc＝200MPa）、20.21%（Hc＝400MPa）、20.00%（Hc＝600MPa），可见破碎区半径增大比例近似相等；塑性软化区半径增大均为19.34%。

图8 黏聚力软化模量对塑性软化区、破碎区位移和半径的影响Fig.8 Influence of softening modulus of cohesion on plastic softening zone，fracture zone displacement and radius

内摩擦角软化模量和黏聚力软化模量对巷道围岩的影响规律趋势相同，在此不再赘述。

4.4 扩容的影响

本节分析时取黏聚力软化模量Hc＝200MPa，内摩擦角软化模量Hφ＝1200°。由于巷道围岩的扩容特性由剪胀角ψ和塑性势函数来体现，分别采用不考虑扩容（ψ ＝0°）、非关联流动法则（ψ≠φ0）和关联流动法则（ψ ＝φ0）3 种情况，求出对应的扩容系数β的值，采用UST（1，0）强度准则（其他强度准则类似）对不同孔隙水压力、不同扩容系数下的塑性软化区、破碎区位移和半径的变化规律进行分析，如图9 所示。

图9 扩容对塑性软化区和破碎区位移、 半径的影响Fig.9 Influence of dilatancy on plastic softening zone and fracture zone displacement，radius

从图9 可以看出，当相同扩容系数一定时，考虑孔隙水压力（p0＝2MPa）的塑性软化区、破碎区的位移和半径比忽略孔隙水压力（p0＝0）时影响显著。比如孔隙水压力p0＝2MPa 时，不考虑扩容、非关联流动法则、关联流动法则计算的巷道围岩洞壁处的位移分别是孔隙水压力p0＝0

时的1.73 倍、1.82 倍、1.95 倍。当孔隙水压力一定时，3 种情况下得到的塑性软化区半径相同，塑性软化区和破碎区位移、破碎区半径随着剪胀角ψ的增大而增大。比如p0＝2MPa 时，非关联流动法则计算的巷道围岩洞壁处的位移分别是不考虑扩容、关联流动法则的1.37 倍、0.67 倍。由此可见不考虑扩容会严重低估围岩实际变形，而关联流动法则会过多考虑扩容的影响，且忽略孔隙水压力也会严重低估围岩的实际变形。

5 结论

1.本文将巷道围岩从外往内依次划分为弹性区、塑性软化区、破碎区，然后综合考虑渗流影响、应变软化、扩容以及塑性区内弹性应变的2种情况，对各个区的应力、位移以及塑性软化区、破碎区半径进行了理论推导，得到了包含不同强度准则的三剪应力统一强度理论解。

2.当强度准则一定时，塑性软化区、破碎区弹性应变的不同对塑性软化区半径无影响，但对塑性软化区和破碎区位移、破碎区半径影响显著。由广义胡克定律即全部采用情况2 来确定塑性软化区和破碎区的弹性应变更加合理。

3.孔隙水压力对巷道围岩的塑性软化区、破碎区位移和半径的影响显著，三者均随孔隙水压力增大而增大，破碎区与塑性软化区半径之比随孔隙水压力增大线性减小；当强度准则一定时，软化模量的变化对塑性软化区半径无影响，对塑性软化区、破碎区位移影响很小，但破碎区半径随软化模量的增大而逐渐增大且增大幅度逐渐变缓；巷道围岩的扩容特性由剪胀角ψ和塑性势函数来体现，不考虑扩容会严重低估围岩实际变形，而关联流动法则会过多考虑扩容的影响，因此应采用非关联流动法则对扩容进行分析。

4.对于三剪应力统一强度理论中参数b 和c的取值，在实际工程中可参考文献［11］采用岩石真三轴试验与三剪应力统一强度理论的极限线吻合程度来进行确定。