悬挂式单轨线路平竖曲线重合条件研究

郭士永

（中铁工程设计咨询集团有限公司，北京 100055）

悬挂式单轨与地铁、跨座式单轨、中低速磁浮均存在显著技术差异，相关学者在系统适应性［1]、线路标准［2-4]、车辆构造［5]、轨道梁桥［6]、道岔［7]、检修养护、国产化等方面开展了大量研究。近年来，韩城、恩施等城市的试验线相继开工建设或建成。

在悬挂式单轨线路设计中，受工程条件限制，平竖曲线重合是常见的重要技术问题，影响线路方案与乘客舒适度，与轨道梁设计施工、养护维修等密切相关。当前针对悬挂式单轨线路平纵技术标准的研究较多，但尚无平竖曲线重合条件的研究成果。铁路平竖曲线重合条件的研究成果［8]，不能用于指导悬挂式单轨线路设计。本文研究了悬挂式单轨线路平竖曲线重合的曲线半径计算方法，探究不同车速与平曲线半径组合下的竖曲线半径合理取值，为平竖曲线重合优化设计提供技术参考。

1 悬挂式单轨车辆曲线行驶动力学方程

悬挂式单轨车辆铰接悬挂在轨道梁下方，沿曲线行驶时车体横向倾斜摆动，倾斜角不得大于横向最大倾斜角θmax。列车过曲线上某处时，车体受力分析见图1。其中：θ，γ分别为横向倾斜角、纵坡角，rad；m为车体质量，kg；g为重力加速度，取9.81 m/s2；FN为悬挂机构的作用力，N；Fh，Fv分别为车体曲线运动所需平衡的水平向、竖向离心力，N；aq为车体横向未平衡加速度，m/s2。

图1 悬挂式单轨车体受力分析

车体动力学方程表达式为

式中：V为车速，km/h；Rh，Rv分别为平曲线、竖曲线半径，m。

将式（2）和式（3）代入式（1），可得车体横向未平衡加速度aq表达式（±的选取：凸型竖曲线取-，凹型竖曲线取+），即

可见，横向未平衡加速度、竖向离心加速度是确定平竖曲线重合的控制参数。悬挂式单轨车辆在曲线行驶时摆动倾斜，以平衡全部或部分横向加速度。定义横向平衡倾斜角θe为横向加速度全部由车体倾斜实现所对应的倾斜角。当θe≤θmax时，可通过车体倾斜平衡横向加速度，使aq= 0。当θ=θmax时，式（4）才有意义，可得

式（5）表明，线路的平曲线半径、纵坡角、竖曲线半径是影响横向未平衡加速度的重要因素。

2 平竖曲线不重合条件下的最小曲线半径

2.1 平曲线

当平竖曲线不重合且不考虑线路纵坡影响时，悬挂式单轨线路平曲线最小半径由车速V及横向最大未平衡加速度aq，max共同决定。根据式（5）可得平曲线最小半径Rh，min的表达式，即

借鉴中低速磁浮交通线路最大横坡角为6°且运行舒适性较好，推荐横向最大倾斜角取6°，即θmax=0.1047 rad。aq，max决定平曲线最低舒适度，取值越大则舒适度越差。参照文献［3]，取aq，max= 0.25，0.40，0.50，0.60 m/s2，依次对应舒适度优、良、中、差。根据式（6），计算得出各车速及舒适度要求下的平曲线最小半径Rh，min，见表1。

表1 平竖曲线不重合条件下的平曲线最小半径

2.2 竖曲线

当平竖曲线不重合时，竖曲线最小半径由车速V和竖向最大离心加速度av，max共同决定。根据式（3）可得竖曲线最小半径Rv，min的表达式，即

当列车通过竖曲线时，竖向离心加速度会使乘客产生超重或失重感，其值越大，超重、失重感越强，舒适度越差，是控制竖曲线舒适度的重要参数。我国高速铁路竖向最大离心加速度为0.40 m/s2，城际铁路为0.25 ～0.40 m/s2；地铁一般为0.08 m/s2，工程条件困难时为0.16 m/s2；跨座式单轨为0.25 ～0.50 m/s2。运营经验表明，竖向最大离心加速度在0.08 ～0.40 m/s2时未见明显不舒适感。考虑悬挂运行使乘客对竖向离心加速度产生的不舒适更为敏感，竖向离心加速度宜取较小值，但为了发挥悬挂式单轨适应性强的优势，也不宜太小。因此，建议竖向最大离心加速度一般取0.16 m/s2，工程条件困难时取0.25 m/s2。根据式（7）和av，max取值，计算得出各车速下竖曲线最小半径（取100的整数倍），见表2。

表2 平竖曲线不重合条件下的竖曲线最小半径

3 纵断面参数与横向未平衡加速度的关系

3.1 纵坡角的影响

式（5）中纵坡角影响因式与竖曲线半径无关。为分析纵坡角的影响，假定不设竖曲线，式（5）可简化为

当Rh和V不变时，aq为关于γ的减函数。假定θmax=0.1047 rad，V=80 km/h，且无竖曲线影响，取纵坡角γ=0，0.0599 rad，即平坡和60‰纵坡（正线最大坡度［2]）两种情况。结合表1，用式（8）计算横向未平衡加速度，结果见表3。

表3 车速80 km·h-1条件下的横向未平衡加速度

由表3 可知，纵坡角越大，横向未平衡加速度越小，但影响程度整体较小，可忽略不计。因此，式（5）可简化为

3.2 竖曲线的影响

竖曲线为凹曲线时会增大横向加速度，若车体倾斜角已达到最大，则会增大横向未平衡加速度；竖曲线为凸曲线时会减小横向加速度，若车体倾斜角已达到最大，则会减小横向未平衡加速度。可见，凹型竖曲线会增加乘客横向不舒适感，须分析凹型竖曲线及半径引起的横向未平衡加速度增量Δaq。Δaq采用设凹型竖曲线与不设竖曲线（即Rv→∞）的横向未平衡加速度差值表示，根据式（9）可得

由式（10）可知，竖曲线半径越小、车速越大，横向未平衡加速度增量越大。当倾斜角达到θmax时，平曲线与凹型竖曲线重合会增大横向未平衡加速度，为保障乘坐舒适性，要设置较大的竖曲线半径。下文研究的竖曲线均为凹型竖曲线。

4 平竖曲线重合线路条件

上述研究说明悬挂式单轨平竖曲线重合既要控制横向未平衡加速度、竖向离心加速度，又要控制横向未平衡加速度增量。线路设计通常采用先平面后纵断面的设计流程。从设计流程角度考虑，平竖曲线重合线路条件应重点研究匹配不同车速与平曲线半径组合的竖曲线半径合理取值。因此，首先分析平竖曲线重合情形，计算区分重合情形的曲线半径临界值，进而建立不同情形下的平竖曲线重合下竖曲线半径计算方法。

4.1 平竖曲线重合情形分析

根据是否产生横向未平衡加速度，将平竖曲线重合分为两种情形。情形一，不产生横向未平衡加速度，且竖向离心加速度须满足舒适性要求。情形二，存在横向未平衡加速度及增量、竖向离心加速度，且均须满足限值要求。

为了从曲线半径判断两种情形，将横向未平衡加速度为0（即θe=θmax）时的平曲线、竖曲线的半径定义为其半径临界值。若平曲线、竖曲线的半径均不小于其半径临界值且满足竖向离心加速度要求，平竖曲线方可重合，判断为情形一。若平曲线半径介于最小值与临界值之间，竖曲线半径达到或超过其半径临界值，且须满足横向未平衡加速度及增量、竖向离心加速度限值要求，平竖曲线方可重合，判断为情形二。若平曲线半径小于最小值，横向未平衡加速度突破限值要求，此为不合理设计，不应存在。

4.2 平竖曲线重合条件下曲线半径临界值

当列车以车速V通过平竖曲线重合段且车体横向平衡倾斜角θe≤θmax时，车体通过倾斜完全实现横向加速度，即aq= 0。结合式（9），平曲线半径临界值［Rh]和竖曲线半径临界值［Rv]的表达式分别为

取θmax=0.1047 rad，结合表1，计算不同车速与曲线半径组合下平竖曲线重合段的［Rh]和［Rv]，见表4。平曲线、竖曲线半径均不小于临界值时，平竖曲线重合不产生横向未平衡加速度。

4.3 平竖曲线重合条件下竖曲线最小半径计算方法

1）情形一

情形一的竖曲线半径既要大于临界值，又要满足竖向离心加速度的要求。因此，Rv，min为式（7）、式（12）的较大值，即

2）情形二

情形二须同时满足横向和竖向舒适性要求，竖曲线最小半径Rv，min应为各项舒适性要求的最小半径值中的最大值，结合式（7）—式（12），可得

式中：Rv，1为式（9）中aq取最大值aq，max时Rv的计算结果；Rv，2为式（10）中Δaq取最大值时Rv的计算结果。

分两步计算平竖曲线重合条件下的竖曲线最小半径。①按照式（11）和式（6），计算不同车速下平面曲线半径临界值［Rh]和最小半径Rh，min。②设定V和Rh，若Rh＞［Rh]，按式（13）计算；若Rh，min≤Rh≤［Rh]，按式（14）计算。计算时，θmax取0.1047 rad；aq，max一般取0.40 m/s2，工程条件困难时取0.50 m/s2；Δaq最大值以工程条件困难时的aq，max为基准，一般取0.50 m/s2的3%（0.015 m/s2），困难时取4%（0.020 m/s2）；av，max一般取0.16 m/s2，困难时取0.25 m/s2。计算结果按100 的整数倍取整，见表5，其中括号内为原始计算值。

结合表2、表3 可知，平竖曲线重合段的竖曲线半径一般大于相同条件下非重合段的竖曲线半径。

表5 平竖曲线重合条件下的竖曲线最小半径

5 结论

通过悬挂式车辆动力学方程，建立了控制参数与平纵曲线要素间的关系模型。根据是否产生横向未平衡加速度，将平竖曲线重合分为两种情形，利用控制参数与平纵曲线要素关系，提出了区分两种情形的曲线半径临界值计算式，并建立了各情形下的平竖曲线重合下的竖曲线最小半径计算方法，计算得出了不同车速与平曲线半径组合下的竖曲线半径最小值，为悬挂式单轨线路平竖曲线重合段优化设计提供了新的解决方法。主要结论如下：

1）平竖曲线重合既须控制横向未平衡加速度、竖向离心加速度，又须控制横向未平衡加速度增量，从而降低横向、竖向不舒适性的叠加影响。

2）为保障舒适度，平竖曲线重合段宜选用较大的竖曲线半径。

3）平竖曲线重合段竖曲线半径一般大于相同工程条件下的非重合段竖曲线半径。

工程实践中，悬挂式单轨车辆参数存在差异，应结合具体参数计算确定平竖曲线重合段竖曲线半径。