神奇的自然常数e和一个重要极限

杨安平 周金刚

摘 要：极限的运算是高等数学的三大基本运算之一，本文阐述了自然常数e的发现过程，高等数学中的一个重要极限的证明和应用。

关键词：自然常数，重要极限，核心地位

中图分类号：G633

世界上原本没有数学，只有十个数字，甚至这十个数字也是阿拉伯人发明的。数学是人们在认识自然和改造自然的过程中产生的，为了计数，人们发明了数字。用字母代替数字，产生了代数学。为了求图形的面积，产生了几何学，随着人类文明的进步，科技的发展，逐渐出现了微积分学，概率和数理统计学，线性代数学，复变函数论等数学分支。数学来源于生活，它又为我们的生活服务。

在1690年，莱布尼茨在信中第一次提到常数e。在论文中第一次提到常数e，是约翰·纳皮尔（John Napier）于1618年出版的對数著作附录中的一张表。但它没有记录这常数，只有由它为底计算出的一张自然对数列表，通常认为是由威廉·奥特雷德（William Oughtred）制作。第一次把e看为常数的是雅各·伯努利（Jacob Bernoulli）。欧拉也听说了这一常数，所以在27岁时，用发表论文的方式将e“保送”到微积分。

已知的第一次用到常数e，是莱布尼茨于1690年和1691年给惠更斯的通信，以b表示。1727年欧拉开始用e来表示这常数;而e第一次在出版物用到，是1736年欧拉的《力学》（Mechanica）。虽然以后也有研究者用字母c表示，但e较常用，终于成为标准。以e为底的指数函数的重要方面在于它的函数与其导数相等。e是无理数和超越数（见林德曼-魏尔斯特拉斯定理（Lindemann-Weierstrass））。这是第一个获证的超越数，而非故意构造的（比较刘维尔数）;由夏尔·埃尔米特（Charles Hermite）于1873年证明。其实，超越数主要只有自然常数e和圆周率π。自然常数的知名度比圆周率低很多，原因是圆周率更容易在实际生活中遇到，而自然常数在日常生活中不常用。

这里以一个银行存款的例子简单描述一下：我们在银行存款是有利息的，而利息和本金一起，赚取更多的利息。当然，银行不是慈善家，银行的定期利息是很低的。

通过以上学习，我们认识自然常数的来历和重要公式的证明及应用，教师在讲解一个知识点时，要用生动的例子引入课题，探究事物的本质，从而提高学生学习数学的兴趣，激发学生的想象力和创造力。

参考文献：

[1]ELIMAOR.E的故事[M].北京：人民邮电出版社，2012.

（黄冈科技职业学院 湖北黄冈 438000）