“数学结构”在一元微积分教学中的应用浅析

薛亚宏

（甘肃工业职业技术学院 电信学院,甘肃 天水 741025）

一元微积分是高等数学的基础，分布着许多经典的数学思想与方法，这些重要的思想方法从不同维度、不同阶段以不同的“形式”体现着数学之美.在严谨的数学概念描述之后，一系列“数学结构”被依次呈现出来，它们以极限为出发点，贯穿于导数、微分、积分.甚至于，在更高阶、更复杂的数值运算领域，其最后的计算落脚点却体现为极其朴素的数学原理或数学结构[1].

基于数学学习方法论，在微积分教学之初便应当主动地、以潜移默化的方式渗透到整体个微积分体系当中，并付诸一定量的运算实践予以加强，以更深刻、更直观地体会模型建构的重要性，把握“数学结构”在微积分中的重要意义，为多元微积分、数列、级数等内容的学习建立相对稳定的方法体系.

1 “数学结构”在一元微积分中的分布

“数学结构”最初散布于极限、导数、微分、积分等领域，在多元微积分中以极限为“线索”再次进入视线，从计算原理、计算难度上未有大幅提升，故以下就一元微积份为例，简述“数学结构”在微积分各教学节点中的分布.

1.1 在极限中的分布

极限是贯穿于微积分始终的一条灵魂，在整个微积分体系中扮演着极其重要的角色，特别是在微积分的原始定义中，无论一元还是多元无不闪耀着“极限的光茫”，深刻体会极限思想也是准确把握微积分本质的关键[2].

在极限的教学中，“数学结构”首次出现在“两个重要极限”一节中，具体为：

以上两组关于极限的公式中，“▎”均为任意非零“整体”.严格来讲，从符号学上两者并无本质区别，但从形式上却消除了变量x的束缚，以更为广泛化、结构化的方式重新展现，可称之为极限运算领域内一种特殊的“数学结构”.

1.2 在导数中的分布

导数是一种特殊的、类型化的极限表现形式，也是一种“数学结构”，关于导数的定义，可简述为“增量比的极限”.特别是在变速直线运动的瞬时速度、曲线的切线斜率、电流强度等经典案例中，虽出自不同领域，但却表现出惊人的共性，即“极限结构”的一致性，完整描述为：“函数值增量与自变量增量的比值，当自变量增量趋近于0时的极限”，即：

以上导数基本定义中，认识到导数是一类特殊且广泛存在的“极限结构”非常重要，在积分中亦是如此.

在自变量变化的微观层面，为求解一系列问题的近似值，引入了微分，最初形式为：

以上微分定义中，Δy的线性部分即“微分”也是一种“数学结构”，它的本质是当自变量发生微小改变时函数值改变量的主要部分，也是微分存在的意义.前提是Δy与微分f'()x0∙Δx的差值必须为Δx的高阶无穷小，即当Δx→0时，这个差值趋于零的速度比Δx更快，它的几何表现是：曲线端点在接近过程中，相比于水平间隔的缩小速率，割线变化率与切线变化率之差（纵向变化）比其更快.

1.3 在积分中的分布

不定积分的出现，揭开了微积分的冰山一角，直至定积分结束，才初步构建了相对完整的一元微积分学的框架.在不定积分的积分方法中，无论换元法还是分部法均以基本积分公式为依照，这些基本的微积分公式共有16组，均一一对应，每个公式可视为一种“数学结构”，比如：

以上正余弦函数的导数与微分公式中，“▎”代表任意函数整体，即从以x为自变量的公式中解放出来，以一种“数学结构”的形态呈现，并对换元法（凑微分）的运用产生直接影响.

类似地，其他导数与积分公式均可采用“以▎代x”的思路来解决一元微积分学中大量的求导求积分运算，并通过反复实践，不断体会“结构”在微积分计算中的重要意义.

2 “数学结构”在一元微积分中的应用

2.1 在极限教学中的应用

极限的形式多样且复杂，下面以两个重要极限为例，演示“数学结构”的具体应用：

以上极限运算中，“▎”代表任意函数整体.结构化的计算方式与换元法无本质上的区别，其意义在于弱化换元思想，从“数学结构”层面去思考问题，解决问题，从中体会“结构”对于数学的意义，进而在后续积分运算中更好地理解导数和积分在极限方面的相似性，从而领悟到极限之所以称之为“微积分学的灵魂”的实质，并能牢牢把握极限这一主线[3].

2.2 在导数教学中的应用

导数的运算中，复合函数求导是根本，无论嵌套多少层，其本质依然是基本导数公式的应用，以下以三层复合为例做演示：

以上复合函数求导运算中，在正确分解的情况下，应用基本导数公式对每层基本初等函数进行求导，回代后得到结果.通常来说，复合函数求导往往会省略分解过程而直接进行求导，这本身就是“数学结构”的反复应用，其体现的是数学的“简洁性”和函数形式的不变性，即无论复杂程度如何，均可视为由基本初等函数复合而成，是“化整为零”思想的另一种表现[4].

2.3 在积分教学中的应用

第一换元法是积分的基础，因核心在于微分形式的不变性，所以又称为凑微分法.在积分的教学中，换元法虽解题思想较为简单，但须以熟记17组（34个）基本积分公式为前提，因此学生在短时间内掌握仍有难度.经过一段时间的大量练习之后，学生会逐渐体会到，换元法的“化繁为简”思想，关键在于对积分表达式要有一种“整体观”，始终要将公式（即“数学结构”）了熟于心，那么在积分过程中解题思路会更加清晰，通过对不同“结构”的反复应用，达到对积分计算驾轻就熟的效果.以下以第一换元法为例进行演示：

通过换元回代，得积分结果为

通过换元回代，得积分结果为

以上两个换元法案例，采用的是第一换元法.经换元后呈现为基本积分公式，即回归为基本的积分结构.事实上，所有的一元函数的积分包括第一换元法、第二换元法、分部积分法，无论原积分表达式如何复杂，通过多次换元和整理，都将化为基本的积分结构.

3 教学中需注意的问题

3.1 深刻认识“结构不变性”

由于极限在一元微积分中的特殊意义，许多涉及微积分的定义中都将极限作为工具，如导数为“增量比”的极限，定积分为“和”的极限，所以在极限层面存在许多相通之处，最终体现为一大批以x为变量的基本公式.特别地，理论教学应当明确指出公式自身的结构性，在现实中，在不以x为变量的问题中，更应深刻认识数学结构的广泛性，进而将实践和理论能有机联系起来[5].

3.2 与专业课程的对接

一元函数微积分教学是数学从初等数学进入高等数学领域后最先接触的领域，在数学方法、理念、思想方面均有较大区别，如“由规则到不规则，由直到曲，由不变到变”等，这些变化，给学生带来了一些困惑.特别是在微积分理论体系和专业实践之间的融合方面，是教与学的难点，直接影响对专业课中大量微积分计算的实质理解，如微积分在什么情况下介入，为什么会引进微积分，以及大量微积分计算问题[6].我们意识到，只有彻底理解微积分的本质并熟练掌握微积分计算，才能有效解决微积分与专业课的融合问题.通过长期的教学实践与反馈，“数学结构”不仅体现在理论层面，在许多专业实践涉及的数学问题中，更多地是一种数学思想，具体体现为某种特定的“数学结构”，如在建筑力学、电子通信、电法勘探、成本会计等学科领域中十分普遍，其数学共性大体上分为两类，动态变化率问题和不规则累积问题，在微积分教学中，应通过现实应用案例突出这些数学思想.

4 结语

一元函数微积分在高等数学中占有十分重要的地位，是数学各学科分支以及理工科专业重要的公共基础.对一元函数微积分学的教学应始终把握极限这一主线，在导数、积分中予以贯穿.在关于极限、导数、积分的计算中强化数学公式的“结构性”，弱化x作为变量符号的狭义作用，强化“数学结构”计算理念，使其在更广泛的应用领域内具有普适性.