高速电主轴转子-轴承系统动力学特性分析

高 峰， 贾伟涛， 李 艳

(1.西安理工大学 教育部数控机床及机械制造装备集成重点实验室， 陕西 西安 710048；2.西安理工大学 陕西省制造装备重点实验室， 陕西 西安 710048)

高速加工是一种先进制造技术，广泛应用于航空航天、模具等高端装备制造业，极大地提高了生产率和加工精度，降低了生产成本[1]。电主轴作为高速数控机床核心部件，将原动力-传动装置-执行器-控制系统集成为一体，实现高速运行。主轴单元是影响电主轴系统稳定性的关键部件，轴承刚度对电主轴转子-轴承系统动态特性有着重要影响[2-5]。

文献[6-7]建立了考虑预紧的高速角接触球轴承动力学模型，以7012/CD轴承为例，分析预紧对高速角接触球轴承动态刚度的影响。Zhang等[8-10]建立了角接触球轴承在不同预紧机制下的刚度分析模型。结果表明：在固定位置预载荷作用下，该轴承具有较好的刚度稳定性。采用时程图、相图和Poincaré图分析了不同支承下，转子轴承系统的动力学特性，结果表明，系统的动态特性随轴承刚度及转速的变化呈现出倍周期、准周期和混沌运动特性，可用于预测转子轴承系统的动力学响应[11-14]。文献[15-18]建立不同支承下高速转子系统的非线性模型，通过求解Floquet乘子矩阵的对数确定原系统的稳定性，并得到系统稳定极限曲线。基于稳定性理论[19]，给出了二维动力系统在不动点处的局部稳定性[20-21]。高速旋转电主轴，由于质量偏心诱发的离心力是主要的激励源之一[22-23]。由于电主轴轴径较小，出厂前又做了很好的动平衡，因而很多学者[24-25]在进行动力学分析时，通常忽略轴系离心力对主轴系统动力学特性的影响。实际上在高转速状态下，轴系离心力的影响是客观存在的。Wang等[26]研究了高速电主轴系统在离心力和轴承刚度软化效应下的动态性能。结果表明：上述因素对电主轴的动态性能影响较大。

考虑离心力及轴承刚度软化效应，以150MD25Z7.5电主轴为研究对象，建立电主轴转子-轴承系统的非线性动力学模型，分析不同运行参数下，电主轴系统动力学响应，并讨论了动力系统不动点处的局部稳定性。

1 动力学模型

高速电主轴由转子、定子、转轴、前后支承轴承、壳体等基本机械部件组成。图1为高速电主轴的基本结构形式，转子和定子置于主轴前后轴承之间。

图1 电主轴结构简图

对于高速电主轴，根据其转子系统的结构特点，将其简化为包含质量不平衡的转子-轴承系统模型，见图2。其中，S为圆盘几何中心，G为圆盘质量中心，e为偏心距。模型中转子两端由角接触球轴承B7008支承，转轴长为310 mm，转轴质量为3.699 kg。

图2 角接触球轴承支承下不平衡转子动力学模型

角接触球轴承的径向刚度k1可近似按下式计算[27]：

(1)

式中：z为滚动体数目；Db为滚动体直径；α为轴承接触角；F0为轴承预紧力。

计算可得：k1=2.248 8×109N/m。

利用等效弹簧和阻尼建立具有非线性支承的电主轴转子轴承模型。在不平衡质量激励下，电主轴转子-轴承系统的运动方程如下：

(2)

式中：m,e和ω分别是转子的质量、质量偏心率和转速；c,k1和k3分别代表转子支承的阻尼、线性和非线性刚度。

由于式(2)中无耦合项，平面y的振动与平面x的振动相同，只是存在一个相位差，所以本文只研究一个方向上的振动状态。

高速磨削主轴系统是一种机电耦合系统，由于系统存在电磁刚度，转子-轴承系统表现出软特性。将式(2)写为：

(3)

式中：ξ=c/m,=|k3|/m。

将式(3)改写为：

(4)

式中：

λ=ω/ωn;ωn表示固有频率。

对于高速磨削电主轴的转子-轴承系统，r≪1，f≪1，所以将r，f认为是小参数。

2 结果与讨论

采用数值分析法求解系统动力学方程，分析电主轴转子-轴承系统动力学行为。

2.1 不同转速下的响应(k1=2.248 8×109 N/m)

轴承刚度为k1=2.248 8×109N/m，以ω作为控制参数，系统时程图、Poincaré图分别见图3～6。

图3 转速ω=5 000 r/min时的系统响应

图4 转速ω=10 000 r/min时的系统响应

图5 转速ω=15 000 r/min时的系统响应

图6 转速ω=20 000 r/min时的系统响应

由图3～6可知，当转子转速为5 000 r/min时，系统时程图呈周期性变化，且Poincaré图上为11个孤立的点，则系统为周期11(P11)运动，此时系统最大振幅达到9×10-9mm。当转子转速升高为10 000 r/min时，时程图历程杂乱无章、无规律可循，且Poincaré图上出现了大量无序的点。因此，此时系统处于混沌(chaos)运动状态，且最大振幅达到8×10-6mm。同理，当转速为15 000 r/min时，系统仍处于混沌(chaos)状态，此时系统最大振幅达到1.32×10-5mm。当系统转速升高为20 000 r/min时，Poincaré图上出现了2个孤立的点，则系统处于周期2(P2)运动状态，且系统最大振幅为4.31×10-4mm。

由上可知，电主轴转子-轴承系统的主轴振幅随转速变化的变化趋势为： 9×10-9mm→8×10-6mm→1.32×10-5mm→4.31×10-4mm。可知，主轴振幅随转速的增加而增加。原因在于，转速的增加使得不平衡质量引起的离心力显著增强，导致系统振幅增加。当转速为5 000 r/min、20 000 r/min时，系统时程图表现为周期变化的趋势，且Poincaré图上存在若干孤立的点，则表明系统处于周期运动状态。转速为10 000 r/min、15 000 r/min时，Poincaré图出现大量无序的点，系统为混沌运动，随着转子转速的升高，系统运动特性为P11→chaos→P2。

2.2 不同转速下的响应(k1=2.248 8×1010 N/m)

轴承刚度为k1=2.248 8×1010N/m，以ω作为控制参数，系统时程图、Poincaré图分别见图7～10。

图7 转速ω=5 000 r/min时的系统响应

图8 转速ω=10 000 r/min时的系统响应

图9 转速ω=15 000 r/min时的系统响应

图10 转速ω=20 000 r/min时的系统响应

由图7～10可知，当转子转速为5 000 r/min时，系统时程图呈周期性变化，且Poincaré图上存在1个孤立的点，则系统运动为周期1(P1)运动，此时系统最大振幅达到1.672 6×10-3mm。当转子转速升高为10 000 r/min时，Poincaré图上出现可数个孤立的点，则此时系统为周期7(P7)运动，此时系统最大振幅达到1×10-9mm。同理，当转速为15 000 r/min时，系统为周期3(P3)运动，此时系统最大振幅达到4×10-10mm。当系统转速升高为20 000 r/min时，Poincaré图上出现可数个孤立的点，则系统处于周期n(P-n)运动状，此时系统最大振幅达到5×10-10mm。

分析图7～10可知，主轴振幅随转速的变化趋势为：1.672 6×10-3mm→1×10-9mm→4×10-10mm→5×10-10mm。同时可以看出，转子轴承系统始终处于周期运动状态，即P1→P7→P3→P-n。

电主轴转子-轴承系统的动力学特性见表1。

表1 不同刚度下电主轴的运动特性

由表1可知，当k1=2.248 8×109N/m时，系统的运动状态随转速的增加而变化，从周期运动到混沌运动，最后再回到周期运动。当k1=2.248 8×1010N/m时，系统处于周期运动状态。由此可见，刚度的增加抑制了混沌的发生，改善了电主轴轴承-转子系统的振动特性。

电主轴转子-轴承系统的振动幅值见表2。

表2 不同刚度下电主轴系统振幅(单位：mm)

从表2可以看出，随着轴承刚度的增加，系统振幅呈现明显的下降趋势。文献[6]给出了转速为3 000 r/min时，不同刚度作用下转子振动响应幅值变化曲线，随着轴承刚度的增加，转子的径向振动幅值逐渐降低。理论仿真结果与文献结果具有相同的趋势，验证了文中模型的正确性。

3 稳定性分析

基于微分方程稳定性理论，式(4)可用一阶常微分方程组表示：

(5)

在系统不受外力的情况下，则：

(6)

首先，得到系统式(6)的不动点：

(7)

因此，该系统有3个不动点：(0,0)，(1,0)和(-1,0)。

将式子(7)写为矩阵形式：

(8)

a) 检查固定点(0,0)的稳定性：

(9)

上式的解为：

(10)

1) 当r>0时，在固定点(0,0)处，λ1,2< 0，则该不动点是渐近稳定的；

2) 当r=0时，在固定点(0,0)处，λ1,2=± i，则该不动点是线性稳定的；

3) 当-2

4) 当r=-2时，在固定点(0,0)处，λ1,2=1，系统有两个正根，则该不动点是失稳的；

5) 当r<-2时，在固定点(0,0)处，λ1,2>0，则该不动点是失稳的。

b) 检查固定点(±1,0)的稳定性：

(11)

上式的解为：

(12)

由式(12)的第一个方程知，系统方程总是有一个正根，所以该不动点是不稳定的。

由式(4)可知，r=c/(m·ωn) > 0，所以在固定点(±1,0)附近，系统是失稳的，在固定点(0,0)附近，系统是渐近稳定的。

4 结 论

本文主要研究质量偏心及“负刚度”作用下，转速变化对电主轴转子-轴承系统动力学行为的影响。合理的转速能够避免系统进入混沌运行状态，为电主轴长期处于周期运行提供理论依据，指导实际加工中工艺参数的优化选择。

1) 系统支承刚度为k1=2.248 8×109N/m时，随着转速的增加，系统动力学特性经历了周期运动和混沌运动。当支承刚度增加到k1=2.248 8×1010N/m时，系统不出现混沌现象，呈现良好的系统稳定性。由此可知，系统刚度的增加抑制了混沌现象的发生，使得系统始终处于周期性运动状态。随着轴承刚度的增加，系统振幅呈现明显的下降趋势。

2) 系统稳定性分析表明，系统在不动点(±1,0)附近的运动是不稳定的；在不动点(0,0)附近的运动是渐近稳定的。