简谐振动实验中弹簧有效质量的测量及误差分析*

2021-05-06吕佩伟王小贞马靖

福建轻纺 2021年4期

吕佩伟，王小贞，马靖

（福州大学物理与信息工程学院，福建福州 350116）

1 引言

气垫导轨是一种现代化的力学实验仪器，导轨表面与滑块之间有一层很薄的气垫使得滑块可以浮在气垫层上，与导轨轨面脱离接触，极大地减小了以往在力学实验中由于摩擦力引起的误差，因此大学物理实验中也通常采用气垫导轨系统来研究简谐振动[1,2]。简谐振动的理想模型是光滑水平面上的弹簧振子，可以忽略一切阻力和弹簧的质量[3]。但实际的简谐振动运动中的弹簧并不是无质量的理想弹簧，振动周期会受到弹簧质量的影响。文献[3-5]中均推导出弹簧的有效质量为其质量的1/3，滑块的简谐振动周期公式中需要把弹簧质量的1/3加到滑块的质量上。本实验主要分析弹簧有效质量对振动周期的影响，通过实验测量不同质量滑块所对应的振动周期大小，利用Origin软件辅助进行线性拟合，计算得到弹簧的有效质量，并分析弹簧的有效质量偏大的原因。

2 实验仪器及测量

实验仪器包括气垫导轨，气泵，滑块，平板形挡光片，数字测时器，光电门，2个相同质量和劲度系数的轻质弹簧，5个相同质量的配重块，简谐振动示意图如图1所示。

图1 简谐振动示意图

表1 实验测量数据表（单位：ms）

在水平气垫导轨的两端连接相同劲度系数的两个弹簧组成振动系统，平衡位置放置光电门来测量滑块做简谐振动的周期。在实验测量过程中，保持气源的气压稳定，滑块每次振动的振幅为1 cm左右[6]，振幅通过气垫导轨上附带的毫米刻度尺来确定，每次测量10组振动周期。每次在滑块上添加1个配重块来改变滑块质量，依次测量不同质量滑块所对应的周期大小，测量数据如表1所示。滑块、配重块及轻质弹簧的质量用精度为0.1 g的电子天平进行测量，滑块质量M=128.0 g，每个配重块质量m=12.5 g，轻质弹簧m0=6.4 g。

3 实验结果及讨论

在实验过程中，利用光电门及数字测时器测量不同质量滑块所对应的振动周期大小，实验测量的不同质量滑块所对应的振动周期及周期平方大小如表2所示。

表2 实验测量的不同质量滑块大小所对应的振动周期及周期平方大小

考虑弹簧的质量对滑块振动周期的影响，滑块做简谐振动的周期公式[3，7]应当修正为：

式子中的c为弹簧的有效质量系数。对于同一滑块和弹簧所组成的振动系统，c、m0和k都是常量，因此Ti2与Mi为线性关系。

利用Origin软件对表格2中的实验数据进行线性拟合，所得到的拟合直线及拟合的线性方程如图2所示。

图2 不同质量滑块与周期平方的关系曲线及其线性拟合方程

由图2所拟合得到的直线方程的斜率可以计算得到弹簧的劲度系数大小，而拟合直线的截距与斜率直接的比值大小则是弹簧的有效质量，计算得到的有效质量大小为2.24 g。因此弹簧的有效质量系数c为：

对于轻质弹簧而言，弹簧的有效质量为其质量的1/3，这与相关文献[3-5]的推导是一致的。只有把弹簧质量的1/3加到滑块的质量上，我们才能把滑块的简谐振动视为理想的振动系统。因此，在实验教学中，我们不能忽略弹簧有效质量对滑块振动周期的影响，学生在处理数据过程中必须考虑到弹簧有效质量的大小。而实际实验测量得到的弹簧有效质量会偏大，这是由于滑块与气垫导轨之间存在黏滞阻力以及滑块在简谐振动运动过程中受空气阻力的作用[2,8]，都会使得滑块振动过程中的振幅慢慢减小，从而影响到滑块的振动周期。另外，弹簧受重力的影响会使得弹簧的中部稍微有所下垂，会使弹力稍微偏离水平方向，导致振动周期的误差[9]。因此，实验过程中要保证气源稳定，防止气垫导轨上的出气孔被堵塞，同时实验中需要用轻质弹簧来进行简谐振动实验，尽量减小弹簧受重力的影响。