纵横波波场分离效果对比

郭政宏，胡叶正

（西南石油大学 地球科学与技术学院，四川成都 610500）

弹性波正演是认识地下复杂介质的重要手段，在弹性波有限差分正演模拟中，除了二阶质点位移方程外，常用一阶速度-应力方程，其优点是不需要对弹性参数进行空间微分，就可以得到完整的地震波场响应[1]。除了常规网格外，Madariaga提出的交错网格，它在不增加计算量的前提下，和常规网格相比局部精度提高了4倍，收敛速度也很快，很好地压制了数值频散[2]。

弹性波纵横波场分离是进行弹性波逆时偏移的必要条件，如若不能正确分离纵横波场，则在偏移成像过程中由于纵横波的互相干扰，导致偏移成像失败。目前大多数学者都采用传统的Helmholtz原理分离纵横波场。Helmholtz分解基于弹性波混合波场是由一个无旋场和无散场组成的，这个无旋场就是纵波的势函数，无散场就是横波的势函数。因此可以通过对混合波场做散度运算提取纵波，做旋度运算。但是由于旋度运算和散度运算对空间做了一阶偏导数，分离后的波场的振幅和相位都会改变，且分离后的纵横波波场与原波场的物理意义不一致。假设原波场为位移，那么经过Helmholtz分离后的波场为质点速度相关的一个量。而且对其做相位矫正和振幅恢复时计算量过大，对后期的逆时偏移来算不易实现。本文采用纵横波解耦方程有限差分交错网格形式下的正演模拟，吸收边界采用CPML。在提高计算效率上利用MPI和OpenMP进行并行加速。

1 基本原理与方法

1.1 弹性波各向同性一阶速度-应力方程

密度非均匀，二维弹性波各向同性一阶速度-应力方程：

式（1）中：vx、vz为弹性波质点振动速度的水平分量和垂直分量（在多波多分量地震勘探中，也被称之为伪横波和伪纵波）；τxx、τzz、τxz为质点振动x轴向，z轴向的正应力，和y平面法向的剪切应力；λ、μ则为弹性波的模量，其中μ是剪切模量；ρ表示为密度参数。

其中，密度，纵横波速度参数和弹性波的模量参数关系如下：

弹性波一阶速度-应力方程交错网格各个分量的配置方式如图1所示，其中密度位于半网格点上。

各向同性弹性波介质中，纵波和横波是完全解耦：纵波是一个有源无旋散度场，横波是一个有旋无散的散度场，混合波场是由一个散度场（纵波波场）和一个旋度场（横波波场）叠加而成。

基于Helmholtz弹性波纵横波场分离理论，可以从质点振动速度的水平分量和垂直分量提取散度获得纵波波场，从中提取旋度获得横波波场。

时空域直接采用散度算子和旋度算子如下：

从式（3）中可以看出，Helmholtz分离后的纵横波场，其相位整体移动了90°，纵横波振幅比也发生了变化，同时得到的纵横波波场和原波场的物理意义也不相同。

1.2 纵横波解耦的一阶速度-应力方程

密度非均匀，各向同性纵横波波场分离方程：

应用有限差分进行弹性波波动方程正演时，由于正演的空间有限，需要在节段的人工边界上引入吸收边界条件。当前吸收效果较好的边界条件是完全匹配层（PML）边界，它能够使大角度入射的弹性波在匹配层中无反射地通过，并按照指数规律进行衰减。由于在弹性波正演模拟中，纵波速度、横波速度和密度的差异变化复杂，使用常规的PML吸收边界会留下一些反射波和大量的隐失波，而采用CPML算法后则可以大大减少反射波的存在，并且对隐失波的吸收具有很好的效果。

2 模型测试

选取Mamousi模型的一块区域（图1（a）），该区域的网格大小为（1 201×401），空间采样间隔为5m，纵横波波速比为1.73，不考虑密度模型（密度默认为1），纵波震源激发，零相位雷克子波，震源主频30Hz，时间采样间隔0.000 5s，有限差分阶数16阶，CPML吸收层数32。

图1 速度模型及波场分离

基于弹性波各向同性一阶速度-应力方程，并采用Helmholtz原理提取的纵横波场如图1所示。使用相同正演模拟参数，基于纵横波解耦一阶速度-应力弹性波方程分离的纵横波如1（b）所示。

由于采用弹性波进行正演模拟，正演记录中出现了特有的面波现象，这是由于纵横波或者部分分量耦合在一起导致的，是声波正演模拟所不具有的特征。由于Marmousi的模型相对复杂，其反射波比较杂乱，波场也相对复杂。

对比图1（b）和图2（a），分离出的纵横波振幅与图1（a）相比更加符合真实的纵横波振幅比值，其反射波的细节更加清晰。同时纵横波解耦分离的纵横波保持原有的矢量特征，这与通过Helmholtz分离出来的标量波场有本质不同，分离出来的波场的物理意义和原来的波场的物理意义相一致。

图2 纵横波解耦

3 结论

基于纵横波解耦方程交错网格下进行数值模拟，并借助Marmousi模型进行测试。同时和基于Helmholtz纵横波分解的方程相比，前者提取到纵横波场振幅和相位没有发生变换，波场的细节清楚，其分离出的波场干净，更加适应于后续的弹性波逆时偏移成像等工作流程。