基于知识衔接的概念教学探究——以“三角函数”为例

王 伟

（星海中学,浙江宁海315600）

概念教学应遵循学生的认知规律，让学生经历概念引入、形成、应用的过程。数学概念是构建数学理论体系的起点，是深层次学习数学、研究数学的基础，因此，概念教学就显得尤为重要。但数学教学并不能只停留于概念教学，更应关注学生学习的可持续性，利用概念教学完善学生的知识架构，注重衔接，这更加有助于学生的发展性学习。现结合浙教版九年级下册第一章第一节《三角函数》的教学设计较系统地论述如何做好概念课的教学以及知识的衔接。

1 探索概念

探究一 1. 一次函数y=2x的图象如图1 所示：（1） 在图象第一象限上取点A、B，过点作AA1⊥x轴于点A1，BB1⊥x轴于点B1，那么比值与是否相等；（2）比值与与是否相等，请说明理由；（3）若将一次函数解析式更改为y=kx，上面的比值是否依然相等。

图1

设计意图：教材中建议以生活中熟悉的场景作为本节课的情境引入，例如山坡、屋顶的斜面，或直接用木板搭建斜面创设问题情境，借助已有的现实生活经验研究边与边之间的数量关系。在函数概念的探究过程中，初中阶段的学生抽象思维能力多属于经验型，而高中阶段的则更多的是理论型。教学中要更多地关注学生的思维转型，舍弃实际问题借助一次函数研究三角函数概念，更加有利于学生的抽象思维由经验型向理论型转化。一次函数图像上点的横、纵坐标可以直观地得出一对比值相等的线段，通过勾股定理计算OA、OB的长度也可以间接得出两对比值相等的线段，相较于实际问题的引入计算更加直接、方便，也更“贴近”三角函数的概念，更有助于探索三角函数的本质。同时本节新授课内容涉及函数的概念，以一次函数为铺垫展开新概念的探索，既能兼顾函数概念的复习，又能联系新授函数的学习，达到一举两得的效果。

探究二 2.上述的比值关系与什么变量有关？3.如图2 所示，若去掉坐标轴，上述比值关系与什么变量有关？

图2

设计意图：引出三角函数的变量是一个锐角，当一个锐角确定时，锐角所在的直角三角形的边构成的3 个比值都是一个确定的值，这是一种对应关系，而这种对应关系无法用解析式来表示，因此可引入三角符号来进行表示。在初中阶段为了便于学生的理解，函数的概念采用较为直观的描述，即为两个变量之间的一种对应关系，到高中阶段函数概念则描述为一种一一对应的映射关系，这也是函数的本质。

2 形成概念

2.1 明确概念

一般地，对每一个确定的锐角α，在角的一边上任取一点B，作BC⊥AC于点C，如图3 所示，则都是一个确定的值。比值叫做∠α 的正切（tangent），记做tanα；比值叫做∠α 的正弦（sine），记做sinα；比值叫做∠α 的余弦（cosine），记做cosα。锐角α 的正切、正弦、余弦统称为∠α 的三角函数。

图3

设计意图：三角函数的应用起初多用于解决实际问题，故在探索概念时应更多的联系实际，正如后续章节中的坡比其实就是角度的正切值，高中阶段一次函数的斜率k也是角度的正切值。教材所建议的实例引入其实也是先体现三角函数的正切值，继而研究其正弦、余弦。本课探究一也是先得出正切值，再借助勾股定理计算得到正弦值、余弦值。但教材却是先给出正弦、余弦的概念，最后才得到正切的概念，这样的编排顺序确实有些不妥，违背了学生对事物发展的认知规律，因此本节教学设计在明确概念环节稍作调整，先得到正切概念，其次是正弦概念、余弦概念，这样的呈现方式更突显了概念定义的合理性，在后续的设计环节中均以此顺序呈现。

2.2 三角函数表示

如果∠A是Rt△ABC的一个锐角，如图4 所示， 则 有

图4

三角函数的表示方法是引用英文字母简写进行表示的，在授课时要明确书写的格式。当角度可以用一个大写字母或希腊字母表示时，“∠”的符号可以省略不写，例如tanA、cosα；当角度用3 个大写字母或数字表示时，“∠”的符号不能省略，例如tan∠1、sin∠BAC。在规范三角函数的表示方法时也应该强调单独的tan、sin、cos 是无意义的，tanα、sinα、cosα 是一个完整的符号。

2.3 三角函数拓展

探究三 4.除了以上3 组比值，你还能得到其他不变的比值吗？

同上，引出邻边与对边、斜边与对边、斜边与邻边3 组不变的比值，让学生了解这3 组比值也是因角度的确定而不变的量，这也是三角函数，是高中阶段要学习的相关内容。此处不给出具体的表示符号，避免学生混淆概念，只是让学生做初步的了解。

设计意图：高中阶段的三角函数还有余切、正割、余割3 个三角函数，在此处给学生稍作介绍，既可排除学生产生的疑惑，也能让学生进一步了解三角函数概念的内涵，增强学生的发散性思维。

2.4 三角函数历史

三角学的起源、发展与天文学密不可分，它是天文观察结果推算的一种方法。在1450 年以前的三角学主要是球面三角，这不但是因为航海、历法推算以及天文观测等人类实践活动的需要，而且也因为宇宙的奥秘对人类的巨大吸引力，这种“量天的学问”确实太诱人了。后来，由于间接测量、测绘工作的需要而出现了平面三角。在欧洲，最早将三角学从天文学中独立出来的数学家是德国人雷格蒙塔努斯（J.Regiomontanus，1436—1476），他在1464 年完成的5 卷本的著作《论各种三角形》，是欧洲第一部独立于天文学的三角学著作，该著作首次对三角学做出了完整、独立的阐述。他采用印度人的正弦，即弧的半弦，明确使用了正弦函数，讨论了一般三角形的正弦定理，提出了求三角形边长的代数求法，给出了球面三角的正弦定理和关于边的余弦定理。其工作为教学三角函数在平面与球面几何中的应用奠定了牢固基础，对16 世纪的数学家产生了极大影响，也对哥白尼等一大批天文学家产生了很大的影响。

我国古代的天文学也很发达。我国的古代历法中计算由于节令不同而引出的“表”（就是竿）的影长不同，实际上构成了一个余弦函数表。现在所用的三角函数的名称：正切、余切、正弦等是我国16 世纪已有的名称。

设计意图：通过三角函数历史的介绍体现数学来源于生活实践，并为我们的生活所服务。三角函数在解决实际问题中扮演着重要的角色，这也是让学生先行体会三角函数的实用价值，为后面求解直角三角形教学做必要的铺垫。

2.5 锐角三角函数范围

探究四 5.对于任意一个锐角α，其三角函数值tanα、sinα、cosα 的范围分别是多少呢？

锐角三角函数的值都是正实数，因为直角三角形的边长都是正数，并且直角边小于斜边，所以tanα＞0、0＜sinα＜1、0＜cosα＜1。

设计意图：利用三角函数范围的探索让学生再次感受三角函数概念的本质，线段比值大小的结果分析将有助于学生进一步认识锐角三角函数[1]，同时范围的大小也可以在学生后续阶段计算三角函数值时作为其检验结果正确与否的一个基本依据。

3 理解概念

3.1 辨析概念

练习1：如图5 所示，在Rt △ABC中，∠C=90°,请表示sinA、cosA、tanA。

变式1：如图5 所示，在Rt △ABC中，∠C=90°,请表示sinB、cosB、tanB。

设计意图：三角函数的表示在初学阶段的学生容易混淆，特别是邻边与对边的概念是相对而言的，也是本节课的易错点。利用练习1 和变式1中直角三角形两个锐角三角函数的表示，强化学生对邻边、对边概念的理解和掌握。若将图形倾斜放置（非标准图形）也可以在一定程度上培养学生的几何直观能力。

变式2：如图6 所示，在△ABC中，BD⊥AC，请写出sinA、cosA、tanA。

变式3：如图7 所示，CD是Rt△ABC斜边上的高线，请用线段的比值来表示sinA、sin∠BCD[2]。

图5

图6

图7

设计意图：强化概念的理解，变式2 是让学生明确利用直角三角形边的比值关系表示一个锐角的三角函数值，变式3 则是让学生把握概念的内涵，锐角三角函数的大小是一个固定的比值，只与角度的大小有关，与所在直角三角形的大小无关，同时明晰当锐角相等时，其三角函数值也相等，这将有助于启发学生在后续学习时可借助找相等角来解决三角函数相关的问题。

3.2 运用概念

例1：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2BC=2，求sinA、cosA、tanA的值。

例2：如图8 所示，半圆的直径AB在x轴上，AB=2，且圆心与坐标原点重合，点C在第一象限的半圆上，且sin∠BOC=3/5，求点C的坐标。

设计意图：例1 通过作图与计算在几何直观上让学生再次感受三角函数的概念，例2 将三角函数的计算放在了单位圆中，通过构造直角三角形来解决三角函数的问题，这是最基本的途径，也是最常用的途径。高中的三角函数学习涉及非锐角三角函数的探索，其研究方式则是以单位圆为背景的，因此例2 的设置也能为初高中相关知识的学习起一定的衔接作用。

3.3 拓展创新

例3：我们在马路旁边的绿化带上经常会看到很多树木进行如图9 所示的形式加固，这其实是利用了三角形的稳定性。如图10 所示，把一根支架（AB）看成是直角三角形的一条斜边，支架一点到树木的距离（BC）以及另一点到地面的距离（AC）看成是直角边，若支架AB长3 m，求：

（1）点A到地面的距离为1 m，支架的倾斜角α 的正切值是多少？

（2）当AC和BC相等时，tanα 的值是多少?

（3）tanα 的值可以大于100 吗？

图8

图9

图10

设计意图：以生活中常见的树木固定支架为问题背景，贴近生活实际，在生活实例中抽离出数学图形，利用三角函数来解决问题更能显示数学的实用性。其中的第3 个设问将涉及极端值思想的处理方法，同时必须联系勾股定理，有一定的难度。如此设置不仅让学生明确三角函数问题的解决往往离不开勾股定理，还能进一步强化学生对正切值的取值范围可以是无穷大的认知。

4 教学反思

4.1 立足教材，体现概念内涵外延

三角函数概念是以角度为自变量、比值为应变量的基本函数，是对函数概念的一种升华。这类函数与学生之前所学函数却有着很大区别，三角函数没有固定解析式，其利用符号表示，函数概念更加抽象，学生理解难度也相应提升。教学中要让学生感受到这是一种变化的关系:随着角度的改变从而产生比值的改变，这种变化关系是一一对应的。这种关系需要学生探索、经历、感受，最后形成这样一种认识，让学生在感悟概念的过程中把握概念的内涵，内化概念。在明确概念的过程中，应有意识地培养学生在直角三角形中解决三角函数的问题，为求解直角三角形做好铺垫，也让学生初步体验三角函数的实际应用，体现概念的外延。

4.2 关注内容，呈现数学实用价值

三角函数的雏形最早出现在天文学中，很多数学知识其实都是源自生产生活。三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途，在我们生活周边就有着很多三角函数的应用实例。教学中可以更多地关注教学内容的设置以及题目背景的假设，以期呈现出数学在生活中更多的实用价值，更能体现出数学源于生活并最终为我们的生活所服务。例3 正是以生活中常见实物为背景，借助三角函数相关知识解决问题，由此让学生感受到数学的实用价值，在潜移默化中激发学生学习数学的兴趣和求知欲。

4.3 加强联系，展现初高内容衔接

学生学习数学应具有持续性、完整性，并能够体现持续发展的特点。三角函数是基本初等函数之一，以角度为自变量，初中阶段只研究锐角，高中阶段则利用与单位圆有关的各种线段的长度来定义，是利用任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为应变量的函数。例2 的设置就是为了能让学生感受三角函数在单位圆中的计算，预设三角函数定义的新形式，初步形成一种“模糊”的感知，这将有助于学生更好地理解三角函数的概念。

5 结语

综上所析，初中阶段的数学课程，基本出发点是数学教育面向全体学生，使得人人都能学有用的数学，人人都可以获得必需的数学，主要突出其普及性、基础性、发展性，让数学具有浓浓的“生活味”。而高中阶段的数学课程重视数学与自然界及人类社会的关系，通过高中数学学习能使学生认识数学的科学文化和应用价值，对学生提出问题、分析问题、解决问题的能力有基础性的作用，能够培养学生形成严谨的、充满了“数学味”的逻辑思维能力。函数的概念，也由初中的“变量说”演变成了高中的“对应说”，在内容、方法、目标、思维层次上都有了较大的提升。因此，在初中的概念教学中，应适度拓展衔接知识，抓住要点，让学生领会其精髓，从基本思想、基本方法、基本技能上为后续学习做好铺垫，促使学生的知识水平和能力水平自然地螺旋式上升，确保为初高中的数学学习做到无缝衔接、平滑过渡。