初高中数学教学衔接研究——从一道高一期末考试二次函数压轴题谈起

尚洪坝 张 俊

（重庆市酉阳第一中学校 重庆酉阳 409800）

如何衔接好初高中数学教学，是提高高中数学教学质量一个十分紧迫的问题。二次函数是中学数学中最基本的简单的函数类型，也是初高中数学教材中联系最为密切的内容之一。怎样以初中所学知识为切入点，做好初高中衔接就成了一线教师亟待解决的问题，本文以一道高一期末考试二次函数压轴题为例，谈谈怎样发挥二次函数的潜在价值，让初高中数学衔接更自然有效。

重庆市高2022届高一上期期末考试第21题：

（1）当a＜0 时，求f(x)的值域；

（2）若存在x0∈R使得f(x0)＜0成立，求a的取值范围。

=2t2-8at-a=2(t-a)2-8a2-a，由a＜0，

∴f(x) =g(t)=2(t-a)2-8a2-a

在t∈［0，+∞）上单调递增，∴f(x)的值域为［-a，+∞）。

对称轴方程t=2a，

本题的实质是考查学生对二次函数性质的应用。要求学生具备抓住二次函数开口方向、对称轴与二次函数单调性的关系以及将存在性问题转化为求函数的最值问题的能力，另外，还应具备换元及分类讨论的思想方法。这个题目作为期末考试压轴题，对于绝大多数高一学生来说，无疑是很艰难的。它首先需要利用换元、整体代换的思想方法将这个函数转化为一个标准的含参的二次函数表达式。因此，在求函数的最值问题上不是简单的看函数的单调性，还需考虑新函数的定义域，也需讨论函数对称轴与区间的关系。这道题基本涵盖了我们处理二次函数问题所涉及的所有知识，综合性较强。

在初中我们学习了二次函数的概念、图象及一些简单的性质。对一些题型如用待定系数求二次函数的解析式，用配方法或者对称轴求解二次函数在R上的最值也掌握得不错。而进入高中的学习之后，二次函数的内容穿插在各章节之中。主要考查定义域、值域、单调性、奇偶性、最值、函数在某一区间根的分布情况、二次函数与一元二次方程，以及一元二次不等式之间的关系等。对不含参数的二次函数在局部区间上求函数的单调性、最值也多有涉及。但像本题一样借助换元法、分类讨论及数形结合思想对函数本身进行转化为通过动轴动区间的最值讨论求字母参数的题目的确少有研究。因此，在整个讨论过程中学生是很痛苦的。这必须要求学生对二次函数图象和性质具备更为深刻的理解，而非停留在简单的记忆和套用上。存在性问题转化为函数的最值问题进行探讨，具有一定的隐密性和复杂性的特征。当然这对学生知识迁移跟应用能力要求较高，对于一般的学生来说难以及时掌握。这就势必造成了初中教学与高中教学的脱节。许多学生就会产生抵触乃至厌学心理，导致高中数学成绩直线下降。因此，做好初高中教学衔接是非常有必要的。

从本题而言，二次函数教学上应做好三点衔接。一是知识方面的衔接。相当部分高一学生已会配方法，也会讨论定值定区间的最值了，但对动轴定区间、定轴动区间、动轴动区间问题的讨论还很陌生。应引导学生学会熟练做草图，运用动态的眼光观察指定区间上的最值。二是思想方法上的衔接，本题从宏观上讲，首先要有整体代换的换元思想，其次要有区间与对称轴位置的分类讨论思想，还要有将存在性问题转化成单变量最值问题的等价思想，也要有“以形助数”的数形结合思想。应引导学生体会这其中的变与不变的根本和关系。这将是对学生充分应用数学知识解决实际问题的能力的培养。学生在这个过程的接受能力也许有限，教师不要急于求成，要在平常的学习中加强训练，多刺激学生深刻透彻的理解二次函数，掌握基本题型的求解方法。学生在这个过程中能力得到了提升，视野得到了开拓，这必将有效的促进初高中教学衔接。三是心理上的衔接。在初中阶段，学生学习过二次函数，容易产生轻视感与疲劳感，认为二次函数简单，只需复习巩固就可考高分。很显然，这是一种侥幸心理，导致的后果必然是一听就懂，一做就错。因此，在教学中，应特别强调高中二次函数学生的重要性与艰巨性，认清初中学习的二次函数函数内容跟高中的本质区别，为学生指明高中学习的方向与目标。

总之，为了学生更好地适应新课改下的数学教学要求，教师必须立足于当下学生所掌握的内容，树立初高中数学教学衔接的重要意识，做好初高中数学教学衔接。