具有双疾病的随机SIQS传染病模型的灭绝性与持久性分析*

阳开荣，韦煜明

(广西师范大学 数学与统计学院，广西 桂林 541006)

1 引言

各种传染病给人类社会带来了极大的危害.从动力学的角度来研究疾病的传播，对疾病的预防及控制很有帮助.以往很多动力学模型只考虑一种疾病，但实际生活中，很有可能两种疾病同时存在.此前也有一部分学者研究了具有双疾病的传染病模型([1,2，3]).文献[1]中，Meng等人考虑了具有双疾病的非线性随机SIS传染病模型

(1)

文献[2]中，Chang等人考虑了具有不同发生率的随机SIRS传染病模型

(2)

文献[2]中作者考虑了疾病的饱和发生率，运用相关的随机分析学知识得到了疾病灭绝与持久的条件以及证明了环境噪声对疾病的传播有影响.

在现实生活中，疾病的暴发会对人类产生警示作用，随着染病者的增多，政府及其它相关机构会采取干扰措施来抑制疾病蔓延，所用的措施中常见的一个是隔离措施.为了更好地研究环境噪声以及隔离措施对疾病的影响，本文考虑以下具有双疾病的随机SIQS传染病模型：

(3)

2 全局正解存在唯一性

在本文，(Ω,F,(F )t≥0,P) 为(F )t≥0单调递增右连续,F0包含所有零测集的完备概率空间.定义以下正不变集：

设k0>0且S(0)>k0,I1(0)>k0,I2(0)>k0,Q(0)>k0.对∀k≤k0,可定义停时

假设infØ=∞.根据停时的定义,当k→0时,k单调递增,令k,则显然有0≤e.如果能证明0=∞a.s.,那么就有e=∞.下面用反证法证明.

显然V(S(t),I1(t),I2(t),Q(t))为非负定函数.利用伊藤公式，有

其中

因此

(4)

EV(S,I,I，Q)≤V(S0,I10,I20,Q0)+KT.

令Ωk={k∶k≤T}，则P(Ωk)>ε.由停时的定义知，对∀w∈Ωk,在St(w),I1t(w),I2t(w),Qt(w)中至少有一个为k，因此

故

其中xΩk为Ωk的示性函数.让k→0，则有∞>V(S0,I10,I20,Q0)+KT=∞，矛盾，因此0=∞,进一步有k=∞，定理2.1得证，即系统(3)存在唯一全局正解.

3 疾病的灭绝性与持久性分析

3.1 疾病的灭绝

定义随机再生数

定理3.1 假设(S(t),I1(t),I2(t),Q(t))为系统(3)满足初值条件(S(0),I1(0),I2(0),Q(0))的解.若

(5)

或

(6)

那么系统(3)的两种疾病最终都以概率1灭绝.

证明利用伊藤公式，有

(7)

对式(7)从0到t积分，有

(8)

若式(5)成立，则有

故

两边同时除以t，并令t→∞，则有

若式(6)成立，则有

结合式(8)有

3.2 疾病的持久

定理3.2 假设(S(t),I1(t),I2(t),Q(t))为系统(3)满足初值条件(S(0),I1(0),I2(0),Q(0))的解，则有

其中

对系统(3)从0到t积分，并两边同时除以t，有

A-μ〈S(t)〉-(μ+α1)〈I1(t)〉-(μ+α2)〈I2(t)〉-(μ+α)〈Q(t)〉,

(9)

因此

(10)

对lnI1(t)+a1I1(t)运用伊藤公式，有

(11)

对式(11)从0到t积分，并两边同时除以t，再根据式(10)得

(12)

对系统(3)的第四个方程从0到t积分，并两边同时除以t，得

故

(13)

根据式(12)，(13)，有

(14)

因此，由式(14)可得

(15)

当0≤〈I1(t)〉≤1时，

(16)

当〈I1(t)〉>1时，

(17)

(18)

对lnI2(t)+a2I2(t)运用伊藤公式，有

(19)

对式(19)从0到t积分，并两边同除以t，再根据式(13)、(18)得

(20)

当0≤〈I2(t)〉≤1时，

(21)

当〈I2(t)〉≥1时，

(22)

(iii) 由式(9)和(13)知

(23)

对V2(t)=ln[I1(t)I2(t)]+a1I1(t)+a2I2(t)运用伊藤公式，有

a2(μ+α2+γ2+δ2)I2(t))dt+σ1S(t)dB1(t)+σ2S(t)dB2(t).

对上式从0到t积分，并两边同时除以t，再根据式(23)得

故

所以有

综上所述，定理3.2得证.

4 数值模拟

我们将利用Milstein方法[10,11]以及Matlab软件对本文的模型进行模拟.将系统(3)离散化得

其中ζ(k),η(k),k=1,2,…,n,是独立高斯随机变量.

对于初值(S(0),I1(0),I2(0),Q(0))=(0.75,0.15,0.1,0),系统取以下参数：

A=0.4,μ=0.25,β1=0.7,β2=0.8,a1=0.1,a2=0.1,γ1=0.1,γ2=0.2,δ1=0.15,δ2=0.2,α1=0.4,α2=0.3,α=0.3,ξ=0.3.

图1 随机系统(3)关于初值(S(0),I1(0),I2(0),Q(0))的路径

图2 随机系统(3)关于初值(S(0),I1(0),I2(0),Q(0))的路径

图3 随机系统(3)关于初值(S(0),I1(0),I2(0),Q(0))的路径

图4 随机系统(3)关于初值(S(0),I1(0),I2(0),Q(0))的路径

5 结论

本文研究了具有双疾病的随机SIQS传染病模型，证明了系统(3)全局正解存在唯一，给出了疾病灭绝与持久的条件.通过理论分析与数值模拟证明了环境噪声与人为隔离措施对疾病传播有抑制作用，因此我们可以通过增加噪声的强度以及采取隔离措施来抑制疾病的暴发.